Математика
Русский язык

Основные факты о треугольниках

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

\[{\Large{\text{Основные сведения}}}\]

Определения

Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, выходящих из этой точки. Градусная мера угла может принимать значения от \(0^\circ\) до \(180^\circ\) включительно.

Угол \(\alpha\) называется острым, если \(0^\circ<\alpha<90^\circ\), прямым – если \(\alpha=90^\circ\), тупым – если \(90^\circ<\alpha<180^\circ\), и развернутым – если \(\alpha=180^\circ\).

 

Биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

 

Смежные углы – это два угла, у которых общая вершина и одна общая сторона, а две другие стороны образуют прямую.

Вертикальные углы – это два угла, образованные пересечением двух прямых и не являющиеся смежными.

 

Теорема

Смежные углы \(\alpha\) и \(\beta\) в сумме дают \(180^\circ\).

Вертикальные углы равны: \(\alpha=\gamma\).


 

Определения

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой (называемых вершинами треугольника), и отрезков, соединяющих эти точки (называемых сторонами треугольника). Треугольник со своей внутренностью будем сокращенно называть также треугольником.

Угол (внутренний) треугольника – угол, образованный вершиной треугольника и двумя его сторонами.


 

Теоремы: признаки равенства треугольников

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

 

2. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

 

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.  

Определение

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

 

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

 

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен \(90^\circ\).

 

Перпендикуляр из точки к прямой – это отрезок, соединяющий данную точку с точкой на прямой, проведенный под углом \(90^\circ\).

 

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

 

Замечание

Если в треугольнике один угол тупой, то высоты, опущенные из вершин острых углов, упадут не на сторону, а на продолжение стороны (рис. 1).

 

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).


 

\[{\Large{\text{Параллельные прямые}}}\]

Определение

Две различные прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

 

Замечание

Заметим, что на плоскости существует три вида взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются и параллельны.

 

Аксиома параллельных прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.

 

Следствия из аксиомы

1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

 

2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

 

Теоремы: признаки параллельности прямых

1. Если при пересечении двух прямых \(a\) и \(b\) секущей \(c\) накрест лежащие углы равны: \(\angle 1=\angle 2\), то такие прямые параллельны.

 

2. Если при пересечении двух прямых \(a\) и \(b\) секущей \(c\) сумма односторонних углов \(\angle 1\) и \(\angle 3\) равна \(180^\circ\), то такие прямые параллельны.

 

3. Если при пересечении двух прямых \(a\) и \(b\) секущей \(c\) соответственные углы равны: \(\angle 1=\angle 4\), то такие прямые параллельны.


 

Теоремы: свойства параллельных прямых

1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

 

2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна \(180^\circ\).

 

3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.  

\[{\Large{\text{Углы треугольника}}}\]

Определения

Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые.

 

Треугольник называется тупоугольным, если один его угол тупой (остальные — острые).

 

Треугольник называется прямоугольным, если один его угол прямой (остальные — острые).

 

Теорема

Сумма внутренних углов треугольника равна \(180^\circ\).

 

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник \(ABC\) и покажем, что \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\).

Проведём через вершину \(B\) прямую \(a\), параллельную стороне \(AC\).


 

Углы \(1\) и \(4\) являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых \(a\) и \(AC\) секущей \(AB\), а углы \(3\) и \(5\) – накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей \(BC\). Поэтому \[\begin{aligned} &\angle 4 = \angle 1, \ \angle 5 = \angle 3. \qquad \qquad \qquad (1) \end{aligned}\]

Очевидно, сумма углов \(4, \ 2\) и \(5\) равна развёрнутому углу с вершиной \(B\), то есть \(\angle 4 + \angle 2 + \angle 5 = 180^\circ\). Отсюда, учитывая равенства \((1)\), получаем: \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ\).

 

Определение

Внешний угол треугольника – это угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом треугольника.

 

Теорема

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: \(\angle BCD=\angle BAC+\angle ABC\).

 

Доказательство

Рассмотрим рисунок.


 

Угол \(4\) – внешний угол треугольника, смежный с углом \(3\). Так как \(\angle 4 + \angle 3 = 180^\circ\), а по теореме о сумме углов треугольника \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ\), то \(\angle 4 = \angle 1 + \angle 2\), что и требовалось доказать.  

\[{\Large{\text{Равнобедренный треугольник}}}\]

Определения

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Эти стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона - основанием.

