а) Когда в задаче дается набор различных натуральных чисел, а также дается либо сумма чисел, либо их среднее арифметическое (зная среднее арифметическое чисел и их количество, можно легко посчитать их сумму), как правило, работает классическая идея минимальной суммы.
Предположим, что наименьшее число равно 3. Тогда наименьшая возможная сумма шести наименьших чисел равна \(3+4+5+6+7+8=33\). Тогда наименьшее среднее арифметическое шести наименьших чисел равно \(\frac{33}6>5\).
Мы взяли шесть самых маленьких различных натуральных чисел при условии, что наименьшее из них равно 3. И если их среднее арифметическое оказалось больше 5, то и среднее арифметическое шести любых различных натуральных чисел, наименьшее из которых равно 3, будет больше 5.
Следовательно, мы получили противоречие, значит, наименьшее число в наборе не может быть равно 3.
б) Пусть мы имеем набор упорядоченных по возрастанию чисел \(a_1,
a_2, \dots, a_{10}\). Так как \((a_1+a_2+\dots+a_6):6=5\), то \(a_1+\dots +a_6=30\). Аналогично \(a_5+a_6+\dots a_{10}=90\). Тогда \(a_1+a_2+\dots +a_{10}+(a_5+a_6)=120\).
Наименьшее возможное значение \(a_5\) – это 5, так как числа натуральные и различные и они упорядочены по возрастанию. Тогда самое маленькое возможное значение \(a_6\) – это 6. Но тогда наибольшая возможная сумма \(a_1+\dots +a_{10}=120-(5+6)=109\). Но тогда наибольшее возможное среднее арифметическое всех десяти чисел равно \(109:10=10,9<11\). Следовательно, среднее арифметическое всех чисел не может быть равно 11.
в) В предыдущем пункте мы сказали, что \(a_1+a_2+\dots
+a_{10}=120-(a_5+a_6)\). Следовательно, для того, чтобы найти наибольшую возможную сумму всех чисел, нужно найти наименьшую возможную сумму \(a_5+a_6\).
Ранее мы доказали, что минимальная сумма \(a_5+a_6=11\). Заметим, что, учитывая условие, что сумма наименьших шести чисел равна 30, такая ситуация невозможна: наибольшее возможное \(a_5\) тогда равно 5, значит, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна \(1+2+3+4=10\), откуда мы получаем, что наибольшая сумма первых шести чисел равна \(1+2+3+4+5+6<30\).
Рассмотрим случаи:
1) Пусть \(a_5+a_6=12\). Тогда \(a_1+a_2+a_3+a_4=18\). Тогда наибольшее возможное значение для \(a_5\) – это 5. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна \(1+2+3+4<18\). Следовательно, такой случай невозможен.
2) Пусть \(a_5+a_6=13\). Тогда \(a_1+a_2+a_3+a_4=17\). Тогда наибольшее возможное значение для \(a_5\) – это 6. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна \(2+3+4+5<17\). Следовательно, такой случай невозможен.
3) Пусть \(a_5+a_6=14\). Тогда \(a_1+a_2+a_3+a_4=16\). Тогда наибольшее возможное значение для \(a_5\) – это 6. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна \(2+3+4+5<16\). Следовательно, такой случай невозможен.
4) Пусть \(a_5+a_6=15\). Тогда \(a_1+a_2+a_3+a_4=15\). Тогда наибольшее возможное значение для \(a_5\) – это 7. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна \(3+4+5+6=18\). Это не больше 15, следовательно, противоречия мы не получили. Попробуем построить пример.
Возьмем \(a_5=7, a_6=8\). Возьмем также \(a_1=2, a_2=3, a_3=4, a_4=6\). Тогда действительно \(a_1+\dots +a_6=2+3+4+6+7+8=30\).
Подберем последние четыре числа: \(a_7=9, a_8=10, a_9=11, a_{10}=45\). Действительно \(a_5+\dots +a_{10}=90\).
Пример приведен, следовательно, наибольшая возможная сумма десяти чисел равна \(120-15=105\). Тогда наибольшее вреднее арифметическое всех чисел равно \(10,5\).
Ответ:
а) нет
б) нет
в) 10,5