Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Неравенства, решаемые методом рационализации

\(\blacktriangleright\) Метод рационализации для показательной функции.
Если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то множители вида \(a^{f(x)}-a^{g(x)}\) можно заменить на произведение двух скобок: \((a-1)(f(x)-g(x))\).

 

Пример.
Неравенство \((3^x-1)(0,25^x-16)(5x^2-9x-2)\leqslant0\) равносильно
неравенству \((3^x-3^0)(0,25^x-0,25^{-2})(5x^2-9x-2)\leqslant 0\),
которое в свою очередь по методу рационализации можно переписать в виде \[(3-1)(x-0)(0,25-1)(x-(-2))(5x+1)(x-2)\leqslant0\]

\(\blacktriangleright\) Метод рационализации для логарифмической функции.
Так как у логарифмов уже появляются ограничения на ОДЗ, то данный метод работает только при выполнении условий ОДЗ для логарифмов! Следовательно, последовательность решения подобных неравенств такая:

 

1) находим ОДЗ неравенства;

 

2) решаем неравенство, как будто ОДЗ выполнено;

 

3) пересекаем полученный ответ с ОДЗ и получаем итоговый ответ.

 

Суть метода рационализации:
1) если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то множители вида \((\log_{a}f(x)-\log_{a}g(x))\) можно заменить на произведение двух скобок: \((a-1)(f(x)-g(x))\) (при условии выполнения ОДЗ!).
2) если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то множители вида \(\log_{a}f(x)\) можно заменить на произведение двух скобок: \((a-1)(f(x)-1)\) (при условии выполнения ОДЗ!).

 

Пример.
Неравенство \((3+x-2x^2)\log_{x+2}{(3x+5)}\geqslant 0\) с помощью метода рационализации можно переписать в виде: \[\begin{cases} (3+x-2x^2)(x+2-1)(3x+5-1)\geqslant 0\\ x+2>0\qquad \qquad \text{(ОДЗ)}\\ x+2\ne 1\qquad \qquad \text{(ОДЗ)}\\ 3x+5>0 \qquad \qquad \text{(ОДЗ)}\end{cases}\]

Задание 1 #1595
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{x + 1} (x - 1)\geqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x + 1 > 0\\ x + 1\neq 1\\ x - 1 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x > 1\,.\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} \log_{x + 1} (x - 1)\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x + 1 - 1)\cdot (x - 1 - 1)\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\cdot (x - 2)\geqslant 0\,. \end{aligned}\]

Так как на ОДЗ \(x > 1 > 0\), то на ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству \[x - 2\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x \geqslant 2\] C учётом ОДЗ в итоге: \(x\in[2; +\infty).\)

Ответ:

\([2; +\infty)\)

Задание 2 #1596
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{x^2} (x^2 + 1) > 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x^2 > 0\\ x^2 \neq 1\\ x^2 + 1 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x \neq 0\\ x \neq \pm 1\,. \end{cases}\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} \log_{x^2} (x^2 + 1) > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x^2 - 1)\cdot (x^2 + 1 - 1) > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x^2 - 1)\cdot x^2 > 0\,. \end{aligned}\]

Так как на ОДЗ \(x^2 > 0\), то на ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству \[x^2 - 1 > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x \in(-\infty; -1)\cup(1; +\infty)\,.\] C учётом ОДЗ в итоге: \(x\in(-\infty; -1)\cup(1; +\infty).\)

Ответ:

\((-\infty; -1)\cup(1; +\infty)\)

Задание 3 #3144
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[(x^2+3x-10)\cdot \log_{0,5}(x^2-1)\cdot \log_{(x^2-1)}(x+2)\leqslant 0\]

Добавить задание в избранное

Выпишем ОДЗ неравенства: \[\begin{cases} x^2-1>0\\ x^2-1\ne 1\\ x+2>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-2;-\sqrt2)\cup(-\sqrt2;-1)\cup(1;\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty).\] Решим неравенство на ОДЗ. Заметим, что по формуле \(\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac\) неравенство можно переписать в виде: \[(x^2+3x-10)\cdot \log_{0,5}(x+2)\leqslant 0\] По методу рационализации данное неравенство равносильно: \[(x^2+3x-10)\cdot (0,5-1)(x+2-1)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x+5)(x-2)(x+1)\geqslant 0\] Решим полученное неравенство методом интервалов и получим ответ: \[x\in [-5;-1]\cup [2;+\infty)\] Пересечем ответ с ОДЗ и получим окончательный ответ \[x\in (-2;-\sqrt2)\cup(-\sqrt2;-1)\cup[2;+\infty)\]

Ответ:

\((-2;-\sqrt2)\cup(-\sqrt2;-1)\cup[2;+\infty)\)

Задание 4 #1623
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{(x - 2)} (x + 3) \geqslant \dfrac{1}{\log_{x^{2}} (x - 2)} \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x - 2 > 0\\ x - 2\neq 1\\ x + 3 > 0\\ x^2 > 0\\ x^{2} \neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x > 2\\ x\neq 3 \end{cases}\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &\log_{(x - 2)} (x + 3) \geqslant \log_{(x - 2)}x^{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_{(x - 2)} (x + 3) - \log_{(x - 2)}x^{2}\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad \log_{(x - 2)} \dfrac{(x + 3)}{x^2}\geqslant 0\,. \end{aligned}\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} &\log_{(x - 2)} \dfrac{(x + 3)}{x^2}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x - 2 - 1)\left(\dfrac{x + 3}{x^2} - 1\right)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad (x - 3)\cdot\dfrac{x + 3 - x^2}{x^2}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x - 3)\cdot\dfrac{x^2 - x - 3}{x^2}\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов на ОДЗ



