Математика
Русский язык

Тренировочные варианты. Первая часть.

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты "Школково". Тренировочный вариант №1

Задание 1

Килограмм картошки стоит \(20\) рублей. Костя купил \(2,7\, кг\) картошки. Сколько рублей сдачи он должен получить со \(100\) рублей?

\(2,7\, кг\) картошки обойдутся Косте в \(20\cdot 2,7 = 54\) рубля. Таким образом, сдача должна составить \(100 - 54 = 46\) рублей.

Ответ: 46

Задание 2

На диаграмме показана среднедневная температура воздуха в городе \(K\) за первые \(12\) дней февраля \(200\) года. По вертикали указывается температура в градусах Цельсия, по горизонтали – дни февраля. Определите по диаграмме, сколько было дней, когда среднедневная температура не превышала \(3\) градуса Цельсия.

Среднедневная температура не превышала \(3\) градуса Цельсия только первого февраля, таким образом, ответ: \(1\).

Ответ: 1

Задание 3

В равнобедренном треугольнике один из углов равен \(100^\circ\). Найдите наибольший из внешних углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), следовательно, в треугольнике не может быть двух углов по \(100^\circ\), тогда угол при вершине равен \(100^\circ\), а углы при основании равны по \((180^\circ - 100^\circ) : 2 = 40^\circ\).



Внешние углы этого треугольника равны \[180^\circ - 100^\circ = 80^\circ,\qquad 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ,\qquad 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\,.\] Больший из них равен \(140^\circ\).

Ответ: 140

Задание 4

Тимур считает вероятность наступления некоторого события \(A\) в случае, если он подбросит правильную игральную кость сто раз. У него получилось, что вероятность наступления события \(A\) равна \(0,045\). Известно, что Тимур ошибся, но его ошибка наименьшая из возможных при данных условиях. Учитель задумался, насколько ошибся Тимур (учителя интересует ответ, округлённый до десятых). Какой результат должен получить учитель?

Рассмотрим ситуацию, когда \(P(A) = 0\) (она возможна при данных условиях), тогда ошибка Тимура составит \(0,045\). Так как ошибка Тимура наименьшая из возможных, то она не превосходит \(0,045\), но все числа, не превосходящие \(0,045\), при округлении до десятых дают \(0\). Таким образом, ответ: \(0\).

Ответ: 0

Задание 5

Решите уравнение \[2^{-x^2} = e^{x^2}\]

Так как \(2 = e^{\ln 2}\), то данное уравнение равносильно уравнению \[e^{-x^2\ln 2} = e^{x^2}\,,\] откуда получаем \[-x^2\ln 2 = x^2\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2(1 + \ln 2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\]

Ответ: 0

Задание 6

В ромбе \(ABCD\) одна из диагоналей в \(\sqrt{3}\) раз больше, чем другая диагональ. Найдите больший из углов этого ромба. Ответ дайте в градусах.

Пусть \(O\) – точка пересечения диагоналей ромба. Пусть \(AC : BD = \sqrt{3}\).



Так как \(AO = 0,5AC\), а \(BO = 0,5BD\), то \(AO : BO = \sqrt{3}\), тогда \[\mathrm{tg}\, \angle ABO = \sqrt{3}\, ,\] следовательно, \(\angle ABO = 60^\circ\), тогда \(\angle ABC = 2\angle ABO = 120^\circ\).

\(\angle BCD = 60^\circ < \angle ABC\), таким образом, больший из углов ромба \(ABCD\) равен \(120^\circ\).

Ответ: 120

Задание 7

Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции \(y = 2(\ln 2)^{-0,5}\cdot e^{x^2}\) в точке с абсциссой \(x_0 = \sqrt{\ln 2}\).

Тангенс угла наклона касательной к графику функции \(y = f(x)\) в точке с абсциссой \(x_0\) равен \(f'(x_0)\). \[y' = 2(\ln 2)^{-0,5}\cdot 2x\cdot e^{x^2}\,,\] тогда при \(x_0 = \sqrt{\ln 2}\) имеем: \[y'(\sqrt{\ln 2}) = 2(\ln 2)^{-0,5}\cdot 2\sqrt{\ln 2}\cdot e^{\ln 2} = 8\,.\]

Ответ: 8

Задание 8

Найдите объём фигуры, получившейся после удаления маленького прямоугольного параллелепипеда из большого.

Объём оставшейся фигуры равен разности объёмов большого прямоугольного параллелепипеда (каким он был до удаления) и маленького (удалённого).

Таким образом, искомый объём равен \[0,8\cdot 1\cdot 1,2 - 0,3\cdot 0,5\cdot 0,55 = 0,8775\,.\]

Ответ: 0,8775

Задание 9

Найдите \(\sin^2 2x\), если \(\sin x = 0,3\).

\[\sin^2 2x = (\sin 2x)^2 = (2\cdot\sin x\cdot\cos x)^2 = 4\cdot\sin^2x\cdot\cos^2x\,.\]

Так как \(\sin x = 0,3\), то \(\cos^2 x = 1 - \sin^2x = 1 - 0,09 = 0,91\), следовательно, значение исходного выражения равно \[4\cdot 0,09\cdot 0,91 = 0,3276\,.\]

Ответ: 0,3276

Задание 10

Путь материальной точки, движущейся по прямой, имеет вид \(x(t) = t^3 + 2t^2 - t + 1\). Каким оказалось перемещение этой точки из положения, которое она занимала в момент \(t = -1\), в положение, которое она занимала в момент \(t = 1\)?

\[x(-1) = -1 + 2 + 1 + 1 = 3,\qquad\qquad x(1) = 1 + 2 - 1 + 1 = 3\, ,\] следовательно, перемещение составило \[|x(-1) - x(1)| = |3 - 3| = 0\,.\]

Ответ: 0

Задание 11

Два автомобиля выехали с постоянными скоростями из пунктов \(A\) и \(B\) навстречу друг другу. Известно, что скорость одного из них в \(1,2\) раза больше, чем скорость другого. Они встретелись через \(t\) часов. Известно, что медленному автомобилю понадобилось \(T\) часов, чтобы добраться до противоположного пункта. Найдите \(\dfrac{T}{t}\).

Пусть \(v\, км/ч\) – скорость медленного автомобиля, тогда \(1,2v\, км/ч\) – скорость быстрого автомобиля, следовательно, скорость сближения автомобилей равна \(v + 1,2v = 2,2v\, км/ч\).

Пусть \(S\, км\) – расстояние между пунктами \(A\) и \(B\), тогда \(t = \dfrac{S}{2,2v}\), а \(T = \dfrac{S}{v}\), следовательно, \[\dfrac{T}{t} = \dfrac{S}{v} : \dfrac{S}{2,2v} = 2,2\,.\]

Ответ: 2,2

Задание 12

Найдите точку локального минимума функции \(y = x^3 - 3x\).

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = 3x^2 - 3\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[3x^2 - 3 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \pm 1\,.\] Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика \(y\):


 

Таким образом, \(x = 1\) – точка локального минимума функции \(y\).

Ответ: 1