Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

Рациональные (обыкновенные) дроби и действия с ними. Простые числа

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Готовиться с нами - ЛЕГКО!


Эффективное решение существует!

Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия (планиметрия и стереометрия). Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями.

Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить, выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена.

После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.

Факт 1.
\(\bullet\) Множество натуральных чисел \(\mathbb{N}\) – это числа \(1, \ 2, \ 3, \ 4 \ \) и т.д.
\(\bullet\) Множество целых чисел \(\mathbb{Z}\) состоит из натуральных чисел, противоположных им (\(-1, \ -2, \ -3 \) и т.д.) и нуля \(0\).
\(\bullet\) Рациональные числа \(\mathbb{Q}\) – числа вида \(\dfrac ab\), где \(a\in \mathbb{Z}\), \(b\in \mathbb{N}\) (обыкновенные дроби).   Таким образом, существует включение: \(\mathbb{N}\) содержится в \(\mathbb{Z}\), а \(\mathbb{Z}\) содержится в \(\mathbb{Q}\).
Это просто термины, которые стоит запомнить, чтобы правильно понимать условия задач.  

Факт 2.
Таблица умножения:
Заметим, что любое целое число можно представить в виде дроби. Например, \(3=\dfrac31\).
Также напоминаем, что при умножении на любое число (не равное нулю) числителя и знаменателя дроби значение этой дроби не меняется. Например, \(\dfrac31=\dfrac62=\dfrac93\) и т.п.  

Факт 3.
\(\bullet\) Простое число – это натуральное число, имеющее ровно два делителя: \(1\) и само это число.
Пример: \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17\) и т.д.
Заметим, что число \(1\) не является простым, так как делится только на \(1\), то есть имеет ровно один делитель.
\(\bullet\) Признак делимости на \(2\): число \(a\) делится на \(2\), если оно заканчивается на \(0,2,4,6\) и \(8\). Например, числа \(56\) и \( 900\) делятся на \(2\), а числа \(71\) и \( 1973\) не делятся на \(2\). Числа, делящиеся на \(2\), называются четными; числа, не делящиеся на \(2\), называют нечетными.
Признак делимости на \(3\): число \(a\) делится на \(3\), если его сумма цифр делится на \(3\). Например, числа \(198\) и \( 105\) делятся на \(3\), а числа \(179\) и \( 5869\) не делятся на \(3\).
Признак делимости на \(5\): число \(a\) делится на \(5\), если оно заканчивается на \(5\) или на \(0\). Например, числа \(505\) и \( 160\) делятся на \(5\), а число \(367\) не делится на \(5\).
Признак делимости на \(9\): число \(a\) делится на \(9\), если его сумма цифр делится на \(9\). Например, числа \(198\) и \( 108\) делятся на \(9\), а числа \(149\) и \( 5109\) не делятся на \(9\).
Признак делимости на \(10\): число \(a\) делится на \(10\), если оно заканчивается на \(0\). Например, числа \(50\) и \( 160\) делятся на \(10\), а число \(367\) не делится на \(10\).
\(\bullet\) Разложение числа на простые множители – это запись этого числа в виде произведения простых чисел.
Пример: \(4200=2^3\cdot 3\cdot 5^2\cdot 7\).
Как разложить число на простые множители? Покажем на примере. Пусть нужно разложить число \(4200\) на простые множители. Видим, что число \(4200\) делится на \(100\), причем \(4200:100=42\). Следовательно, \(4200=100\cdot 42\). Так как \(100=10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5=2^2\cdot 5^2\), а \(42=6\cdot 7=2\cdot 3\cdot 7\), то получаем: \[4200=2^2\cdot 5^2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^3\cdot 5^2\cdot 3\cdot 7\] Разложение на простые множители используется при сокращении дробей.   \(\bullet\) Сокращение дробей – деление числителя и знаменателя на одно и то же число, отличное от нуля.
Пример:   \(\begin{aligned} &\dfrac{98}6=\dfrac{49\cdot 2\llap{/}}{3\cdot 2\llap{/}}=\dfrac{49}3\\[2ex] &\dfrac{4\cdot 14}{7\cdot 5}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7\llap{/}}{7\llap{/}\cdot 5}=\dfrac 85\\[2ex] &\dfrac{4\cdot 7}{5\cdot 6}=\dfrac {2\llap{/}\cdot 2\cdot 7}{5\cdot 3\cdot 2\llap{/}}=\dfrac{14}{15}\end{aligned}\)   Заметим, что если ответом к задаче является дробь, то она должна быть несократимой, то есть ее числитель и знаменатель не должны иметь общих делителей. Например, будет неправильным записать ответ к задаче как \(\dfrac{13}{65}\). Нужно заметить, что \(65=13\cdot 5\), следовательно, \[\dfrac{13}{65}=\dfrac{13\llap{/}}{5\cdot 13\llap{/}}=\dfrac15\] То есть правильным ответом будет \(\dfrac15\).  

