Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 1 #1189
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Екатерина взяла кредит в банке на сумму \(680\,000\) рублей, которую ей не хватало для покупки квартиры. Кредит она решила взять \(1\) марта на \(2\) месяца на следующих условиях:
\(17\)-ого числа каждого месяца, начиная с марта, долг увеличивается на \(12,5 \%\) по сравнению с долгом на начало текущего месяца;
– в период с \(18\)-ого по \(30\)-ые числа Екатерина должна выплатить часть долга одним платежом, причем ежемесячные платежи одинаковы.
Сколько рублей составила переплата Екатерины по данному кредиту?

Заметим, что \(\dfrac{112,5}{100}=\dfrac{9}{8}\).

 

Составим таблицу (суммы будем записывать в тыс. рублей), \(x\) – ежемесячный платеж: \[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Сумма долга до начисления } \% & \text{Сумма долга после начисления } \% \text{ и платежа} \\[5pt] \hline 1 & 680 & \frac{9}{8}\cdot 680 - x \\[5pt] \hline 2 & \frac{9}{8}\cdot 680 - x & \frac{9}{8}\left(\frac{9}{8}\cdot 680 - x\right)-x\\[5pt] \hline \end{array}\]

\(\Rightarrow \dfrac{9}{8}\left(\dfrac{9}{8}\cdot 680 - x\right)-x=0 \Rightarrow x=405\) тыс. рублей.

 

Таким образом, переплата по кредиту составила \(2x-A=130\) тыс. рублей.

Ответ:

\(130\,000\) рублей.

Задание 2 #1190
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Бизнесмен Олег в январе \(2016\) года взял кредит в банке под \(20 \%\) годовых, причем выплачивать кредит он должен равными суммами в течение трех лет. Сколько рублей в итоге выплатил Олег банку, если известно, что его переплата по кредиту составила \(675\,500\) рублей?

Пусть \(A\) рублей – сумма кредита, \(x\) рублей – ежегодный платеж. Тогда составим таблицу:

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до начисления } \% & \text{Сумма долга после начисления } \% \text{ и платежа}\\ \hline 1 & A & 1,2A-x\\ \hline 2 & 1,2A-x & 1,2(1,2A-x)-x\\ \hline 3 & 1,2(1,2A-x)-x & 1,2(1,2(1,2A-x)-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Следовательно, \(1,2(1,2(1,2A-x)-x)-x=0 \ (*)\).

 

Всего за три года Олег выплатил банку \(3x\) рублей, а его переплата составила \(3x-A=675\,500\) рублей. Отсюда \(A=3x-675\,500\). Подставим это значение в \((*)\):

 

\(1,2^3\cdot (3x-675\,500)-x(1,2^2+1,2+1)=0 \Rightarrow \)  

\(x= \dfrac{1,2^3\cdot 675\,500}{3\cdot1,2^3-1,2^2-2,2}=\dfrac{12^3\cdot 675\,500}{1\,544}=756\,000 \Rightarrow 3x=2\,268\,000\) рублей.

Ответ:

\(2\,268\,000\) рублей.

Задание 3 #3924
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В банке был взял кредит на некоторую сумму денег на 3 года. Кредит необходимо выплачивать равными платежами раз в год, причем известно, что каждый год перед выплатой текущая сумма долга увеличивается на четверть.
Найдите, сколько процентов от тела кредита составит переплата по такому кредиту. В случае необходимости ответ округлите до целого числа.

Так как кредит нужно выплачивать равными ежегодными платежами, то платежи аннуитетные. Пусть \(x\) рублей — этот ежегодный платеж, \(A\) рублей – сумма кредита.
Сумма долга каждый год увеличивается на четверть, то есть на \(\frac14\). Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг на начало года}&\text{После начисления }\% &\text{После платежа}\\[2ex] \hline 1& A&A+\frac 14A=\frac 54A&\frac 54A-x\\[2ex] \hline 2& \frac 54A-x& \frac54\left(\frac54A-x\right)& \frac54\left(\frac54A-x\right)-x\\[2ex] \hline 3&\frac54\left(\frac54A-x\right)-x& \frac54\left(\frac54\left(\frac54A-x\right)-x\right)& \frac54\left(\frac54\left(\frac54A-x\right)-x\right)-x\\[2ex] \hline \end{array}\] Таким образом, имеем: \[\frac54\left(\frac54\left(\frac54A-x\right)-x\right)-x=0 \quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{\left(\frac54\right)^3}{\left(\frac54\right)^2+\frac54+1}\cdot A\]

