Определение
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Таким образом, ромб обладает всеми свойствами параллелограмма:
\(\sim\) противоположные углы ромба попарно равны;
\(\sim\) соседние углы ромба в сумме дают \(180^\circ\);
\(\sim\) диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Теорема: свойство ромба
Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.
Доказательство
Рассмотрим ромб \(ABCD\).
По определению ромба \(AB = AD\), поэтому треугольник \(BAD\) равнобедренный. Так как ромб – параллелограмм, то его диагонали точкой \(O\) пересечения делятся пополам. Следовательно, \(AO\) – медиана равнобедренного треугольника \(BAD\), а значит, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому \(AC\perp BD\) и \(\angle BAC = \angle DAC\).
Теорема: признаки ромба
1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это – ромб.
2. Если в параллелограмме диагонали делят его углы пополам, то это – ромб.
3. Если в выпуклом четырехугольнике все стороны равны, то он – ромб.
Доказательство
1) Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\). Пусть \(AC\perp BD\).
Т.к. в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, то в треугольнике \(ABD\) отрезок \(AO\) – медиана. Т.к. к тому же \(AO\) – высота (следует из условия), то \(\triangle ABD\) – равнобедренный, т.е. \(AB=AD\). Т.к. у параллелограмма противоположные стороны равны, то отсюда следует, что все его стороны будут равны.
2) Пусть \(AC\) – биссектриса угла \(\angle A\).
Т.к. в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, то в треугольнике \(ABD\) отрезок \(AO\) – медиана. Т.к. к тому же \(AO\) – биссектриса (следует из условия), то \(\triangle ABD\) – равнобедренный, т.е. \(AB=AD\). Т.к. у параллелограмма противоположные стороны равны, то отсюда следует, что все его стороны будут равны.
3) Пусть \(ABCD\) – произвольный четырехугольник и \(AB=BC=CD=AD\).
Т.к. противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он – параллелограмм. Т.к. у него все стороны равны, то по определению это ромб.
© 2024 Все права защищены | Карта сайта
Политика конфиденциальности
Пользовательское соглашение