Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 1 #612
Уровень задания: Легче ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 90^{\circ}\), \(\sin {\angle BAC} = \dfrac{2}{3}\). Найдите \(AC\), если \(AB = 6\sqrt{5}\).

Добавить задание в избранное





Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе, тогда \[\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{2}{3}\qquad\Rightarrow\qquad BC = \dfrac{2}{3}AB = 4\sqrt{5}.\]

По теореме Пифагора \(AC^2 = AB^2 - BC^2 = 36\cdot 5 - 16\cdot 5 = 20\cdot 5 = 10^2\), тогда \(AC = 10\).

Ответ: 10

Задание 2 #2098
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан прямоугольный треугольник \(ABC\), причем \(\angle C=90^\circ\). Известно, что \(\cos \angle B=\dfrac13\), \(AB=9\). Найдите \(BC\).

Добавить задание в избранное


 

По определению косинуса \[\cos\angle B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac13 \quad \Leftrightarrow \quad BC=\dfrac13\cdot AB=\dfrac13\cdot 9=3\]

Ответ: 3

Задание 3 #2099
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан треугольник \(ABC\), причем \(\angle C=90^\circ\). Найдите длину его гипотенузы, если \(AC=8, \ \cos \angle A=\dfrac45\).

Добавить задание в избранное


 

По определению косинуса \[\cos \angle A=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac45 \quad \Leftrightarrow \quad AB=AC\cdot \dfrac54=10\]

Ответ: 10

Задание 4 #3320
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Большее основание равнобедренной трапеции равно \(34\). Боковая сторона равна \(14\). Синус острого угла равен \(\dfrac{2\sqrt{10}}7\). Найдите меньшее основание.

Добавить задание в избранное


 

Проведем \(BH\perp AD\). Из \(\triangle ABH\): \[\dfrac{2\sqrt{10}}7=\sin\angle A=\dfrac{BH}{AB}\quad\Rightarrow\quad BH=4\sqrt{10}\] Тогда по теореме Пифагора \[AH=\sqrt{14^2-(4\sqrt{10})^2}=6\] Так как \(AH=0,5(AD-BC)\), то \(BC=AD-2AH=34-12=22\).

Ответ: 22

Задание 5 #3305
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) угол \(C=90^\circ\), \(CH\) – высота, \(AB=13\), \(\mathrm{tg}\,\angle A=0,2\). Найдите \(AH\).

Добавить задание в избранное


 

Так как по определению из \(\triangle ABC\): \[\dfrac{BC}{AC}=\mathrm{tg}\,\angle A=\dfrac 15\] то можно принять \(BC=x\), \(AC=5x\). Следовательно, по теореме Пифагора \[BC^2+AC^2=AB^2\quad\Rightarrow\quad x^2+(5x)^2=13^2\quad\Rightarrow\quad x^2=\dfrac{13}2\] Из \(\triangle AHC\): \[\cos \angle A=\dfrac{AH}{AC}\] Из \(\triangle ABC\): \[\cos \angle A=\dfrac{AC}{AB}\] Следовательно: \[\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AC}{AB}\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac{AC^2}{AB}=\dfrac{(5x)^2}{13}=\dfrac{25}2=12,5\]

Ответ: 12,5

Задание 6 #3306
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) угол \(C=90^\circ\), \(CH\) – высота, \(AB=26\), \(\mathrm{tg}\,\angle B=5\). Найдите \(AH\).

Добавить задание в избранное


 

По определению из \(\triangle ABC\): \[\dfrac{AC}{BC}=\mathrm{tg}\,\angle B=\dfrac 51\] Следовательно, можно принять \(AC=5x\), \(BC=x\). Тогда по теореме Пифагора \(x^2+(5x)^2=26^2\), откуда \(x=\sqrt{26}\).
Тогда \[\sin\angle B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac5{\sqrt{26}}\] По свойству прямоугольного треугольника \(\angle B=\angle HCA\). Следовательно, из \(\triangle HCA\): \[\dfrac5{\sqrt{26}}=\sin \angle HCA=\dfrac{AH}{AC}\quad\Rightarrow\quad AH=25\]

Ответ: 25

Задание 7 #3307
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) угол \(C=90^\circ\), \(AB=17\), \(\mathrm{tg}\,\angle A=0,25\). Найдите высоту \(CH\).

Добавить задание в избранное


 

По определению из \(\triangle ABC\): \[\dfrac{BC}{AC}=\mathrm{tg}\,\angle A=\dfrac 14\] Следовательно, можно принять \(AC=4x\), \(BC=x\). Тогда по теореме Пифагора \(x^2+(4x)^2=17^2\), откуда \(x=\sqrt{17}\).
Так как площадь прямоугольного треугольника \(ABC\), с одной стороны, равна \(0,5CH\cdot AB\), а с другой стороны, равна \(0,5BC\cdot AC\), то \[CH\cdot AB=BC\cdot AC\quad\Rightarrow\quad CH=\dfrac{4x^2}{AB}=4\]

Ответ: 4

1 2 .... 5