Математика
Русский язык

Реальные варианты ЕГЭ 2017

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Средняя линия треугольника

Задание 1

В квартире, где проживает Александр, установлен прибор учета расхода холодной воды (счетчик). 1 мая счетчик показывал расход 256 куб. м. воды, а 1 июня – 287 куб. м. Какую сумму должен заплатить Александр за холодную воду за май, если цена 1 куб. м. холодной воды составляет 15 руб. 25 коп.? Ответ дайте в рублях.

За май Александр израсходовал \(287-256=31\) куб. м. холодной воды. Так как 15 руб. 25 коп. равно 15,25 руб, то заплатить ему нужно \[31\cdot 15,25=472,75 \quad {\small{\text{руб.}}}\]

Ответ: 472,75

Задание 2

На рисунке жирными точками указывается цена серебра на момент закрытия торгов. По горизонтали указываются числа месяца, а по вертикали — цена серебра в рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены отрезками. Определите по рисунку максимальную стоимость серебра во второй половине месяца.

Так как вторая половина месяца начинается с 16 числа, то максимальная цена серебра была 19-ого числа и составила 350 рублей.

Ответ: 35

Задание 3

На клетчатой бумаге размером клетки \(1\times 1\) см\(^2\) изображен четырехугольник. Найдите радиус окружности, которую можно вписать в данный четырехугольник. Ответ дайте в сантиметрах.

Заметим, что на рисунке изображен квадрат. Следовательно, так как радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны, а сторона квадрата равна \(7\) см, то радиус равен \(7:2=3,5\).

Ответ: 3,5

Задание 4

Перед началом футбольного матча капитаны двух команд подбрасывают монету. Найдите вероятность того, что первая команда будет начинать все три матча подряд.

Событие “первая команда будет начинать три матча” состоит из события 1: “первая команда будет начинать первый матч” И события 2: “первая команда будет начинать второй матч” И события 3: “первая команда будет начинать третий матч” (и они независимы).
Следовательно, искомая вероятность равна \[P=P(\text{события 1})\cdot P(\text{события 2})\cdot P(\text{события 3})ю\] Вероятность каждого из событий 1, 2 и 3 одинакова и равна \(\dfrac12\). Следовательно, \[P=\dfrac12\cdot \dfrac12\cdot \dfrac12=\dfrac18=0,125.\]

Ответ: 0,125

Задание 5

Найдите корень уравнения \[\log_2(4x+12)=3\log_22\]

Так как \(n\log_ab=\log_ab^n\), то уравнение можно переписать в виде \[\log_2(4x+12)=\log_22^3 \quad\Leftrightarrow\quad \log_2(4x+12)=\log_28 \quad\Leftrightarrow\quad 4x+12=8\quad\Rightarrow\quad x=-1.\]

Ответ: -1

Задание 6

Найдите синус угла \(A\), если известно, что \(\angle C=90^\circ\), \(AB=12\), \(AC=\sqrt{63}\).

Так как синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то \[\sin \angle A=\dfrac{BC}{AB}\] Найдем \(BC\) по теореме Пифагора: \[BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{144-63}=\sqrt{81}=9.\] Следовательно, \[\sin\angle A=\dfrac{9}{12}=\dfrac34=0,75.\]

Ответ: 0,75

Задание 7

На рисунке изображен график функции \(y=f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0\). Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0\).

Проведем через точки \(A\) и \(B\) касательной прямые, параллельные осям координат, как показано на рисунке:


 

Значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси \(Ox\). \(\beta\) – угол наклона касательной. Так как \(\alpha\) и \(\beta\) – односторонние углы при \(AC\parallel Ox\) и \(AB\) – секущей, то \(\alpha+\beta=180^\circ\). Следовательно, \[\mathrm{tg}\,\beta=\mathrm{tg}\,(180^\circ-\alpha)=-\mathrm{tg}\,\alpha= -\dfrac{BC}{AC}=-\dfrac6{12}=-\dfrac12=-0,5.\]

Ответ: -0,5

Задание 8

Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Известно, что \(BB_1=6\), \(AB=4\), \(A_1D_1=5\). Найдите объем многогранника \(ABA_1B_1C_1D_1\).