Переплата по кредиту равна \(3x-A\), следовательно, необходимо найти: \[\dfrac{3x-A}{A}\cdot 100\%= \left(\dfrac{3\cdot \left(\frac54\right)^3} {\left(\frac54\right)^2+\frac54+1}-1\right)\cdot 100\%=\left(\dfrac{3\cdot 5^3}{5^2\cdot 4+5\cdot 4^2+4^3}-1\right)\cdot 100\%=\dfrac{131}{244}\cdot 100\%\sim 54\%.\]

Ответ: 54

Задание 4 #3976
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Банк выдает кредит сроком на 4 года под \(25\%\) годовых. Вычислите, на сколько процентов переплата по такому кредиту превышает платеж, если гасить кредит нужно равными ежегодными выплатами.

Пусть кредит взят на сумму \(A\), пусть \(x\) – ежегодный платеж. Составим таблицу. \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг на начало года}&\text{После начисления }\% &\text{После платежа}\\ \hline 1&A&1,25\cdot A&1,25\cdot A-x\\ \hline 2&1,25\cdot A-x&1,25(1,25\cdot A-x)&1,25(1,25\cdot A-x)-x\\ \hline 3&1,25(1,25\cdot A-x)-x&1,25(1,25(1,25\cdot A-x)-x)&1,25(1,25(1,25\cdot A-x)-x)-x\\ \hline 4&1,25(1,25(1,25\cdot A-x)-&1,25(1,25(1,25(1,25\cdot A-x)-& 1,25(1,25(1,25(1,25\cdot A-x)-\\ &-x)-x&-x)-x)&-x)-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Тогда имеем уравнение: \[1,25(1,25(1,25(1,25\cdot A-x)-x)-x)-x=0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac Ax=\dfrac{1,25^3+1,25^2+1,25+1}{1,25^4}\]

Переплата по кредиту равна \(4x-A\). Следовательно, число процентов, которое составляет переплата от платежа, равно: \[\dfrac{4x-A}{x}\cdot 100\%=\left(4-\dfrac Ax\right)\cdot 100\%\]

Заметим, что \(1,25=\frac54\). Тогда: \[\left(4-\dfrac{5^3\cdot 4+5^2\cdot 4^2+5\cdot 4^3+4^4}{5^4}\right)\cdot 100\%= \left(4-\dfrac{500+400+320+256}{625}\right)\cdot 100\%=\dfrac{1024\cdot 4}{25}\%=\dfrac{1024\cdot 4^2}{100}\%=163,84\%\]

Значит, переплата превышает платеж на \(63,84\%\).

Ответ: 63,84

Задание 5 #3920
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Банк “Европа”  предлагает потребительский кредит на сумму \(664\,200\) рублей под \(25 \%\) годовых при условии, что кредит нужно выплачивать в течение четырех лет равными ежегодными платежами. Сколько рублей должен вносить клиент каждый год в счет погашения кредита, если согласится на условия банка?

Составим таблицу, обозначив за \(x\) рублей ежегодный платеж, \(A=664\,200\) рублей.

 

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до начисления }\% & \text{Сумма долга после начисления }\%\text{ и платежа} \\ \hline 1 & A & 1,25A-x\\ \hline 2 & 1,25A-x & 1,25(1,25A-x)-x\\ \hline 3 & 1,25(1,25A-x)-x & 1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x \\ \hline 4 & 1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x & 1,25(1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, \(1,25(1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x)-x=0\).

Отсюда \(x=\dfrac{1,25^4\cdot A}{(1,25^2+1)(1,25+1)}\).

Заметим, что \(1,25=\dfrac{5}{4} \Rightarrow\)

\(x=\dfrac{5^4\cdot 664\,200}{4\cdot 9\cdot 41}\).

Выполнив сокращения, получим, что \(x=281\,250\) рублей.

Ответ:

\(281\,250\) рублей.

Задание 6 #1192
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Василий взял кредит в банке на некоторую сумму под \(12,5\%\) годовых. Кредит он должен выплачивать в течение четырех лет одинаковыми ежегодными платежами. Сколько рублей составлял ежегодный платеж Василия, если в итоге его переплата составила \(65\,240\) рублей.

Составим таблицу, обозначив за \(A\) руб. сумму кредита, а за \(x\) руб. ежегодный платеж.

