Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Неравенства, решаемые методом рационализации

\(\blacktriangleright\) Метод рационализации для показательной функции: \[(h(x))^{f(x)}\geqslant (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow (h(x))^{f(x)}-(h(x))^{g(x)}\geqslant 0 \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} (h(x)-1)(f(x)-g(x))\geqslant 0\\ h(x)>0 \end{cases}\]

\(\blacktriangleright\) Метод рационализации для логарифмической функции: \[\log_{h(x)}{f(x)}\geqslant \log_{h(x)}{g(x)} \Leftrightarrow \log_{h(x)}{f(x)}-\log_{h(x)}{g(x)}\geqslant 0 \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} (h(x)-1)(f(x)-g(x))\geqslant 0\\ f(x)>0\\ g(x)>0\\ h(x)>0\\ h(x)\ne 1 \end{cases}\]

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{x + 1} (x - 1)\geqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x + 1 > 0\\ x + 1\neq 1\\ x - 1 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x > 1\,.\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} \log_{x + 1} (x - 1)\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x + 1 - 1)\cdot (x - 1 - 1)\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\cdot (x - 2)\geqslant 0\,. \end{aligned}\]

Так как на ОДЗ \(x > 1 > 0\), то на ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству \[x - 2\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x \geqslant 2\] C учётом ОДЗ в итоге: \(x\in[2; +\infty).\)

Ответ:

\([2; +\infty)\)

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{x^2} (x^2 + 1) > 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x^2 > 0\\ x^2 \neq 1\\ x^2 + 1 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x \neq 0\\ x \neq \pm 1\,. \end{cases}\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} \log_{x^2} (x^2 + 1) > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x^2 - 1)\cdot (x^2 + 1 - 1) > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x^2 - 1)\cdot x^2 > 0\,. \end{aligned}\]

Так как на ОДЗ \(x^2 > 0\), то на ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству \[x^2 - 1 > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x \in(-\infty; -1)\cup(1; +\infty)\,.\] C учётом ОДЗ в итоге: \(x\in(-\infty; -1)\cup(1; +\infty).\)

Ответ:

\((-\infty; -1)\cup(1; +\infty)\)

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[(x^2+3x-10)\cdot \log_{0,5}(x^2-1)\cdot \log_{(x^2-1)}(x+2)\leqslant 0\]

Добавить задание в избранное

Выпишем ОДЗ неравенства: \[\begin{cases} x^2-1>0\\ x^2-1\ne 1\\ x+2>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-2;-\sqrt2)\cup(-\sqrt2;-1)\cup(1;\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty).\] Решим неравенство на ОДЗ. Заметим, что по формуле \(\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac\) неравенство можно переписать в виде: \[(x^2+3x-10)\cdot \log_{0,5}(x+2)\leqslant 0\] По методу рационализации данное неравенство равносильно: \[(x^2+3x-10)\cdot (0,5-1)(x+2-1)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x+5)(x-2)(x+1)\geqslant 0\] Решим полученное неравенство методом интервалов и получим ответ: \[x\in [-5;-1]\cup [2;+\infty)\] Пересечем ответ с ОДЗ и получим окончательный ответ \[x\in (-2;-\sqrt2)\cup(-\sqrt2;-1)\cup[2;+\infty)\]

Ответ:

\((-2;-\sqrt2)\cup(-\sqrt2;-1)\cup[2;+\infty)\)

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{(x - 2)} (x + 3) \geqslant \dfrac{1}{\log_{x^{2}} (x - 2)} \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x - 2 > 0\\ x - 2\neq 1\\ x + 3 > 0\\ x^2 > 0\\ x^{2} \neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x > 2\\ x\neq 3 \end{cases}\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &\log_{(x - 2)} (x + 3) \geqslant \log_{(x - 2)}x^{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_{(x - 2)} (x + 3) - \log_{(x - 2)}x^{2}\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad \log_{(x - 2)} \dfrac{(x + 3)}{x^2}\geqslant 0\,. \end{aligned}\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} &\log_{(x - 2)} \dfrac{(x + 3)}{x^2}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x - 2 - 1)\left(\dfrac{x + 3}{x^2} - 1\right)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad (x - 3)\cdot\dfrac{x + 3 - x^2}{x^2}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x - 3)\cdot\dfrac{x^2 - x - 3}{x^2}\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов на ОДЗ



Таким образом, с учётом ОДЗ исходное неравенство верно при \[x\in\left[\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}; 3\right).\]

Ответ:

\(\left[0,5+0,5\sqrt{13}; 3\right)\)