Рассмотрим рисунок:


 

Заметим, что плоскость \(ABC_1D_1\) разбивает прямоугольный параллелепипед на два одинаковых многогранника: \(ABA_1B_1C_1D_1\) и \(C_1D_1ABCD\). Следовательно, их объемы будут равны. Значит, \[V_{ABA_1B_1C_1D_1}=\dfrac12\cdot V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}= \dfrac12\cdot (6\cdot 5\cdot 4)=60.\]

Ответ: 60

Задание 9

Найдите значение выражения \[{\large{\dfrac{\sqrt[3]9\cdot \sqrt[6]9}{\sqrt9}}}\]

Так как \(\sqrt[n]a=a^{\frac1n}\), то выражение можно переписать: \[{\large{\dfrac{9^{\frac13}\cdot 9^{\frac16}}{9^{\frac12}}= 9^{\frac13+\frac16-\frac12}}}=9^0=1.\]

Ответ: 1

Задание 10

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: \(T(t)=T_0+bt+at^2\), где \(t\) – время в минутах, \(T_0=1400\) К, \(a=-5\) К/мин\(^2\), \(b=95\) К/мин. Известно, что при температуре нагревания свыше \(1640\) К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Время, в течение которого прибор может работать без опасности быть испорченным, задается неравенством: \[-5t^2+95t+1400\leqslant 1640 \quad\Leftrightarrow\quad t^2-19t+48\geqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов. Корнями уравнения \(t^2-19t+48=0\) будут \(t_1=3\) и \(t_2=16\). Следовательно, решением неравенства будут \(t\in (-\infty;3]\cup[16;+\infty)\). Следовательно, до \(3\) минут температура нагревания не превышает \(1640\) К и прибор может спокойно работать, а вот в \(t=3\) минуты впервые температура нагревания достигнет \(1640\) К. Следовательно, через \(3\) минуты после начала работы прибор стоить отключить.

Ответ: 3

Задание 11

Первый час автомобиль ехал со скоростью \(65\) км/ч, затем два часа со скоростью \(110\) км/ч, а следующие три часа со скоростью \(75\) км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всем пути. Ответ дайте в км/ч.

Средняя скорость равна отношению всего пути ко времени, затраченному на этот путь. Следовательно, \[v_{\text{ср}}=\dfrac{1\cdot 65+2\cdot 110+3\cdot 75}{1+2+3}=85.\]

Ответ: 85

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции \[y=9\sin x-\dfrac{36x}{\pi}+4\]

на промежутке \(\left[-\dfrac{5\pi}6;0\right].\)

Для того, чтобы определить наибольшее значение функции на промежутке, построим схематично ее график на этом промежутке. Для этого найдем промежутки возрастания/убывания.
Найдем производную: \(y'=9\cos x-\dfrac{36}{\pi}\). Найдем нули производной: \[9\cos x-\dfrac{36}{\pi}=0 \quad\Leftrightarrow\quad \cos x=\dfrac4{\pi}\] Так как область значений косинуса – отрезок \([-1;1]\), а \(\frac4{\pi}>1\), то уравнение не имеет решений. Следовательно, производная не имеет нулей, а значит принимает значения одного знака. Подставив любое удобное \(x\) (например, \(x=\frac{\pi}2\)), видим, что \(y'<0\) при всех \(x\). Значит, функция убывает при всех \(x\). Следовательно, на отрезке \(\left[-\dfrac{5\pi}6;0\right]\) схематично ее график выглядит так:


 

Следовательно, на данном отрезке наибольшее значение она принимает в его начале. Поэтому \[y_{\text{наиб}}=y\left(-\dfrac{5\pi}6\right)=9\sin \left(-\dfrac{5\pi}6\right)+ \dfrac{36\cdot 5\pi}{6\pi}+4=-\dfrac92+30+4=29,5.\]

Ответ: 29,5

Задание 13

а) Решите уравнение \[8^x-9\cdot 2^{x+1}+2^{5-x}=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \([\log_52;\log_5{20}]\).

