\(\blacktriangleright\) Арифметическая прогрессия \(\{a_1,a_2,\dots\}\)– последовательность чисел, где каждое число, начиная со второго, получается путем добавления к предыдущему числу одного и того же числа \(d\), называемого разностью прогрессии. \[{\large{a_n-a_{n-1}=d}}\] Справедливы следующие формулы:
\({\large{a_n=a_1+(n-1)d}}\)
\({\large{\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}2=a_n}}\) (каждый элемент равен среднему арифметическому двух соседних)
Пример: \(1, -2, -5, -8, \dots\) – арифметическая прогрессия с разностью \(d=-3\).
Сумма первых \(n\) элементов арифметической прогрессии \[{\large{S_n=\dfrac{a_1+a_n}2\cdot n}}\]
\(\blacktriangleright\) Геометрическая прогрессия \(\{b_1, b_2,
\dots\}\) – последовательность чисел, где каждое число, начиная со второго, получается путем умножения предыдущего числа на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии. \[{\large{b_n=b_{n-1}\cdot q}}\] Справедливы следующие формулы:
\({\large{b_n=b_1\cdot q^{n-1}}}\)
\({\large{\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}=b_n}}\) (каждый элемент равен среднему геометрическому двух соседних)
Пример: \(2, 1, \dfrac12, \dfrac14, \dots\) – геометрическая прогрессия со знаменателем \(q=\dfrac12\).
Сумма первых \(n\) элементов геометрической прогрессии \[{\large{S_n=\dfrac{1-q^n}{1-q}\cdot b_1, \quad q\ne 1}}\]