Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

Реальные варианты ЕГЭ 2018

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты «Школково». Основная волна. Вариант №1. 1 июня 2018

Задание 1

На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и попросил залить бензин до полного бака. Цена бензина 27 руб. за литр. Клиент получил 82 руб. сдачи. Сколько литров бензина было залито в бак?

Если клиент отдал 1000 руб. и получил сдачи 82 руб., то на бензин он потратил \(1000-82=918\) руб. Так как литр бензина стоит 27 руб., то клиент купил \(918:27=34\) литра.

 

Ответ: 34

Задание 2

На рисунке жирными точками показана средняя температура за день в городе Кирове со 2 по 15 марта. По горизонтали указывается день месяца, по вертикали – средняя температура в соответствующий день в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа в период со 2 по 15 марта средняя температура за день впервые опустилась до 0,5 градусов Цельсия?

 

По рисунку видно, что средняя температура впервые опустилась до 0,5 градусов Цельсия 11 числа.

Ответ: 11

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times 1\) изображена трапеция. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, а из рисунка видно, что основания трапеции равны \(1\) и \(5\), то средняя линия равна \((1+5):2=3\).

 

Ответ: 3

Задание 4

На конференцию приехали 3 ученых из России, 5 ученых из Швеции и 2 ученых из Италии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что десятым окажется доклад ученого из России.

Вероятность того, что ученый из России будет выступать 10-ым, такая же, как вероятность того, что он будет выступать 1-ым, 2-ым и т.п.
Всего на конференцию приехало 10 ученых. Следовательно, вероятность того, что десятым будет выступать ученый из России, равна \[\dfrac3{10}=0,3\]

Ответ: 0,3

Задание 5

Найдите корень уравнения \(\sqrt{59-x}=8\).

ОДЗ уравнения: \(59-x\geqslant 0\). Решим на ОДЗ. Возведем в квадрат: \[59-x=64\quad\Rightarrow\quad x=-5\] Данный корень подходит под ОДЗ.

 

Ответ: -5

Задание 6

Отрезки \(AC\) и \(BD\) – диаметры окружности с центром \(O\). Угол \(AOD\) равен \(46^\circ\). Найдите вписанный угол \(DBC\). Ответ дайте в градусах.

Так как \(AC\) – диаметр, то дуга \(ADC\) равна \(180^\circ\). Так как \(\angle AOD=46^\circ\) и является центральным, то меньшая дуга \(AD\) равна \(46^\circ\). Следовательно, меньшая дуга \(DC\) равна \(180^\circ-46^\circ=134^\circ\).
Так как \(\angle DBC\) опирается на эту дугу и является вписанным, то он равен ее половине, следовательно, \(\angle DBC=67^\circ\).

Ответ: 67

Задание 7

На рисунке изображен график производной функции \(f(x)\), определенной на отрезке \([-10;37]\). Найдите количество точек максимума функции \(f(x)\) на отрезке \([0;37]\).

Точка максимума – значение \(x\), в котором производная меняет свой знак с “\(+\)” на “\(-\)”. Следовательно, в этой точке ее график пересекает ось абсцисс “сверху вниз” (если двигаться по рисунку слева направо). Отметим отрезок \([0;37]\) и увидим, что таких точек 2:

Ответ: 2

Задание 8

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 36, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Объем треугольной призмы равен произведению площади основания на высоту: \(V=S\cdot h\).
Так как в основании проведена средняя линия, то она отсекает от него треугольник, который подобен основанию с коэффициентом \(\frac12\). Следовательно, его площадь составляет \(\frac14\) площади основания исходной призмы. Таким образом, объем новой треугольной призмы составляет \(\frac14\) от объема исходной призмы, то есть равен 9.

 

Ответ: 9

Задание 9

Найдите значение выражения \(3^{\frac79}\cdot 81^{\frac59}\).

Так как \(81=3^4\), то значение выражения равно \(3^{\frac79}\cdot 3^{\frac{20}9}=3^{\frac79+\frac{20}9}=3^{3}=27\).

Ответ: 27

Задание 10

К источнику с ЭДС \(\varepsilon=75\) В и внутренним сопротивлением \(r=0,4\) Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением \(R\) Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, дается формулой \[U=\dfrac{\varepsilon R}{R+r}\] При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее \(60\) В? Ответ выразите в омах.