\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг в руб.} & \text{Долг в руб.} & \text{Долг в руб.}\\ & \text{до начисления} & \text{после начисления} & \text{после внесения} \\ & \text{процентов} & \text{процентов} & \text{платежа} \\ \hline 1&A &1,125A &1,125A-x \\ \hline 2&1,125A-x &1,125(1,125A-x) &1,125(1,125A-x)-x \\ \hline 3&1,125(1,125A-x)-x &1,125(1,125(1,125A- &1,125(1,125(1,125A- \\ & &-x)-x) &-x)-x)-x\\ \hline 4&1,125(1,125(1,125A- &1,125(1,125(1,125(1,125A- &1,125(1,125(1,125(1,125A-x)- \\ & -x)-x)-x &-x)-x)-x) &-x)-x)-x \\ \hline \end{array}\]

Т.к. в конце четвертого года Василий погасил кредит, то

\[1,125(1,125(1,125(1,125A-x)-x)-x)-x=0\]

Это уравнение преобразуется в уравнение вида:

\[1,125^4A-x(1,125^3+1,125^2+1,125+1)=0 \ \ (*)\]

Заметим, что за четыре года Василий заплатил банку \(4x\) рублей, а, значит, его переплата составила \(4x-A\) рублей. Т.к. \(4x-A=65\,240\), то \(A=4x-65\,240\). Значит:

\[1,125^4(4x-65\,240)-x(1,125^3+1,125^2+1,125+1)=0\]

Заметим также, что \(1,125=\dfrac{9}{8} \Rightarrow\)

\[x=\dfrac{9^4\cdot 2^3\cdot 5\cdot 7\cdot233}{9^4\cdot4-8(9^3+9^2\cdot8+9\cdot8^2+8^3)}=65\,610\]

Значит, ежегодный платеж составил \(65\,610\) рублей.

Ответ:

\(65\,610\) рублей.

Задание 7 #1186
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Для покупки квартиры Алексею не хватало \(1\,209\,600\) рублей, поэтому в январе \(2015\) года он решил взять в банке кредит под \(10 \%\) годовых на \(2\) года. Условия пользования кредитом таковы:
– раз в год \(15\) декабря банк начисляет на оставшуюся сумму долга проценты (т.е. долг увеличивается на \(10\%\));
– в период с \(16\) по \(31\) декабря Алексей обязан перевести в банк некоторую сумму \(x\) рублей (сделать платеж).
Какова должна быть сумма \(x\), чтобы Алексей выплатил долг равными платежами?

Т.к. процентная ставка в банке равна \(10 \%\), то \(15\) декабря \(2015\) года долг Алексея составит \(110 \%\) от первоначальной суммы (\(1\,209\,600\) рублей), т.е. будет равен \(1,1\cdot 1\,209\,600\) рублей. После этого Алексей переводит банку \(x\) рублей, то есть его долг уменьшается на \(x\) и будет равен \((1,1\cdot 1\,209\,600 -x)\) рублей.

 

До \(15\) декабря \(2016\) года долг Алексея остается неизменным, т.е. равен \((1,1\cdot 1\,209\,600 -x)\) рублей. \(15\) декабря \(2016\) банк снова увеличивает долг на \(10 \%\), т.е. долг Алексея уже будет равен \(1,1\cdot (1,1\cdot 1\,209\,600 -x)\) рублей.

 

После этого Алексей снова переводит банку \(x\) рублей, следовательно, долг равен \(1,1\cdot (1,1\cdot 1\,209\,600 -x)-x\).

 

Т.к. в конце 2-ого года кредит должен быть выплачен, то
\(1,1\cdot (1,1\cdot 1\,209\,600 -x)-x=0 \Rightarrow\)
\(1,1^2\cdot 1\,209\,600-1,1x-x=0 \Rightarrow x=\dfrac{1,1^2 \cdot 1\,209\,600}{1,1+1}=696\,960\)

 

Удобно следить за меняющейся суммой долга, составив таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} &\text{Сумма долга до начисления }\% &\text{После начисления } \% &\text{После платежа}\\ & \text{(до 15 декабря)} &\text{(15 декабря)} &\text{(с 16 по 31 декабря)}\\ \hline 1 & 1\,209\,600 &1,1\cdot 1\,209\,600 &1,1\cdot 1\,209\,600-x\\ \hline 2 & 1,1\cdot 1\,209\,600-x &1,1\cdot (1,1\cdot 1\,209\,600 -x) &1,1\cdot (1,1\cdot 1\,209\,600 -x)-x\\ \hline \end{array}\]

Ответ:

\(696\,960\) рублей.