 

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
Равносторонний треугольник, очевидно, является и равнобедренным.

 

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

 

Доказательство

Пусть \(ABC\) – равнобедренный треугольник, \(AB = BC\), \(BD\) – биссектриса (проведённая к основанию).

Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(BCD\): \(AB = BC\), \(\angle ABD = \angle CBD\), \(BD\) – общая. Таким образом, \(\triangle ABD = \triangle BCD\) по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства этих треугольников следует, что \(AD = DC\), следовательно, \(BD\) – медиана.


 

Кроме того, в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а \(AB = BC\), следовательно, \[\begin{aligned} &\angle ADB = \angle CDB, \qquad \qquad \qquad (2) \end{aligned}\] но \(\angle ADB + \angle CDB = \angle ADC\) – развёрнутый, следовательно, \(\angle ADB + \angle CDB = 180^\circ\), откуда при учёте \((2)\): \(\angle ADB = 90^\circ = \angle CDB\), то есть \(BD\) – высота.

 

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

 

Теорема

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

 

Доказательство

Проведем биссектрису \(BD\) (см. рисунок из предыдущей теоремы). Тогда \(\triangle ABD=\triangle CBD\) по первому признаку, следовательно, \(\angle A=\angle C\).

 

Теоремы: признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

 

2. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то треугольник равнобедренный.  

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

 

Теорема: неравенство треугольника

В треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны.

 

Другая формулировка: в треугольнике разность любых двух сторон меньше третьей стороны.  

\[{\Large{\text{Прямоугольный треугольник}}}\]

Определения

В прямоугольном треугольнике большая сторона (то есть сторона, лежащая напротив прямого угла) называется гипотенузой.
Две другие стороны называются катетами.

 

Теоремы: свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\).

 

2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы.

Верно и обратное: если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла \(30^\circ\).


 

Подготовка выпускников к сдаче ЕГЭ, как правило, начинается с повторения базовой теории по планиметрии, в том числе и по теме «Треугольники». Знакомство учащихся с этим разделом геометрии начинается еще в средней школе. Неудивительно, что потребность в повторении основных правил и теории по теме «Треугольник» возникает у многих выпускников. При этом решать планиметрические задачи обязательно должны уметь все учащиеся. Подобные задания включены как в базовый, так и в профильный уровень аттестационного испытания. Разобравшись с теорией и практическими упражнениями, в том числе и на вычисление вертикальных углов треугольника, старшеклассники смогут решать задачи с любым количеством действий и рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Готовьтесь к экзамену вместе с образовательным порталом «Школково»

Занимаясь перед сдачей ЕГЭ, многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска базовой теории по геометрии о треугольниках. Школьных учебников в нужный момент может просто не оказаться под рукой. А найти необходимые формулы иногда оказывается достаточно сложно даже в Интернете.

Вместе с образовательным порталом «Школково» выпускники смогут качественно подготовиться к сдаче аттестационного испытания. Вся базовая теория о равнобедренных и прямоугольных треугольниках систематизирована и изложена нашими специалистами с учетом богатого опыта в максимально доступной форме. Изучив представленную информацию, школьники смогут вспомнить материал, который вызывает определенные затруднения.

Чтобы хорошо подготовиться к экзамену, учащимся, проживающим в Москве и других городах России, необходимо не только повторить теорию о прямоугольных и равнобедренных треугольниках, но и попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Задачи по данной теме вы можете найти в разделе «Каталог». Для каждого задания наши специалисты прописали подробный ход решения и указали правильный ответ. Последовательно выполняя простые и более сложные упражнения по данной теме, учащиеся смогут научиться применять на практике теоремы равенства треугольников и другую теорию, которую необходимо усвоить при подготовке к ЕГЭ. Перечень заданий в соответствующем разделе постоянно дополняется и обновляется.

Попрактиковаться в решении задач, в которых применяется теория смежных углов и другие теоремы, школьники могут в режиме онлайн.

По желанию учащегося любое упражнение можно сохранить в «Избранное». Еще раз повторив базовую теорию о прямоугольных и равнобедренных треугольниках, выпускник может в дальнейшем вернуться к заданию, которое вызвало затруднения, и обсудить алгоритм его решения с преподавателем.