Подставляя значения в формулу и учитывая, что напряжение не менее \(60\) В, получим: \[\dfrac{75R}{R+0,4}\geqslant 60\quad\Rightarrow\quad \dfrac{15R-24}{R+0,4}\geqslant 0\] Так как сопротивление \(R>0\), то неравенство равносильно \(15R-24\geqslant 0\), откуда \(R\geqslant 1,6\). Следовательно, наименьшее сопротивление нагрузки равно \(1,6\) Ом.

 

Ответ: 1,6

Задание 11

Первая труба пропускает на 10 литров воды в минуту больше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 144 литра она заполняет на 10 минут быстрее, чем вторая труба?

Пусть производительность второй трубы равна \(x\) (литров воды в минуту), тогда производительность первой равна \(x+10\). Так как первая заполняет на 10 минут быстрее резервуар, то разность времен работы второй и первой труб равна 10 минутам: \[\dfrac{144}{x}-\dfrac{144}{x+10}=10 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{144x+1440-144x}{x(x+10)}=10 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{144}{x(x+10)}=1\] Так как \(x(x+10)\ne 0\), то уравнение можно переписать в виде \[144=x(x+10)\quad\Rightarrow\quad x^2+10x-144=0\] Дискриминант равен \(D=676=26^2\), откуда подходящий нам корень уравнения – это \(x=\dfrac{-10+26}2=8\). Тогда производительность первой трубы равна \(18\).

Ответ: 18

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции \(y=9x-\ln (x+5)^9\) на отрезке \([-4,5; 0]\).

Функция определена при \(x>-5\).

 

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно изобразить схематично ее график.

 

1) Найдем производную: \(y'=9-\dfrac1{(x+5)^9}\cdot 9(x+5)^8=9-\dfrac9{x+5}\).

 

2) Найдем нули производной: \(9-\dfrac9{x+5}=0\quad\Rightarrow\quad x=-4\).

 

3) Найдем знаки производной на получившихся промежутках и изобразим схематично график:


Таким образом, наименьшее значения функция принимает в точке \(x=-4\): \[y(-4)=-9\cdot 4-\ln (-4+5)^9=-36\]

Ответ: -36

Задание 13

а) Решите уравнение \(\cos x+\sqrt 2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)=\sin 2x-1\).

 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{11\pi}2; -4\pi\right]\).

а) Воспользуемся формулой \(\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha\cos \beta+\sin\beta\cos \alpha\): \[\begin{aligned} &\cos x+\sqrt 2\left(\sin 2x\cdot \cos \dfrac{\pi}4+ \sin \dfrac{\pi}4\cdot \cos 2x\right)=\sin 2x-1 \quad\Rightarrow\\[2ex] &\cos x+\sqrt2 \left(\sin 2x\cdot \dfrac{\sqrt2}2+\cos 2x\cdot \dfrac{\sqrt2}2\right)=\sin 2x-1\quad \Rightarrow\\[2ex] &\cos x+\sin 2x+\cos 2x-\sin 2x+1=0\quad\Rightarrow\\[2ex] &\cos x+(2\cos^2x-1)+1=0\quad\Rightarrow\quad 2\cos ^2x+\cos x=0\quad\Rightarrow\\[2ex] &\cos x(2\cos x+1)=0 \end{aligned}\]Таким образом, либо \(\cos x=0\), либо \(2\cos x+1=0\), откуда получаем серии решений:

\(x=\dfrac{\pi}2+\pi k, \ x=\pm \dfrac{2\pi}3+2\pi n, \ k,n\in\mathbb{Z}\).

 

б) Отберем корни.