а) ОДЗ уравнения: \(x\in\mathbb{R}\).

 

Сделаем замену \(2^x=t\), \(t>0\). Тогда уравнение примет вид: \[t^3-9\cdot 2t+\dfrac{2^5}t=0\] Так как \(t>0\), то можно умножить правую и левую части равенства на \(t\): \[t^4-18t^2+32=0\] Получили биквадратное уравнение. По теореме Виета \(t^2=16\) и \(t^2=2\). Следовательно, учитывая, что \(t>0\), получаем, \(t=4\) и \(t=\sqrt2\).

 

Сделаем обратную замену:
\(2^x=4\) и \(2^x=\sqrt2\), откуда \(x=2\) и \(x=\frac12\).

 

б) Заметим, что \(\frac12=\log_5{\sqrt5}\) и \(2=\log_5{25}\). Так как \(y=\log_5x\) возрастает, то только \(\log_5{\sqrt5}\) принадлежит отрезку \([\log_52;\log_5{20}]\), так как \(2<\sqrt5<20\) – верно, а \(2<25<20\) – неверно.

Ответ:

а) \(\{\frac12;2\}\)

б) \(\{\frac12\}\)

Задание 14

Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Через прямую \(BD_1\) параллельно прямой \(AC\) проведена плоскость \(\pi\), причем сечение параллелепипеда плоскостью \(\pi\) представляет собой ромб.

 

а) Докажите, что \(ABCD\) – квадрат.

 

б) Найдите угол между плоскостью \(\pi\) и плоскостью \(BCC_1\), если \(AD=4\) и \(AA_1=6\).

а) Заметим, что \(BD_1\) и \(AC_1\) пересекаются и своей точкой пересечения делятся пополам (по свойству параллелепипеда). Обозначим их точку пересечения за \(O\). Следовательно, \(O\) лежит и в плоскости \(\pi\), и в плоскости \(ACC_1\). Проведем в плоскости \(ACC_1\) прямую \(MN\) через точку \(O\) параллельно \(AC\). Значит, \(M\) – середина \(AA_1\), \(N\) – середина \(CC_1\).

 

Так как по признаку прямая параллельна плоскости, когда она параллельна некоторой прямой из этой плоскости, то прямая \(AC\) параллельна любой плоскости, проходящей через \(MN\). Следовательно, плоскость \(\pi\) – это плоскость, проходящая через \(MN\) и \(BD_1\).


 

Соединив последовательно точки \(M, D_1, N, B\), получим сечение \(MD_1NB\). По условию оно является ромбом, следовательно, \(MB=NB\).
Докажем, что \(AB=BC\). Отсюда будет следовать, что \(ABCD\) – квадрат (так как из того, что \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) прямоугольный параллелепипед, уже следует, что \(ABCD\) — прямоугольник).

 

По теореме Пифагора \(MB^2=AB^2+AM^2\) и \(NB^2=BC^2+CN^2\). Так как \(AM=CN\) как половины боковых ребер, а \(MB=NB\) по условию, то и \(AB=BC\), чтд.

 

б) Проведем \(C_1H\perp BN\) (\(BN\) – линия пересечения плоскостей \(BCC_1\) и \(\pi\)). Заметим, что точка \(H\) будет лежать на продолжении \(BN\) за точку \(N\). Так как \(D_1C_1\perp(BCC_1)\), то по теореме о трех перпендикулярах наклонная \(D_1H\) тоже будет перпендикулярна \(BN\). Следовательно, построенный таким образом угол \(\angle D_1HC_1\) и есть угол между плоскостями \(BCC_1\) и \(\pi\). Обозначим его за \(\alpha\).



По теореме Пифагора из \(\triangle BCN\) \(BN=5\). Заметим, что \(\triangle BCN\sim \triangle C_1HN\) по двум углам, значит, \[\dfrac{BC}{C_1H}=\dfrac{BN}{C_1N}\] Откуда находим, что \(C_1H=\dfrac{12}5\).

