Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Неравенства, решаемые методом рационализации

\(\blacktriangleright\) Метод рационализации для показательной функции.
Если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то множители вида \(a^{f(x)}-a^{g(x)}\) можно заменить на произведение двух скобок: \((a-1)(f(x)-g(x))\).

 

Пример.
Неравенство \((3^x-1)(0,25^x-16)(5x^2-9x-2)\leqslant0\) равносильно
неравенству \((3^x-3^0)(0,25^x-0,25^{-2})(5x^2-9x-2)\leqslant 0\),
которое в свою очередь по методу рационализации можно переписать в виде \[(3-1)(x-0)(0,25-1)(x-(-2))(5x+1)(x-2)\leqslant0\]

\(\blacktriangleright\) Метод рационализации для логарифмической функции.
Так как у логарифмов уже появляются ограничения на ОДЗ, то данный метод работает только при выполнении условий ОДЗ для логарифмов! Следовательно, последовательность решения подобных неравенств такая:

 

1) находим ОДЗ неравенства;

 

2) решаем неравенство, как будто ОДЗ выполнено;

 

3) пересекаем полученный ответ с ОДЗ и получаем итоговый ответ.

 

Суть метода рационализации:
1) если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то множители вида \((\log_{a}f(x)-\log_{a}g(x))\) можно заменить на произведение двух скобок: \((a-1)(f(x)-g(x))\) (при условии выполнения ОДЗ!).
2) если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то множители вида \(\log_{a}f(x)\) можно заменить на произведение двух скобок: \((a-1)(f(x)-1)\) (при условии выполнения ОДЗ!).

 

Пример.
Неравенство \((3+x-2x^2)\log_{x+2}{(3x+5)}\geqslant 0\) с помощью метода рационализации можно переписать в виде: \[\begin{cases} (3+x-2x^2)(x+2-1)(3x+5-1)\geqslant 0\\ x+2>0\qquad \qquad \text{(ОДЗ)}\\ x+2\ne 1\qquad \qquad \text{(ОДЗ)}\\ 3x+5>0 \qquad \qquad \text{(ОДЗ)}\end{cases}\]

Задание 1 #1595
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{x + 1} (x - 1)\geqslant 0 \end{aligned}\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 27.05.2020 в 09:00

Задание 2 #1596
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{x^2} (x^2 + 1) > 0 \end{aligned}\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 27.05.2020 в 09:00

Задание 3 #3144
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[(x^2+3x-10)\cdot \log_{0,5}(x^2-1)\cdot \log_{(x^2-1)}(x+2)\leqslant 0\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 27.05.2020 в 09:00

Задание 4 #1623
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{(x - 2)} (x + 3) \geqslant \dfrac{1}{\log_{x^{2}} (x - 2)} \end{aligned}\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 27.05.2020 в 09:00

Задание 5 #1598
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{(x + 1)} 2 \geqslant \dfrac{1}{\log_{x} (x + 1)} \end{aligned}\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 27.05.2020 в 09:00

Задание 6 #1602
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\log_{8-4x}(16x^2 - 8x + 1) \leqslant 2.\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 27.05.2020 в 09:00

Задание 7 #2645
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[{\large{\left(4^{x^2-x-6}-1\right)\cdot \log_{0,25}\left(4^{x^2+2x+2}-3\right)\leqslant 0}}\]

(Задача от подписчиков)

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 27.05.2020 в 12:00