\(-\dfrac{11\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}2+\pi k\leqslant -4\pi \quad\Rightarrow\quad -6\leqslant k\leqslant -4,5\quad\Rightarrow\quad k=-6; -5\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{11\pi}2; -\dfrac{9\pi}2\)   \(-\dfrac{11\pi}2\leqslant \dfrac{2\pi}3+2\pi n\leqslant -4\pi \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{37}{12}\leqslant n\leqslant -\dfrac73\quad\Rightarrow\quad n=-3\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{16\pi}3\)   \(-\dfrac{11\pi}2\leqslant -\dfrac{2\pi}3+2\pi n\leqslant -4\pi \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{29}{12}\leqslant n\leqslant -\dfrac53\quad\Rightarrow\quad n=-2\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{14\pi}3\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2+\pi k, \pm \dfrac{2\pi}3+2\pi n, \ k,n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{11\pi}2; -\dfrac{16\pi}3; -\dfrac{14\pi}3; -\dfrac{9\pi}2\)

Задание 14

В цилиндре на окружности нижнего основания отмечены точки \(A\) и \(B\). На окружности верхнего основания отмечены точки \(B_1\) и \(C_1\) так, что \(BB_1\) является образующей цилиндра, перпендикулярной основаниям, а \(AC_1\) пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что прямые \(AB\) и \(B_1C_1\) перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми \(AC_1\) и \(BB_1\), если \(AB=12, B_1C_1=9, BB_1=8\).

а) Пусть \(C\) – проекция точки \(C_1\) на плоскость нижнего основания. Так как \(AC_1\) пересекает ось \(OO_1\) цилиндра, то она лежит с ней в одной плоскости, то есть \(AC_1\) лежит в плоскости осевого сечения цилиндра, следовательно, \(AC\) – диаметр нижнего основания.
Так как \(B_1C_1\parallel (ABC)\), то \(\angle (AB, B_1C_1)=\angle (AB, BC)\). Так как \(AC\) – диаметр, то \(\angle ABC\) вписанный, опирающийся на диаметр, следовательно, \(\angle ABC=90^\circ\). Чтд.

б) Заметим, что прямые \(BB_1\) и \(AC_1\) являются скрещивающимися, так как \(BB_1\parallel (ACC_1)\), а \(AC_1\in (ACC_1)\).
Расстояние между скрещивающимися прямыми в таком случае равно расстоянию от любой точки прямой \(BB_1\) до плоскости \((ACC_1)\). Проведем \(BH\perp AC\). Так как \(OO_1\perp (ABC)\), следовательно, \(OO_1\perp BH\). Таким образом, мы имеем две прямые в плоскости \(ACC_1\), которым перпендикулярна \(BH\). Значит, \(BH\) – расстояние от точки \(B\) до плоскости \(ACC_1\), то есть искомое расстояние.
Так как \(B_1C_1=9\) и \(B_1C_1\parallel BC\), причем \(BC\) – проекция \(B_1C_1\) на плоскость нижнего основания, то \(BC=9\). Отсюда по теореме Пифагора \(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=15\). Тогда из \(S_{ABC}=0,5 AC\cdot BH=0,5AB\cdot BC\) получаем: \(BH=\dfrac{AB\cdot BC}{AC}=7,2\).

Ответ:

б) 7,2

Задание 15

Решите неравенство \[\log_7(11x^2+10)-\log_7(x^2+x+1)\geqslant \log_7\left(\dfrac{x}{x+8}+10\right)\]

Ограничения на \(x\) для логарифмов: \[\begin{cases} 11x^2+10>0\\ x^2+x+1>0\\ \dfrac x{x+8}+10>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x\in \mathbb{R}, \text{ так как }x^2\geqslant 0\\ x\in \mathbb{R}, \text{ так как }D<0 \text{ и коэффициент при } x^2 \text{ больше 0}\\ x\in (-\infty;-8)\cup \left(-\dfrac{80}{11}; +\infty\right)\end{cases}\]

Решим неравенство при этих ограничениях.
Воспользуемся формулой \(\log_c a-\log_cb=\log_c\frac ab\): \[\begin{aligned} &\log_7\left(\dfrac{11x^2+10}{x^2+x+1}\right)\geqslant \log_7\left(\dfrac{x+10x+80}{x+8}\right)\quad\Rightarrow\\[2ex] &\dfrac{11x^2+10}{x^2+x+1}\geqslant\dfrac{x+10x+80}{x+8} \quad\Rightarrow\\[2ex] &\dfrac{-3x^2-81x}{(x+8)(x^2+x+1)}\geqslant 0\quad\Rightarrow\\[2ex] &\dfrac{x(x+27)}{(x+8)(x^2+x+1)}\leqslant 0 \end{aligned}\] Как уже говорилось выше, \(x^2+x+1>0\), следовательно, неравенство можно переписать в виде: \[\dfrac{x(x+27)}{x+8}\leqslant 0\] Решая полученное неравенство методом интервалов, получим \[x\in (-\infty; -27]\cup(-8; 0]\] Учитывая ограничения на \(x\), получим окончательный ответ: \[(-\infty; -27]\cup\left(-\frac{80}{11}; 0\right]\]