Тогда из прямоугольного \(\triangle D_1HC_1\) \[\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{D_1C_1}{C_1H}=\dfrac{4}{\frac{12}5}=\dfrac53 \quad\Rightarrow\quad \alpha=\mathrm{arctg}\,\dfrac53.\]

Ответ:

б) \(\mathrm{arctg}\,\dfrac53\)

Задание 15

Решите неравенство \[\log_2^2{(25-x^2)}-7\log_2{(25-x^2)}+12\geqslant 0\]

Сделаем замену: \(\log_2{(25-x^2)}=t\). Тогда неравенство примет вид: \[t^2-7t+12\geqslant 0\] Корнями уравнения \(t^2-7t+12=0\) являются числа \(3\) и \(4\). Следовательно, неравенство равносильно \[(t-3)(t-4)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &t\leqslant 3\\ &t\geqslant 4 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Сделаем обратную замену.
Неравенство \[\log_2{(25-x^2)}\leqslant 3 \quad\Leftrightarrow\quad \log_2{(25-x^2)}\leqslant \log_28 \quad\Leftrightarrow\quad 0<25-x^2\leqslant 8\] Решением неравенства \(25-x^2>0\) является \(x\in (-5;5)\). Решением неравенства \(25-x^2\leqslant 8\) является \(x\in (-\infty;-\sqrt{17}]\cup[\sqrt{17};+\infty)\). Пересекая эти решения, получим \(x\in (-5;-\sqrt{17}]\cup[\sqrt{17};5)\).

 

Неравенство \[\log_2{(25-x^2)} \geqslant 4\quad\Leftrightarrow\quad \log_2{(25-x^2)}\geqslant \log_2{16} \quad\Leftrightarrow\quad 25-x^2\geqslant 16 \quad\Leftrightarrow\quad x\in [-3;3]\]

Таким образом, решением исходного неравенства является объединение решений \(x\in (-5;-\sqrt{17}]\cup[\sqrt{17};5)\) и \(x\in [-3;3]\), то есть \[x\in (-5;-\sqrt{17}]\cup[-3;3]\cup[\sqrt{17};5).\]

Ответ:

\((-5;-\sqrt{17}]\cup[-3;3]\cup[\sqrt{17};5)\)

Задание 16

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(45^\circ\), угол \(A\) равен \(60^\circ\). Точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) – середины сторон \(BC\), \(AC\), \(AB\) соответственно. \(AK\) – высота.

 

а) Докажите, что точки \(A_1, B_1, C_1, K\) лежат на одной окружности.

 

б) Найдите \(A_1K\), если \(BC=2\sqrt3\).


 

а) Проведем \(A_1C_1\), \(C_1B_1\). Так как \(A_1C_1\) – средняя линия в \(\triangle ABC\), то \(A_1C_1=\frac12CA=CB_1\). Также \(A_1C_1\parallel CB_1\). Следовательно, \(CA_1C_1B_1\) – параллелограмм. Значит, \(\angle A_1C_1B_1=\angle A_1CB_1=45^\circ\).

 

Заметим, что \(K\) будет лежать на отрезке \(A_1B\) по теореме о расположении медианы и высоты, опущенных из одной вершины (высота будет лежать между медианой \(AA_1\) и \(AB\), так как \(AB<AC\)).
Проведем \(KB_1\). Так как \(\triangle CKA\) прямоугольный и один из острых углов равен \(45^\circ\), то он равнобедренный, следовательно, \(KB_1\) не только медиана в нем, но и высота. Следовательно, \(\triangle CKB_1\) также прямоугольный и один из его углов равен \(45^\circ\), следовательно, и \(\angle CKB_1=45^\circ\).

 

Таким образом, \(\angle A_1C_1B_1=\angle A_1KB_1=45^\circ\), значит, около четырехугольника \(A_1KC_1B_1\) можно описать окружность. Это и значит, что точки \(A_1, B_1,C_1, K\) лежат на одной окружности.

