Математика
Русский язык

11. Сюжетные текстовые задачи

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сюжетные задачи повышенного уровня сложности

\(\blacktriangleright\) Арифметическая прогрессия \(\{a_1,a_2,\dots\}\)– последовательность чисел, где каждое число, начиная со второго, получается путем добавления к предыдущему числу одного и того же числа \(d\), называемого разностью прогрессии. \[{\large{a_n-a_{n-1}=d}}\] Справедливы следующие формулы:

 

\({\large{a_n=a_1+(n-1)d}}\)

 

\({\large{\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}2=a_n}}\) (каждый элемент равен среднему арифметическому двух соседних)

Пример: \(1, -2, -5, -8, \dots\) – арифметическая прогрессия с разностью \(d=-3\).

Сумма первых \(n\) элементов арифметической прогрессии \[{\large{S_n=\dfrac{a_1+a_n}2\cdot n}}\]

\(\blacktriangleright\) Геометрическая прогрессия \(\{b_1, b_2, \dots\}\) – последовательность чисел, где каждое число, начиная со второго, получается путем умножения предыдущего числа на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии. \[{\large{b_n=b_{n-1}\cdot q}}\] Справедливы следующие формулы:

 

\({\large{b_n=b_1\cdot q^{n-1}}}\)

 

\({\large{\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}=b_n}}\) (каждый элемент равен среднему геометрическому двух соседних)

Пример: \(2, 1, \dfrac12, \dfrac14, \dots\) – геометрическая прогрессия со знаменателем \(q=\dfrac12\).

Сумма первых \(n\) элементов геометрической прогрессии \[{\large{S_n=\dfrac{1-q^n}{1-q}\cdot b_1, \quad q\ne 1}}\]

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Маша и Даша читают один и тот же роман. Маша за час прочитывает 20 страниц, а Даша – 21. Они одновременно начали читать роман, и Маша закончила читать позже Даши на 10 минут. Сколько страниц в романе?

Добавить задание в избранное

Пусть за \(t\) часов Даша прочитала роман, тогда

 

Маша прочитала роман за \(t + \dfrac{1}{6}\) часов.

 

Так как количества страниц, прочитанные ими, одинаковы, то:

\[21t = 20\left(t + \dfrac{1}{6}\right) \qquad\Leftrightarrow\qquad t = \dfrac{10}{3}\ \text{часа},\] значит, в романе \(21 \cdot \dfrac{10}{3} = 70\) страниц.

Ответ: 70

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Николай прорешал сборник задач, в котором было 1260 задач, ежемесячно увеличивая количество задач на одно и то же число по сравнению с предыдущим месяцем. За первый и последний месяц в сумме Николай прорешал 210 задач. Сколько месяцев Николай прорешивал сборник?

Добавить задание в избранное

Последовательность количеств задач, решённых за первый, второй и т.д. месяцы соответственно, представляет собой арифметическую прогрессию, сумма элементов которой равна 1260, а сумма первого и последнего элементов равна 210.

Формула для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}n,\] где \(a_1, \ a_n\) – первый и \(n\)-ый члены арифметической прогрессии соответственно. При этом по условию \(a_1 + a_n = 210\), а \(S_n = 1260\), откуда находим \(n = 12\).

Ответ: 12

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

У Ильи дома есть часы со стрелками. Илья уходит на работу в 8 часов 00 минут утра. Домой Илья возвращается в 5 часов 30 минут вечера. Сколько раз за время отсутствия Ильи часовая и минутная стрелки успевают поравняться?

Добавить задание в избранное

Начиная с 8 часов утра каждый час стрелки успевают поравняться ровно один раз, кроме часа с 12 до 13 часов.

При этом за время с 17 часов до 17 часов 30 минут стрелки успевают поравняться ещё один раз. Итого: \((17 - 8) - 1 + 1 = 9\) раз.

Ответ: 9

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Света ловит бабочек. Каждый день она ловит на одно и то же количество бабочек больше по сравнению с предыдущим днём. В первый день она поймала одну бабочку, а за 15 дней в сумме она поймала 120 бабочек. Сколько бабочек поймала Света в восьмой день?

Добавить задание в избранное

Последовательность количеств бабочек, пойманных за первый, второй и т.д. дни соответственно, представляет собой арифметическую прогрессию, сумма первых 15 элементов которой равна 120.

Формула для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}n,\] где \(a_1, \ a_n\) – первый и \(n\)-ый члены арифметической прогрессии соответственно. При этом по условию \(n = 15, \ S_{15} = 120\), откуда находим \(a_1 + a_{15} = 16\).

Так как в первый день Света поймала 1 бабочку, то \(a_1 = 1\), следовательно, \(a_{15} = 15\).

При этом \(a_{15} = 14d + a_1\), где \(d\) – разница в количествах бабочек, пойманных Светой во второй и первый дни, откуда находим \(d = 1\). В восьмой день она поймала \(1 + 7\cdot 1 = 8\) бабочек.

Ответ: 8

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Степан за несколько дней отжался в сумме 330 раз, ежедневно увеличивая количество отжиманий на одно и то же число штук. В первый и последний день в сумме Степан отжался 60 раз. За сколько дней Степан отжался в сумме 330 раз?

Добавить задание в избранное

Последовательность количеств отжиманий, сделанных Степаном за первый, второй и т.д. дни соответственно, представляет собой арифметическую прогрессию, сумма элементов которой равна 330, а сумма первого и последнего элементов равна 60.

Формула для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}n,\] где \(a_1, \ a_n\) – первый и \(n\)-ый члены арифметической прогрессии соответственно. При этом по условию \(a_1 + a_n = 60\), а \(S_n = 330\), откуда находим \(n = 11\).

Ответ: 11

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Художник каждый день пишет на 2 портрета больше, чем в предыдущий день. Известно, что за 10 дней он написал 100 портретов. Сколько портретов он написал в первый день?

Добавить задание в избранное

Последовательность количеств портретов, написанных за первый, второй и т.д. дни соответственно, представляет собой арифметическую прогрессию, сумма первых 10 элементов которой равна 100.

Формула для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}n,\] где \(a_1, \ a_n\) – первый и \(n\)-ый члены арифметической прогрессии соответственно. При этом по условию \(n = 10, \ S_{10} = 100\), откуда находим \(a_1 + a_{10} = 20\).

Кроме того, известно, что каждый день художник пишет на 2 портрета больше, чем в предыдущий день, тогда \(a_1 + a_{10} = 2a_1 + 9\cdot 2 = 20\), значит, \(a_1 = 1\).

Ответ: 1

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Поезд едет с постоянной скоростью 60 км/ч. Он проезжает мимо столба за 45 секунд. За сколько секунд он полностью переедет мост длиной 1500 метров?

Добавить задание в избранное

За 45 секунд поезд проезжает 750 метров, значит длина поезда и есть 750 метров (когда поезд проезжает мимо столба, изначально расстояние от последнего вагона до столба равно длине поезда, а в конце последний вагон проезжает мимо столба, значит, он перемещается на расстояние, равное длине поезда).

Чтобы полностью переехать мост длиной 1500 метров поезду длиной 750 метров понадобится \(45 \cdot 3 = 135\) секунд. Действительно, через 45 секунд после начала переезда первый вагон поезда окажется на середине моста.

Ещё через 45 секунд первый вагон начнёт покидать мост, а ещё через 45 секунд последний вагон покинет мост.

Ответ: 135