Ответ:

\((-\infty; -27]\cup\left(-\frac{80}{11}; 0\right]\)

Задание 16

Окружность проходит через вершины \(A, B\) и \(D\) параллелограмма \(ABCD\). Эта окружность пересекает \(BC\) в точке \(E\), а \(CD\) в точке \(K\).
а) Докажите, что отрезки \(AE\) и \(AK\) равны.
б) Найдите \(AD\), если известно, что \(EC=48\), \(DK=20\), а косинус угла \(BAD\) равен \(0,4\).

а)
Так как противоположные углы параллелограмма равны, то \(\angle ABE=\angle ADK\). Так как равные вписанные углы опираются на равные дуги и на равные хорды, то \(AE=AK\), чтд.

 

б) Введем обозначения: \(AD=x\), \(CK=y\). Проведем отрезок \(ED\). Тогда \(ABED\) – трапеция, причем, так как она вписана в окружность, она равнобедренная. Следовательно, \(ED=y+20\).


Запишем теорему косинусов для \(\triangle ECD\): \[(y+20)^2=48^2+(y+20)^2-2\cdot 48\cdot (y+20)\cdot 0,4 \quad\Rightarrow\quad y=40\] Следовательно, \(AB=60\).
Так как \(\angle B+\angle C=180^\circ\) по свойству параллелограмма, то их косинусы противоположны, следовательно, \(\cos \angle B=-0,4\).
Так как \(AE=AK\), то найдем \(AE^2\) и \(AK^2\) по теореме косинусов из \(\triangle ABE\) и \(\triangle ADK\) и приравняем: \[60^2+(x-48)^2-2\cdot 60\cdot (x-48)\cdot (-0,4)=x^2+20^2-2\cdot 20\cdot x \cdot (-0,4) \quad\Rightarrow\quad x=50\] Следовательно, \(AD=50\).

 

Ответ:

б) 50

Задание 17

15 января планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 31 месяц. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на \(1\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— на 15-ое число каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен должен быть на 20 тыс. рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 31-го месяца долг должен быть погашен полностью.
Сколько тысяч рублей составляет долг на 15 число 30-ого месяца, если банку всего было выплачено 1348 тыс. рублей?

Пусть в банке взято \(A\) тыс. рублей. Заметим, что фраза “на 15 число каждого с 1 по 30 месяц долг должен уменьшаться на 20 тыс. руб.” означает, что с 1 по 30 месяц долг выплачивался дифференцированными платежами, то есть сначала гасились начисленные проценты, а затем вносилась одна и та же сумма, равная 20 тыс. рублей, вследствие чего после платежей с 1 по 30 месяц долг менялся так:
\(A-20 \ \rightarrow\ A-2\cdot 20 \ \rightarrow \ A-3\cdot 20 \ \rightarrow \dots \ \rightarrow \ A-30\cdot 20\).
Так как в 31 месяце долг должен быть погашен полностью, то это значит, что платеж в 31 месяце будет равен оставшемуся долгу (после начисления процентов).