Таким образом, с учётом ОДЗ исходное неравенство верно при \[x\in\left[\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}; 3\right).\]

Ответ:

\(\left[0,5+0,5\sqrt{13}; 3\right)\)

Задание 5 #1598
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{(x + 1)} 2 \geqslant \dfrac{1}{\log_{x} (x + 1)} \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x + 1 > 0\\ x + 1\neq 1\\ x > 0\\ x\neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x > 0\\ x\neq 1 \end{cases}\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &\log_{(x + 1)} 2 \geqslant \log_{(x + 1)} x\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_{(x + 1)} 2 - \log_{(x + 1)} x\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad \log_{(x + 1)} \dfrac{2}{x}\geqslant 0\,. \end{aligned}\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} &\log_{(x + 1)} \dfrac{2}{x}\geqslant 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad (x + 1 - 1)\left(\dfrac{2}{x} - 1\right)\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\cdot\dfrac{2 - x}{x}\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad 2 - x\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\leqslant 2 \end{aligned}\]

Таким образом, с учётом ОДЗ исходное неравенство верно при \[x\in(0; 1)\cup(1; 2].\]

Ответ:

\((0; 1)\cup(1; 2]\)

Задание 6 #1602
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\log_{8-4x}(16x^2 - 8x + 1) \leqslant 2.\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{cases} 8 - 4x > 0\\ 8 - 4x \neq 1\\ 16x^2 - 8x + 1 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in \left(-\infty; \dfrac{1}{4}\right) \cup \left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{7}{4}\right) \cup \left(\dfrac{7}{4}; 2\right).\]

\[\log_{8-4x}(16x^2 - 8x + 1) - \log_{8-4x}(8-4x)^2\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{8-4x}\dfrac{16x^2 - 8x + 1}{(8 - 4x)^2}\leqslant 0.\] По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

\[\begin{aligned} &(8 - 4x - 1)\left(\dfrac{16x^2 - 8x + 1}{(8 - 4x)^2} - 1\right)\leqslant 0 \qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (7 - 4x)\cdot\dfrac{16x^2 - 8x + 1 - (64 - 64x + 16x^2)}{(8 - 4x)^2}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad \dfrac{(7 - 4x)(56x - 63)}{(8 - 4x)^2}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad\dfrac{(4x - 7)(8x - 9)}{(4x - 8)^2}\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x \in\left(-\infty; \dfrac{9}{8}\right]\cup\left[\dfrac{7}{4}; 2\right)\cup(2; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in\left(-\infty; \dfrac{1}{4}\right)\cup\left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{9}{8}\right]\cup\left(\dfrac{7}{4}; 2\right)\).
Окончательный ответ \[x \in\left(-\infty; \dfrac{1}{4}\right)\cup\left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{9}{8}\right]\cup\left(\dfrac{7}{4}; 2\right)\,.\]

Ответ:

\(\left(-\infty; \dfrac{1}{4}\right)\cup\left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{9}{8}\right]\cup\left(\dfrac{7}{4}; 2\right)\)

Задание 7 #2645
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[{\large{\left(4^{x^2-x-6}-1\right)\cdot \log_{0,25}\left(4^{x^2+2x+2}-3\right)\leqslant 0}}\]

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Найдем ОДЗ: \[4^{x^2+2x+2}-3>0\quad\Leftrightarrow\quad 4^{x^2+2x+2}>4^{\log_43}\quad\Leftrightarrow\quad x^2+2x+1+1>\log_43\quad\Leftrightarrow\quad (x+1)^2>\log_43-1.\]

Заметим, что \(\log_43<\log_44=1\), следовательно, число \(\log_43-1<0\). Т.к. квадрат любого выражения всегда неотрицателен, то неравенство \((x+1)^2>\log_43-1\) выполнено при всех \(x\).
Следовательно, ОДЗ: \(x\in \mathbb{R}\).

 

Перейдем к неравенству: \[{\large{\left(4^{x^2-x-6}-4^0\right)\cdot \log_{0,25}\left(4^{x^2+2x+2}-3\right)\leqslant 0}}\] Преобразуем его по методу рационализации: \[\begin{aligned} &(4-1)(x^2-x-6-0)\cdot (0,25-1)\left(4^{x^2+2x+2}-3-1\right)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad &3(x^2-x-6)\cdot (-0,75)\left(4^{x^2+2x+2}-4^1\right)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad &(x^2-x-6)\cdot (4-1)(x^2+2x+2-1)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[2ex]\Leftrightarrow\quad &(x+2)(x-3)\cdot (x+1)^2\geqslant 0\end{aligned}\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим ответ: \[x\in (-\infty;-2]\cup\{-1\}\cup[3;+\infty).\]

Ответ:

\((-\infty;-2]\cup\{-1\}\cup[3;+\infty)\)