Факт 1.
\(\bullet\) Логарифм по основанию \(a\) от \(b\) – это число \(t\), которое показывает, в какую степень нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\).
Ограничения: числа \(a\) и \(b\) такие, что \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\).
\[\Large{{\color{blue}{\log_a{b}=t\quad\Leftrightarrow\quad
a^t=b }}}\]
Т.к. мы имеем право возводить в любую степень, то \(t\in
\mathbb{R}\).
Таким образом, верно основное логарифмическое тождество \[{\Large{a^{\log_ab}=b}}\]
\(\bullet\) Справедливы следующие формулы: \[{\large{\begin{array}{|ll|l|}
\hline \qquad \qquad \qquad \qquad {\small{\text{Формулы}}}
&& \qquad \qquad{\small{\text{Ограничения}}}\\
&&\\
\hline \textbf{(1)} \log_a1=0&&a>0, a\ne 1\\
&&\\
\textbf{(2)} \log_aa=1 &&a>0, a\ne 1\\
&&\\
\textbf{(3)} \log_{a}{b^m}=m\log_a|b|&(m -
{\small{\text{четн.}}})&a>0, a\ne 1, b\ne 0\\
&&\\
\textbf{(4)}\log_{a}{b^m}=m\log_ab& (m -
{\small{\text{нечетн.}}})&a>0, a\ne 1, b>0\\
&&\\
\textbf{(5)} \log_{a^n}{b}=\frac 1n\log_{|a|}b&(n -
{\small{\text{четн.}}})&a\ne 0, a\ne 1, b>0\\
&&\\
\textbf{(6)}\log_{a^n}b=\frac1n\log_ab&(n -
{\small{\text{нечетн.}}})&a>0, a\ne 1, b>0\\
&&\\
\textbf{(7)} \log_a{bc}=\log_a|b|+\log_a|c|&&a>0, a\ne 1, bc\ne 0\\
&&\\
\textbf{(8)}
\log_a{\dfrac bc}=\log_a|b|-\log_a|c|&&a>0, a\ne 1,bc\ne 0 \\
&&\\
\textbf{(9)}
a^{\log_ab}=b &&a>0, a\ne 1, b>0\\
&&\\
\textbf{(10)}c^{\log_ab}=b^{\log_ac}&&a>0, a\ne 1, b>0, c>0\\
&&\\
\textbf{(11)} \log_ab\cdot \log_bc=\log_ac && a>0, a\ne 1,b>0, b\ne 1, c>0\\
&&\\
\textbf{(11'}) \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}&&a>0, a\ne 1,b>0, b\ne 1, c>0\\
&&\\
&&\\
{\small{\text{ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ:}}}&& \\
\textbf{(12)} \log_ab\cdot \log_ba=1 && a>0, a\ne 1, b>0, b\ne 1\\
&&\\
\textbf{(12'}) \log_ab=\dfrac1{\log_ba}&&a>0, a\ne 1, b>0, b\ne 1\\
&&\\ \hline
\end{array}}}\]
Заметим, что при выполнении ограничений данные формулы верны в обе стороны!
© 2024 Все права защищены | Карта сайта
Политика конфиденциальности
Пользовательское соглашение