 

Составим таблицу, в которой все будет выглядеть более наглядно: \[\begin{array}{|l|l|l|l|l|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до }\% & \text{Долг после }\% &\text{Выплата} & \text{Долг после}\\ &&&&\text{выплаты}\\ \hline 1 & A&A+0,01 A &0,01A+20 &A-20\\ \hline 2 & A-20& (A-20)+0,01(A-20)&0,01(A-20)+20 &A-40\\ \hline 3 & A-40& (A-40)+0,01(A-40)&0,01(A-40)+20 &A-60\\ \hline \dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\ \hline 30 & A-580& (A-580)+0,01(A-580)&0,01(A-580)+20 &A-600\\ \hline 31 & A-600& 1,01(A-600)&1,01(A-600) &0\\ \hline \end{array}\]

Исходя из условия задачи, нужно найти \(A-600\). Для этого нужно найти \(A\). Так как всего было выплачено банку 1348 тыс. рублей, то сумма всех выплат равна 1348 тыс. рублей:

\((0,01A+20)+ (0,01(A-20)+20 )+(0,01(A-40)+20 )+\dots +(0,01(A-580)+20) +(1,01(A-600) )=1348\)

Так как первые 30 платежей дифференцированные, то они образуют арифметическую прогрессию (заметьте, их разность равна \(-0,01\cdot 20\)). Таким образом, первые 30 слагаемых можно просуммировать, воспользовавшись формулой \(S_{30}=\dfrac{a_1+a_{30}}2\cdot 30\): \[\begin{aligned} &\dfrac{0,01A+20+0,01(A-580)+20}2\cdot 30+1,01(A-600)=1348\\[2ex] &(0,01A+20-0,01\cdot 290)\cdot 30+1,01A-606=1348\\[2ex] &0,3A+600-87+1,01A-606=1348\\[2ex] &A=\dfrac{1441}{1,31}=1100 \end{aligned}\]

Таким образом, ответ: \(A-600=500\).

Ответ: 500

Задание 18

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система \[\begin{cases} (x-2a-2)^2+(y-a)^2=1\\ y^2=x^2\end{cases}\]

имеет ровно четыре решения.

Второе уравнение системы можно переписать в виде \(y=\pm x\). Следовательно, рассмотрим два случая: когда \(y=x\) и когда \(y=-x\). Тогда количество решений системы будет равно сумме количества решений в первом и во втором случаях.

 

1) \(y=x\). Подставим в первое уравнение и получим: \[2x^2-2(3a+2)x+(2a+2)^2+a^2-1=0\quad(1)\] (заметим, что в случае \(y=-x\) мы поступим так же и тоже получим квадратное уравнение)
Чтобы исходная система имела 4 различных решения, нужно, чтобы в каждом из двух случаев получилось по 2 решения.
Квадратное уравнение имеет два корня, когда его \(D>0\). Найдем дискриминант уравнения (1):
\(D=-4(a^2+4a+2)\).
Дискриминант больше нуля: \(a^2+4a+2<0\), откуда \(a\in (-2-\sqrt2; -2+\sqrt2)\).

 

2) \(y=-x\). Получаем квадратное уравнение: \[2x^2-2(a+2)x+(2a+2)^2+a^2-1=0\quad (2)\] Дискриминант больше нуля: \(D=-4(9a^2+12a+2)>0\), откуда \(a\in \left(\frac{-2-\sqrt2}3; \frac{-2+\sqrt2}3\right)\).

 

Необходимо проверить, не совпадают ли решения в первом случае с решениями во втором случае.

 

Пусть \(x_0\) – общее решение уравнений (1) и (2), тогда \[2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=2x_0^2-2(a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1\] Отсюда получаем, что либо \(x_0=0\), либо \(a=0\).
Если \(a=0\), то уравнения (1) и (2) получаются одинаковыми, следовательно, имеют одинаковые корни. Этот случай нам не подходит.
Если \(x_0=0\) – их общий корень, то тогда \(2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0\), откуда \((2a+2)^2+a^2-1=0\), откуда \(a=-1\) или \(a=-0,6\). Тогда вся исходная система будет иметь 3 различных решения, что нам не подходит.

 

Учитывая все это, в ответ пойдут:

\[a\in\left(\dfrac{-2-\sqrt2}3; -1\right)\cup\left(-1; -0,6\right)\cup\left(-0,6; -2+\sqrt2\right)\]

Ответ:

\(a\in\left(\frac{-2-\sqrt2}3; -1\right)\cup\left(-1; -0,6\right)\cup\left(-0,6; -2+\sqrt2\right)\)

Задание 19

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших из них равно 15.
а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 11?
в) Найдите наибольшее среднее арифметическое всех чисел.

