Математика
Русский язык

Прямоугольник и квадрат

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

\[{\Large{\text{Прямоугольник}}}\]

Определение

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого один угол прямой.

 

Таким образом, прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма:

 

\(\sim\) противоположные стороны попарно равны;

\(\sim\) диагонали точкой пересечения делятся пополам.

 

Теоремы: свойства прямоугольника

1) Все углы прямоугольника прямые.

 

2) Диагонали прямоугольника равны.

 

Доказательство

1) Пусть \(\angle A=90^\circ\). Т.к. в параллелограмме сумма соседних углов равна \(180^\circ\), то \(\angle B=180^\circ-\angle A=90^\circ\).

 

Т.к. в параллелограмме противоположные углы равны, то \(\angle C=\angle A=90^\circ, \angle D=\angle B=90^\circ\), чтд.

 

2) Рассмотрим прямоугольник \(ABCD\).


 

Прямоугольные треугольники \(ACD\) и \(DBA\) равны по двум катетам (\(CD = BA\), \(AD\) – общий катет). Отсюда следует, что гипотенузы этих треугольников равны, т.е. \(AC = BD\).

 

Следствие

Таким образом, половинки диагоналей в прямоугольнике равны, т.е. \(OA=OB=OC=OD\).

 

Теоремы: признаки прямоугольника

1) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

 

2) Если в выпуклом четырехугольнике все углы прямые, то он – прямоугольник.

 

Доказательство

1) Пусть в параллелограмме \(ABCD\) диагонали равны.


 

Треугольники \(ABD\) и \(DCA\) равны по трем сторонам (\(AB = CD\), \(BD = AC\), \(AD\) – общая сторона). Отсюда следует, что \(\angle A = \angle D\). Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\). Таким образом, \(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D\). Параллелограмм – выпуклый четырехугольник, поэтому \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\). Следовательно, \(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ\).

 

2) Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\):


 

Т.к. \(\angle A+\angle B=180^\circ\) – односторонние углы при прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\), следовательно, \(AD\parallel BC\).

 

Аналогично доказывается, что \(AB\parallel CD\). Значит, \(ABCD\) – параллелограмм. Т.к. у него к тому же все углы прямые, то по определению это прямоугольник.  

\[{\Large{\text{Квадрат}}}\]

Определение

Два эквивалентных определения квадрата:

 

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Квадрат – это ромб, у которого один угол прямой.

 

Свойства квадрата

Так как квадрат является прямоугольником и ромбом, то он обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба:

 

\(\sim\) Все углы квадрата равны \(90^\circ\);

\(\sim\) Все стороны квадрата равны;

\(\sim\) Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.