Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

Решение простейших тригонометрических уравнений с помощью аркфункций

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Готовиться с нами - ЛЕГКО!


Эффективное решение существует!

Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия (планиметрия и стереометрия). Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями.

Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить, выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена.

После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.

Задача 1

Решите уравнение \[\sin x=-a, \quad 0<a<1\]

Решение

\(\arcsin(-a)\) – это такой угол из отрезка \(\left[-\dfrac{\pi}2; \dfrac{\pi}2\right]\), синус которого равен \(-a\):
Следовательно, одна серия решений данного уравнения – это \(x=\arcsin(-a)+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).
Но на окружности есть еще одна точка, синус в которой равен \(-a\) – угол \(\alpha\):
Заметим, что \(\alpha=\pi+(-\arcsin(-a))\). Так как \(\arcsin(-a)=-\arcsin a\), то \(\alpha=\pi+\arcsin a\). Следовательно, ответ в нашем уравнении: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=-\arcsin a+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=\pi+\arcsin a+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Задача 2

Решите уравнение \[\cos x=-a, \quad 0<a<1\]

Решение

\(\arccos(-a)\) – это такой угол из отрезка \(\left[0; \pi\right]\), косинус которого равен \(-a\):
Следовательно, одна серия решений данного уравнения – это \(x=\arccos(-a)+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).
Но на окружности есть еще одна точка, косинус в которой равен \(-a\) – угол \(\alpha\):
Заметим, что \(\alpha=-\arccos(-a)\). Так как \(\arccos(-a)=\pi-\arccos a\), то \(\alpha=-\pi+\arccos a\). Следовательно, ответ в нашем уравнении: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\pi-\arccos a+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=-\pi+\arccos a+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Задача 3

Решите уравнение \[\mathrm{tg}\, x=-a, a>0\]

Решение

\(\mathrm{arctg}\,(-a)\) – это такой угол из промежутка \(\left(-\dfrac{\pi}2;\dfrac{\pi}2\right)\), тангенс которого равен \(-a\):
Следовательно, одна серия решений данного уравнения – это \(x=\mathrm{arctg}\,(-a)+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).
Но на окружности есть еще одна точка, тангенс в которой равен \(-a\) – угол \(\alpha\):
Заметим, что \(\alpha=\mathrm{arctg}\,(-a)+\pi\). Так как \(\mathrm{arctg}\,(-a)=-\mathrm{arctg}\, a\), то \(\alpha=\pi-\mathrm{arctg}\, a\). Следовательно, ответ в нашем уравнении: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=-\mathrm{arctg}\, a+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=\pi-\mathrm{arctg}\, a+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Заметим, что так как углы \(-\mathrm{arctg}\, a\) и \(\pi-\mathrm{arctg}\, a\) отличаются друг от друга на \(\pi\), то ответ можно записать в виде одной серии корней с периодом \(\pi\): \[x=-\mathrm{arctg}\, a+\pi m, m\in\mathbb{Z}\]

Задача 4

Решите уравнение \[\mathrm{ctg}\, x=-a, a>0\]

Решение

\(\mathrm{arcctg}\,(-a)\) – это такой угол из промежутка \(\left(0;\pi\right)\), котангенс которого равен \(-a\):
Следовательно, одна серия решений данного уравнения – это \(x=\mathrm{arcctg}\,(-a)+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).
Но на окружности есть еще одна точка, котангенс в которой равен \(-a\) – угол \(\alpha\):
Заметим, что \(\alpha=\mathrm{arcctg}\,(-a)+\pi\). Так как \(\mathrm{arcctg}\,(-a)=\pi-\mathrm{arcctg}\, a\), то \(\alpha=2\pi-\mathrm{arcctg}\, a\). Следовательно, ответ в нашем уравнении: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\pi-\mathrm{arcctg}\, a+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=2\pi-\mathrm{arcctg}\, a+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Заметим, что так как углы \(2\pi-\mathrm{arcctg}\, a\) и \(\pi-\mathrm{arcctg}\, a\) отличаются друг от друга на \(\pi\), то ответ можно записать в виде одной серии корней с периодом \(\pi\): \[x=\pi-\mathrm{arcctg}\, a+\pi m, m\in\mathbb{Z}\]

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

  1. Потому что это расширяет кругозор. Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
  2. Потому что это развивает интеллект. Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.