Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия (планиметрия и стереометрия). Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями.
Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить, выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена.
После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.
Задача 1
Решите уравнение \[\sin x=-a, \quad 0<a<1\]
Решение
\(\arcsin(-a)\) – это такой угол из отрезка \(\left[-\dfrac{\pi}2;
\dfrac{\pi}2\right]\), синус которого равен \(-a\):
Следовательно, одна серия решений данного уравнения – это \(x=\arcsin(-a)+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).
Но на окружности есть еще одна точка, синус в которой равен \(-a\) – угол \(\alpha\):
Заметим, что \(\alpha=\pi+(-\arcsin(-a))\). Так как \(\arcsin(-a)=-\arcsin a\), то \(\alpha=\pi+\arcsin a\). Следовательно, ответ в нашем уравнении: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned}
&x=-\arcsin a+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex]
&x=\pi+\arcsin a+2\pi k,
k\in\mathbb{Z}\end{aligned}\end{gathered}\right.\]
Задача 2
Решите уравнение \[\cos x=-a, \quad 0<a<1\]
Решение
\(\arccos(-a)\) – это такой угол из отрезка \(\left[0; \pi\right]\), косинус которого равен \(-a\):
Следовательно, одна серия решений данного уравнения – это \(x=\arccos(-a)+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).
Но на окружности есть еще одна точка, косинус в которой равен \(-a\) – угол \(\alpha\):
Заметим, что \(\alpha=-\arccos(-a)\). Так как \(\arccos(-a)=\pi-\arccos
a\), то \(\alpha=-\pi+\arccos a\). Следовательно, ответ в нашем уравнении: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned}
&x=\pi-\arccos
a+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex]
&x=-\pi+\arccos a+2\pi k,
k\in\mathbb{Z}\end{aligned}\end{gathered}\right.\]
Задача 3
Решите уравнение \[\mathrm{tg}\, x=-a, a>0\]
Решение
\(\mathrm{arctg}\,(-a)\) – это такой угол из промежутка \(\left(-\dfrac{\pi}2;\dfrac{\pi}2\right)\), тангенс которого равен \(-a\):
Следовательно, одна серия решений данного уравнения – это \(x=\mathrm{arctg}\,(-a)+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).
Но на окружности есть еще одна точка, тангенс в которой равен \(-a\) – угол \(\alpha\):
Заметим, что \(\alpha=\mathrm{arctg}\,(-a)+\pi\). Так как \(\mathrm{arctg}\,(-a)=-\mathrm{arctg}\, a\), то \(\alpha=\pi-\mathrm{arctg}\, a\). Следовательно, ответ в нашем уравнении: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned}
&x=-\mathrm{arctg}\, a+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex]
&x=\pi-\mathrm{arctg}\, a+2\pi k,
k\in\mathbb{Z}\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Заметим, что так как углы \(-\mathrm{arctg}\, a\) и \(\pi-\mathrm{arctg}\, a\) отличаются друг от друга на \(\pi\), то ответ можно записать в виде одной серии корней с периодом \(\pi\): \[x=-\mathrm{arctg}\, a+\pi m, m\in\mathbb{Z}\]
Задача 4
Решите уравнение \[\mathrm{ctg}\, x=-a, a>0\]
Решение
\(\mathrm{arcctg}\,(-a)\) – это такой угол из промежутка \(\left(0;\pi\right)\), котангенс которого равен \(-a\):
Следовательно, одна серия решений данного уравнения – это \(x=\mathrm{arcctg}\,(-a)+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).
Но на окружности есть еще одна точка, котангенс в которой равен \(-a\) – угол \(\alpha\):
Заметим, что \(\alpha=\mathrm{arcctg}\,(-a)+\pi\). Так как \(\mathrm{arcctg}\,(-a)=\pi-\mathrm{arcctg}\, a\), то \(\alpha=2\pi-\mathrm{arcctg}\, a\). Следовательно, ответ в нашем уравнении: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned}
&x=\pi-\mathrm{arcctg}\, a+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex]
&x=2\pi-\mathrm{arcctg}\, a+2\pi k,
k\in\mathbb{Z}\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Заметим, что так как углы \(2\pi-\mathrm{arcctg}\, a\) и \(\pi-\mathrm{arcctg}\, a\) отличаются друг от друга на \(\pi\), то ответ можно записать в виде одной серии корней с периодом \(\pi\): \[x=\pi-\mathrm{arcctg}\, a+\pi m, m\in\mathbb{Z}\]
Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.
Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.
© 2024 Все права защищены | Карта сайта
Политика конфиденциальности
Пользовательское соглашение