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{(x + 1)} 2 \geqslant \dfrac{1}{\log_{x} (x + 1)} \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x + 1 > 0\\ x + 1\neq 1\\ x > 0\\ x\neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x > 0\\ x\neq 1 \end{cases}\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &\log_{(x + 1)} 2 \geqslant \log_{(x + 1)} x\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_{(x + 1)} 2 - \log_{(x + 1)} x\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad \log_{(x + 1)} \dfrac{2}{x}\geqslant 0\,. \end{aligned}\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} &\log_{(x + 1)} \dfrac{2}{x}\geqslant 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad (x + 1 - 1)\left(\dfrac{2}{x} - 1\right)\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\cdot\dfrac{2 - x}{x}\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad 2 - x\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\leqslant 2 \end{aligned}\]

Таким образом, с учётом ОДЗ исходное неравенство верно при \[x\in(0; 1)\cup(1; 2].\]

Ответ:

\((0; 1)\cup(1; 2]\)

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\log_{8-4x}(16x^2 - 8x + 1) \leqslant 2.\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{cases} 8 - 4x > 0\\ 8 - 4x \neq 1\\ 16x^2 - 8x + 1 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in \left(-\infty; \dfrac{1}{4}\right) \cup \left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{7}{4}\right) \cup \left(\dfrac{7}{4}; 2\right).\]

\[\log_{8-4x}(16x^2 - 8x + 1) - \log_{8-4x}(8-4x)^2\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{8-4x}\dfrac{16x^2 - 8x + 1}{(8 - 4x)^2}\leqslant 0.\] По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

\[\begin{aligned} &(8 - 4x - 1)\left(\dfrac{16x^2 - 8x + 1}{(8 - 4x)^2} - 1\right)\leqslant 0 \qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (7 - 4x)\cdot\dfrac{16x^2 - 8x + 1 - (64 - 64x + 16x^2)}{(8 - 4x)^2}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad \dfrac{(7 - 4x)(56x - 63)}{(8 - 4x)^2}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad\dfrac{(4x - 7)(8x - 9)}{(4x - 8)^2}\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x \in\left(-\infty; \dfrac{9}{8}\right]\cup\left[\dfrac{7}{4}; 2\right)\cup(2; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in\left(-\infty; \dfrac{1}{4}\right)\cup\left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{9}{8}\right]\cup\left(\dfrac{7}{4}; 2\right)\).
Окончательный ответ \[x \in\left(-\infty; \dfrac{1}{4}\right)\cup\left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{9}{8}\right]\cup\left(\dfrac{7}{4}; 2\right)\,.\]

Ответ:

\(\left(-\infty; \dfrac{1}{4}\right)\cup\left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{9}{8}\right]\cup\left(\dfrac{7}{4}; 2\right)\)

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{\frac{x}{x-1}}2\leqslant\log_{\frac{x}{3}}2. \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{cases} \dfrac{x}{x-1} > 0\\ \dfrac{x}{x-1} \neq 1\\ \dfrac{x}{3} > 0\\ \dfrac{x}{3} \neq 1. \end{cases}\qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (1; 3) \cup (3; +\infty).\]

\[\log_{\frac{x}{x-1}}2 - \log_{\frac{x}{3}}2\leqslant 0.\] Воспользуемся формулой \(\log_ab = \dfrac{1}{\log_ba}\), которая верна на ОДЗ: \[\dfrac{1}{\log_2\dfrac{x}{x-1}} - \dfrac{1}{\log_2\dfrac{x}{3}}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{\log_2\dfrac{x}{3} - \log_2\dfrac{x}{x-1}}{\log_2\dfrac{x}{x-1}\cdot\log_2\dfrac{x}{3}}\leqslant 0.\] Воспользуемся разностью логарифмов: \[\dfrac{\log_2\dfrac{x(x - 1)}{3x}}{\log_2\dfrac{x}{x-1}\cdot\log_2\dfrac{x}{3}}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{\log_2\dfrac{x - 1}{3}}{\log_2\dfrac{x}{x-1}\cdot\log_2\dfrac{x}{3}}\leqslant 0.\] По методу рационализации: \[\dfrac{(2-1)(\frac{x-1}{3} - 1)}{(2 - 1)(\frac{x}{3} - 1)(2 - 1)(\frac{x}{x-1} - 1)}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{x - 4}{(x - 3)\cdot\frac{1}{x-1}}\leqslant 0.\] Решим данное неравенство методом интервалов:



откуда \(x\in(-\infty; 1)\cup(3; 4]\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \[x \in (3; 4].\]

Ответ:

\((3; 4]\)