а) Когда в задаче дается набор различных натуральных чисел, а также дается либо сумма чисел, либо их среднее арифметическое (зная среднее арифметическое чисел и их количество, можно легко посчитать их сумму), как правило, работает классическая идея минимальной суммы.
Предположим, что наименьшее число равно 3. Тогда наименьшая возможная сумма шести наименьших чисел равна \(3+4+5+6+7+8=33\). Тогда наименьшее среднее арифметическое шести наименьших чисел равно \(\frac{33}6>5\).
Мы взяли шесть самых маленьких различных натуральных чисел при условии, что наименьшее из них равно 3. И если их среднее арифметическое оказалось больше 5, то и среднее арифметическое шести любых различных натуральных чисел, наименьшее из которых равно 3, будет больше 5.
Следовательно, мы получили противоречие, значит, наименьшее число в наборе не может быть равно 3.

 

б) Пусть мы имеем набор упорядоченных по возрастанию чисел \(a_1, a_2, \dots, a_{10}\). Так как \((a_1+a_2+\dots+a_6):6=5\), то \(a_1+\dots +a_6=30\). Аналогично \(a_5+a_6+\dots a_{10}=90\). Тогда \(a_1+a_2+\dots +a_{10}+(a_5+a_6)=120\).
Наименьшее возможное значение \(a_5\) – это 5, так как числа натуральные и различные и они упорядочены по возрастанию. Тогда самое маленькое возможное значение \(a_6\) – это 6. Но тогда наибольшая возможная сумма \(a_1+\dots +a_{10}=120-(5+6)=109\). Но тогда наибольшее возможное среднее арифметическое всех десяти чисел равно \(109:10=10,9<11\). Следовательно, среднее арифметическое всех чисел не может быть равно 11.

 

в) В предыдущем пункте мы сказали, что \(a_1+a_2+\dots +a_{10}=120-(a_5+a_6)\). Следовательно, для того, чтобы найти наибольшую возможную сумму всех чисел, нужно найти наименьшую возможную сумму \(a_5+a_6\).
Ранее мы доказали, что минимальная сумма \(a_5+a_6=11\). Заметим, что, учитывая условие, что сумма наименьших шести чисел равна 30, такая ситуация невозможна: наибольшее возможное \(a_5\) тогда равно 5, значит, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна \(1+2+3+4=10\), откуда мы получаем, что наибольшая сумма первых шести чисел равна \(1+2+3+4+5+6<30\).
Рассмотрим случаи:

 

1) Пусть \(a_5+a_6=12\). Тогда \(a_1+a_2+a_3+a_4=18\). Тогда наибольшее возможное значение для \(a_5\) – это 5. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна \(1+2+3+4<18\). Следовательно, такой случай невозможен.

2) Пусть \(a_5+a_6=13\). Тогда \(a_1+a_2+a_3+a_4=17\). Тогда наибольшее возможное значение для \(a_5\) – это 6. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна \(2+3+4+5<17\). Следовательно, такой случай невозможен.

3) Пусть \(a_5+a_6=14\). Тогда \(a_1+a_2+a_3+a_4=16\). Тогда наибольшее возможное значение для \(a_5\) – это 6. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна \(2+3+4+5<16\). Следовательно, такой случай невозможен.

4) Пусть \(a_5+a_6=15\). Тогда \(a_1+a_2+a_3+a_4=15\). Тогда наибольшее возможное значение для \(a_5\) – это 7. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна \(3+4+5+6=18\). Это не больше 15, следовательно, противоречия мы не получили. Попробуем построить пример.
Возьмем \(a_5=7, a_6=8\). Возьмем также \(a_1=2, a_2=3, a_3=4, a_4=6\). Тогда действительно \(a_1+\dots +a_6=2+3+4+6+7+8=30\).
Подберем последние четыре числа: \(a_7=9, a_8=10, a_9=11, a_{10}=45\). Действительно \(a_5+\dots +a_{10}=90\).
Пример приведен, следовательно, наибольшая возможная сумма десяти чисел равна \(120-15=105\). Тогда наибольшее вреднее арифметическое всех чисел равно \(10,5\).

Ответ:

а) нет

б) нет

в) 10,5