 

б) По теореме синусов в \(\triangle ABC\): \[\dfrac{BC}{\sin\angle A}=\dfrac{AB}{\sin\angle C} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{2\sqrt3}{\frac{\sqrt3}2}=\dfrac{AB}{\frac{\sqrt2}2} \quad\Rightarrow\quad AB=2\sqrt2.\]

 

Обозначим \(A_1K=x\). Тогда \(AK=CK=\sqrt3+x\). Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle AKB\): \[KB^2=8-(x+\sqrt3)^2\] Заметим, что \(A_1K+KB=A_1B=\sqrt3\), следовательно, \(KB=\sqrt3-x\), следовательно, получаем уравнение: \[8-(x+\sqrt3)^2=(\sqrt3-x)^2 \quad\Rightarrow\quad x=1.\]

Ответ:

б) 1

Задание 17

Страховой фонд владеет акциями, стоимость которых равна \(t^2\) тыс. рублей в конце каждого года \(t\) (\(t=1; 2; ...\)). Фонд может продать все акции в конце некоторого года и положить все вырученные с продажи средства на счет в банке. Известно, что тогда в конце каждого следующего года банк будет увеличивать сумму, находящую на счете, в \(r\) раз, где \(r\) – некоторое положительное большее единицы число. Оказалось, что если фонд продаст все акции и вложит деньги в банк именно в конце 21-ого года, то в конце 25-ого года он получит наибольшую из возможных прибыль. Определите, какие при этом значения может принимать число \(r\).

Если фонд продаст акции в конце \(t\)-ого год, то на конец 25-ого года они пролежат в банке \(25-t\) лет. Так как каждый год банк увеличивает сумму в \(r\) раз, то за \(25-t\) лет он увеличит ее в \(r^{25-t}\) раз. Следовательно, на конец 25-ого года фонд будет иметь \[f(t)=t^2\cdot r^{25-t} \quad {\small{\text{тыс. рублей.}}}\]

Рассмотрим эту функцию. В ней \(r\) – некоторое конкретное, но неизвестное число, а \(t\) – переменная. Найдем ее производную: \[f'=2t\cdot r^{25-t}+t^2\cdot r^{25-t}\cdot \ln r\cdot (-1)=r^{25-t}\cdot t\cdot (2-t\ln r)\] Таким образом, нулем производной, учитывая, что \(t\geqslant 1\), является \(t=\dfrac2{\ln r}\).
Причем заметим, что эта точка является точкой максимума. Следовательно, до \(t=\frac2{\ln r}\) функция возрастает, а после – убывает.

 

Таким образом, если, продав акции в 21-ый год, фонд получит наибольшую из возможных прибыль, то это значит, что мы имеем такую картинку:


 

(Для примера на картинке точка \(t=21\) находится правее точки максимума, но левее \(t=22\); может быть наоборот: \(21\) будет находиться левее точки максимума, но правее \(20\). Главное, что \(21\) находится между \(20\) и \(22\) и ближе, чем \(20\) или \(22\), к точке максимума!)

 

То есть \(f(21)>f(20)\) и \(f(21)>f(22)\). Из этого условия будет следовать, что \(f(21)>f(t)\) при любом целом \(t\) от 1 до 25. Решим полученную систему: \[\begin{cases} 21^2\cdot r^4>20^2\cdot r^5\\ 21^2\cdot r^4>22^2\cdot r^3 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} r<\dfrac{21^2}{20^2}\\[2ex] r>\dfrac{22^2}{21^2} \end{cases}\] откуда получаем, что \(r\in\left(\dfrac{484}{441};\dfrac{441}{400}\right).\)

Ответ:

\(\left(\dfrac{484}{441};\dfrac{441}{400}\right)\)

Задание 18

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система \[\begin{cases} ax\geqslant 2\\ 3x\leqslant 2a+11\\ \sqrt{x-1}>a \end{cases}\]

имеет хотя бы одно решение, принадлежащее отрезку \([3;4]\).

 

(ЕГЭ 2017, досрочная волна)

1 способ.

 

1) Рассмотрим случай, когда \(a>0\). В этом случае систему можно переписать в виде: \[\begin{cases} x\geqslant \dfrac2a\\[2ex] x\leqslant \dfrac{2a+11}3\\[2ex] x>a^2+1 \end{cases} \qquad (*)\]

Для того, чтобы система имела решения, нужно, чтобы \[\begin{cases} \dfrac2a\leqslant \dfrac{2a+11}3\\[3ex] a^2+1<\dfrac{2a+11}3\end{cases}\]

Решением неравенства \(\dfrac2a\leqslant \dfrac{2a+11}3\) будут \(a\in (-\infty;-6]\cup\left[\frac12;+\infty\right)\). Так как \(a>0\), то подходит только \(a\geqslant \dfrac12\).

