\(\blacktriangleright\) Метод рационализации для показательной функции.
Если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то множители вида \(a^{f(x)}-a^{g(x)}\) можно заменить на произведение двух скобок: \((a-1)(f(x)-g(x))\).
Пример.
Неравенство \((3^x-1)(0,25^x-16)(5x^2-9x-2)\leqslant0\) равносильно
неравенству \((3^x-3^0)(0,25^x-0,25^{-2})(5x^2-9x-2)\leqslant 0\),
которое в свою очередь по методу рационализации можно переписать в виде \[(3-1)(x-0)(0,25-1)(x-(-2))(5x+1)(x-2)\leqslant0\]
\(\blacktriangleright\) Метод рационализации для логарифмической функции.
Так как у логарифмов уже появляются ограничения на ОДЗ, то данный метод работает только при выполнении условий ОДЗ для логарифмов! Следовательно, последовательность решения подобных неравенств такая:
1) находим ОДЗ неравенства;
2) решаем неравенство, как будто ОДЗ выполнено;
3) пересекаем полученный ответ с ОДЗ и получаем итоговый ответ.
Суть метода рационализации:
1) если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то множители вида \((\log_{a}f(x)-\log_{a}g(x))\) можно заменить на произведение двух скобок: \((a-1)(f(x)-g(x))\) (при условии выполнения ОДЗ!).
2) если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то множители вида \(\log_{a}f(x)\) можно заменить на произведение двух скобок: \((a-1)(f(x)-1)\) (при условии выполнения ОДЗ!).
Пример.
Неравенство \((3+x-2x^2)\log_{x+2}{(3x+5)}\geqslant 0\) с помощью метода рационализации можно переписать в виде: \[\begin{cases}
(3+x-2x^2)(x+2-1)(3x+5-1)\geqslant 0\\
x+2>0\qquad \qquad \text{(ОДЗ)}\\
x+2\ne 1\qquad \qquad \text{(ОДЗ)}\\
3x+5>0 \qquad \qquad \text{(ОДЗ)}\end{cases}\]