\[{\Large{\text{Прямоугольник}}}\]
Определение
Прямоугольник – это параллелограмм, у которого один угол прямой.
Таким образом, прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма:
\(\sim\) противоположные стороны попарно равны;
\(\sim\) диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Теоремы: свойства прямоугольника
1) Все углы прямоугольника прямые.
2) Диагонали прямоугольника равны.
Доказательство
1) Пусть \(\angle A=90^\circ\). Т.к. в параллелограмме сумма соседних углов равна \(180^\circ\), то \(\angle B=180^\circ-\angle A=90^\circ\).
Т.к. в параллелограмме противоположные углы равны, то \(\angle C=\angle A=90^\circ, \angle D=\angle B=90^\circ\), чтд.
2) Рассмотрим прямоугольник \(ABCD\).
Прямоугольные треугольники \(ACD\) и \(DBA\) равны по двум катетам (\(CD = BA\), \(AD\) – общий катет). Отсюда следует, что гипотенузы этих треугольников равны, т.е. \(AC = BD\).
Следствие
Таким образом, половинки диагоналей в прямоугольнике равны, т.е. \(OA=OB=OC=OD\).
Теоремы: признаки прямоугольника
1) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.
2) Если в выпуклом четырехугольнике все углы прямые, то он – прямоугольник.
Доказательство
1) Пусть в параллелограмме \(ABCD\) диагонали равны.
Треугольники \(ABD\) и \(DCA\) равны по трем сторонам (\(AB = CD\), \(BD = AC\), \(AD\) – общая сторона). Отсюда следует, что \(\angle A = \angle D\). Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\). Таким образом, \(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D\). Параллелограмм – выпуклый четырехугольник, поэтому \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\). Следовательно, \(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ\).
2) Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\):
Т.к. \(\angle A+\angle B=180^\circ\) – односторонние углы при прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\), следовательно, \(AD\parallel BC\).
Аналогично доказывается, что \(AB\parallel CD\). Значит, \(ABCD\) – параллелограмм. Т.к. у него к тому же все углы прямые, то по определению это прямоугольник.
\[{\Large{\text{Квадрат}}}\]
Определение
Два эквивалентных определения квадрата:
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Квадрат – это ромб, у которого один угол прямой.
Свойства квадрата
Так как квадрат является прямоугольником и ромбом, то он обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба:
\(\sim\) Все углы квадрата равны \(90^\circ\);
\(\sim\) Все стороны квадрата равны;
\(\sim\) Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
© 2024 Все права защищены | Карта сайта
Политика конфиденциальности
Пользовательское соглашение