 

Решением неравенства \(a^2+1<\dfrac{2a+11}3\) будут \(a\in (0;2)\). Следовательно, пересекая полученные решения, имеем: \(a\in \left[\frac12;2\right)\). Таким образом, при этих \(a\) система \((*)\) будет иметь решения.

 

Теперь посмотрим, когда хотя бы одно из этих решений будет лежать в отрезке \([3;4]\).

Заметим, что при полученных \(a\) числа \(\dfrac2a; \ a^2+1; \ \dfrac{2a+11}3\) могут располагаться в следующем порядке: \[\begin{aligned} & I. \quad \dfrac2a; \ a^2+1; \ \dfrac{2a+11}3 \quad \Rightarrow\quad {\small{\text{тогда решением системы (*) будут }}} x\in \left(a^2+1;\dfrac{2a+11}3\right]\\[4ex] & II. \quad \dfrac2a=a^2+1; \ \dfrac{2a+11}3 \quad \Rightarrow\quad {\small{\text{тогда решением системы (*) будут }}} x\in \left(a^2+1;\dfrac{2a+11}3\right]\\[4ex] & III. \quad a^2+1; \ \dfrac2a; \ \dfrac{2a+11}3 \quad \Rightarrow\quad {\small{\text{тогда решением системы (*) будут }}} x\in \left[\dfrac2a;\dfrac{2a+11}3\right] \end{aligned}\]

\(I\) и \(II\) случаи задаются условием \(\dfrac2a\leqslant a^2+1\).
В этих случаях для того, чтобы хотя бы одно решение попало в отрезок \([3;4]\), нужно, чтобы \(a^2+1<4\).
Следовательно, решим систему: \[\begin{cases} \dfrac2a\leqslant a^2+1\\[2ex] a^2+1<4 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} a^3+a-2\geqslant 0\\ a^2<3 \end{cases}\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} (a-1)(a^2+a+2)\geqslant 0\\ a^2<3 \end{cases}\] Следовательно, учитывая, что \(a\in \left[\frac12;2\right)\), решением системы будут: \(a\in [1;\sqrt3)\).

Случай \(III\) задается условием \(a^2+1<\dfrac2a\).
В этом случае для того, чтобы хотя бы одно решение попало в отрезок \([3;4]\), нужно, чтобы \(\dfrac2a\leqslant 4\).
Следовательно, решим систему: \[\begin{cases} a^2+1<\dfrac2a\\[2ex] \dfrac2a\leqslant 4 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} a^3+a-2<0\\ a\geqslant \dfrac12 \end{cases}\] Следовательно, учитывая, что \(a\in \left[\frac12;2\right)\), решением системы будут: \(a\in \left[\frac12;1\right)\).

Так как нам подходит или случай \(I\), или \(II\), или \(III\), то значения \(a\), полученные в этих случаях, нужно объединить. Объединяя \(\left[\frac12;1\right)\) и \([1;\sqrt3)\), получим \[a\in \left[\dfrac12;\sqrt3\right).\]

 

2 способ.

 

Так как нужно, чтобы система имела хотя бы одно решение из отрезка \([3;4]\), то как минимум \(x>0\). Следовательно, решим систему только для \(x>0\). В таком случае можно разделить первое неравенство на \(x\) и получим следующую систему: \[\begin{cases} a\geqslant \dfrac2x\\[3ex] a\geqslant \dfrac32x-\dfrac{11}2\\[3ex] a<\sqrt{x-1} \end{cases}\]

Рассмотрим систему координат \(xOa\) (то есть привычная нам ось \(Oy\) будет называться \(Oa\)). Тогда каждое неравенство при \(x>0\) задает некоторую область, а решением системы является область, равная пересечению всех трех областей, как показано на рисунке (белая область и есть решение системы):


 

Тогда условие “система имеет хотя бы одно решение из отрезка \([3;4]\)” задает область:


 

Следовательно, \(a\in \left[a_1;a_2\right)\), где \(a_1, a_2\) – ординаты точек пересечения прямой \(x=4\) с \(a=\dfrac2x\) и \(x=4\) с \(a=\sqrt{x-1}\).
(Заметим, что значение \(a_1\) включается, так как неравенство \(a\geqslant \dfrac2x\) не строгое, а \(a_2\) не включается, так как неравенство \(a<\sqrt{x-1}\) строгое.)