Факт 4.
\(\bullet\) Правила сложения дробей: Значит, когда мы складываем две дроби с одинаковыми знаменателями, мы получаем дробь, у которой :
– знаменатель остается таким же;
– числитель равен сумме числителей этих двух дробей.
Точно так же мы поступаем и с разностью двух дробей. Значит, когда мы складываем две дроби с разными знаменателями, мы:
– приводим их к одинаковому знаменателю, домножив первую дробь на знаменатель второй, а вторую – на знаменатель первой;
– таким образом мы получаем две дроби с одинаковыми знаменателями и их можно сложить как дроби с одинаковыми знаменателями (то есть пользуясь первой формулой).
Это первый, более сложный способ сложения двух дробей с разными знаменателями. Второй способ, который упрощает вычисления и тем самым уменьшает вероятность допустить вычислительную ошибку, будет показан чуть позже
Примеры:   1) \(\dfrac {31}6+\dfrac {67}6=\dfrac{31+67}6=\dfrac{98}6\)   2) \(\dfrac{17}2-\dfrac{11}2=\dfrac{17-11}2=\dfrac62\)   3) \(\dfrac12+\dfrac{11}3=\dfrac{1\cdot 3+11\cdot 2}{2\cdot 3}=\dfrac{25}{6}\)   \(\bullet\) Правила умножения дробей: Если мы умножаем две дроби, то мы получаем дробь, у которой:
– числитель равен произведению числителей двух дробей;
– знаменатель равен произведению знаменателей двух дробей.   Пример: \(\dfrac 47\cdot \dfrac{14}5=\dfrac{4\cdot 14}{7\cdot 5}\)   \(\bullet\) Правила деления дробей: Данное правило часто называют так: <<чтобы разделить одну дробь на вторую, нужно первую дробь умножить на “перевернутую” вторую>>.   Пример:   1) \(\dfrac 45 :\dfrac 67=\dfrac 45\cdot \dfrac 76\);   2) \(\dfrac 12:3=\dfrac12:\dfrac31=\dfrac12\cdot \dfrac13=\dfrac16\)   \(\bullet\) Для того, чтобы перевести дробь смешанную дробь, например, \(4\dfrac{5}{11}\), в неправильную, нужно проделать следующие действия: \[4+\dfrac5{11}=\dfrac41+\dfrac5{11}=\dfrac{4\cdot 11+5}{11}=\dfrac{49}{11}\]
\(\bullet\) Разложение чисел на простые множители, помимо сокращения дробей, необходимо для того, чтобы наиболее оптимально приводить дроби к общему знаменателю (общий знаменатель – число, которое делится на знаменатель каждой дроби).
Пусть нам нужно привести две дроби \(\dfrac1{21}\) и \(\dfrac1{15}\) к общему знаменателю. По правилу из Факта 3 можно просто перемножить их знаменатели и получить дроби \(\dfrac{15}{21\cdot 15}\) и \(\dfrac{21}{15\cdot 21}\).   Но тогда общий знаменатель этих дробей получается достаточно большим: \(15\cdot 21=315\).   Покажем другой оптимальный способ приведения дробей к общему знаменателю. Так как \(21=7\cdot 3\) и \(15=3\cdot 5\), то наименьшее число, которое делится и на \(21\), и на \(15\) – это \(7\cdot 3\cdot 5=105\). Следовательно, это и есть их наименьший общий знаменатель. Для того, чтобы дробь \(\dfrac1{21}\) имела знаменатель \(105\), нужно умножить ее числитель и знаменатель на \(5\); для того, чтобы дробь \(\dfrac1{15}\) имела знаменатель \(105\), нужно умножить ее числитель и знаменатель на \(7\). Таким образом, получаем: \(\dfrac1{21}=\dfrac5{105}\) и \(\dfrac1{15}=\dfrac7{105}\).   Покажем еще один пример, демонстрирующий, что не всегда удобно и нужно раскладывать знаменатели прямо до простых множителей. Пусть нам нужно сложить дроби \(\dfrac1{49}\) и \(\dfrac1{98}\). Замечаем,что \(98=2\cdot 49\) (для того, чтобы это заметить, нужно хорошо выучить таблицу умножения и потренировать устный счет ). Тогда можно записать \(\dfrac1{49}\) и \(\dfrac1{2\cdot 49}\). Следовательно, для того, чтобы у дробей стали одинаковые знаменатели, нужно всего лишь домножить первую дробь на \(2\): \(\dfrac2{2\cdot 49}\) и \(\dfrac1{2\cdot 49}\).   А теперь представьте, что вы пользуетесь первым способом. Тогда ваш общий знаменатель будет равен \(49\cdot 98=4802\)! Неудобно, верно?  

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

  1. Потому что это расширяет кругозор. Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
  2. Потому что это развивает интеллект. Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.