 

Таким образом, \(a_1=\dfrac24=\dfrac12\), а \(a_2=\sqrt{4-1}=\sqrt3\). Следовательно, ответ \(a\in \left[\dfrac12;\sqrt3\right).\)

Ответ:

\(\left[\dfrac12;\sqrt3\right)\)

Задание 19

На доске написано несколько различных натуральных чисел, причем известно, что произведение любых двух из них больше \(40\), но меньше \(100\).

а) Может ли на доске быть написано 5 чисел?
б) Может ли на доске быть написано 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их количество равно 4?

а) Предположим, что может быть написано 5 чисел. Расположим их в порядке возрастания: \(a_1; a_2; a_3; a_4; a_5\). Тогда произведение двух наименьших \(a_1\cdot a_2>40\). Пусть \(a_1=6\), \(a_2=7\) (тогда \(a_1\cdot a_2=42>40\)). Произведение двух наибольших \(a_4\cdot a_5<100\). Пусть \(a_4=9\), \(a_5=10\). Следовательно, осталось подобрать еще одно число \(a_3\), причем оно должно быть больше \(7\), но меньше \(9\). Возьмем, например, \(8\). Таким образом, мы получили 5 чисел: \[6; \ 7; \ 8; \ 9; \ 10.\]

б) Предположим, что может быть написано 6 чисел. Расположим их в порядке возрастания: \(a_1; a_2; a_3; a_4; a_5; a_6\). Тогда произведение двух наибольших \(a_5\cdot a_6<100\). Отсюда можно сделать вывод, что \(a_5\leqslant 9\) (так как если \(a_5\geqslant 10\), то \(a_6\geqslant 11\) и их произведение \(\geqslant 110\)).
Произведение двух наименьших \(a_1\cdot a_2>40\), следовательно, \(a_2\geqslant 7\) (так как если \(a_2\leqslant 6\), то \(a_1\leqslant 5\), следовательно, их произведение \(\leqslant 30\)). Таким образом, на отрезке \([7;9]\) должны быть расположены четыре натуральных числа \(a_2;a_3;a_4;a_5\), что невозможно, так как на этом отрезке только три натуральных числа.

 

в) Пусть на доске написаны 4 числа, расположим их также в порядке возрастания: \(a_1; a_2; a_3; a_4\). Аналогично предыдущему пункту, можно сделать вывод, что \(a_2\geqslant 7\), \(a_3\leqslant 9\). Следовательно, \(a_2\) и \(a_3\) могут принимать значения \(7,8\) или \(9\).

 

1. Пусть \(a_2=7, a_3=8\). Тогда \(a_1\) может быть равно только \(6\), потому что иначе произведение \(a_1\cdot a_2\) будет меньше \(40\). Максимальное значение для \(a_4\) – это \(12\). Следовательно, в этом случае максимально возможная сумма чисел \(6+7+8+12=33\).

 

2. Пусть \(a_2=7, a_3=9\). Аналогично \(a_1=6\). Максимальное значение для \(a_4\) – это \(11\). Следовательно, в этом случае максимально возможная сумма чисел \(6+7+9+11=33\).

 

3. Пусть \(a_2=8, a_3=9\). Тогда максимальное значение для \(a_1\) – это \(7\). Максимальное значение для \(a_4\) – это \(11\). Следовательно, в этом случае максимально возможная сумма чисел \(7+8+9+11=35\).

 

Так как мы рассмотрели все возможные случаи, то максимальная сумма чисел равна \(35\).

Ответ:


а) да
б) нет
в) 35