Математика
Русский язык

Тренировочные варианты. Первая часть.

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты "Школково". Тренировочный вариант №3

Задание 1

В понедельник Ивана повысили, вследствие чего его зарплата выросла на \(10\%\). Во вторник Ивана снова повысили, в следствие чего его зарплата снова выросла на \(10\%\). В среду Иван взял ипотеку, и теперь он должен каждый месяц отдавать \(20\%\) зарплаты банку. Иван не сказал жене ни о повышениях, ни об ипотеке. Раньше Иван всю зарплату отдавал жене, теперь он отдаёт жене всю зарплату, остающуюся после уплаты ипотеки. На сколько процентов, по мнению жены, упала зарплата Ивана?

Пусть изначальная зарплата Ивана составляла \(S\), тогда в понедельник его зарплата составила \(S\cdot (1 + 0,1) = 1,1\cdot S\). Во вторник зарплата Ивана составила \(1,1\cdot S\cdot (1 + 0,1) = 1,21\cdot S\). После уплаты ипотеки Иван относит жене \(1,21\cdot S\cdot (1 - 0,2) = 0,968\cdot S\). Таким образом, по мнению жены, новая зарплата Ивана составляет от старой \[\dfrac{0,968\cdot S}{S}\cdot 100\% = 96,8\%\,,\] следовательно, по мнению жены, зарплата Ивана упала на \(100\% - 96,8\% = 3,2\%\).

Ответ: 3,2

Задание 2

На рисунке жирными точками показано количество осадков, выпавших в городе \(N\) в период с \(4\) по \(14\) апреля. По горизонтали указывается день месяца, по вертикали – количество осадков, выпавших в городе \(N\) в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку разницу между наибольшим и наименьшим количеством осадков в день, выпавших в городе \(N\) за указанный период. Ответ дайте в миллиметрах.



Наибольшее количество осадков выпало \(6\) апреля – \(3,5\) мм, а наименьшее количество осадков выпало \(4\) апреля – \(0,5\) мм. Разница между наибольшим и наименьшим количествами составила \(3,5 - 0,5 = 3\).

Ответ: 3

Задание 3

В треугольнике \(ABC\): \(BD = 2\) – высота, \(BC = 4\), \(AC = 12\). Найдите расстояние от точки \(A\) до прямой, содержащей отрезок \(BC\).

Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую, следовательно, расстояние от точки \(A\) до прямой, содержащей отрезок \(BC\), равно длине высоты \(AE\).



Посчитаем площадь треугольника \(ABC\) двумя способами: \[0,5AC\cdot BD = S_{ABC} = 0,5AE\cdot BC\,,\] откуда \(12 = 2AE\), следовательно, \(AE = 6\).

Ответ: 6

Задание 4

Игорь трижды подбрасывает правильную игральную кость. Какова вероятность того, что за эти три подбрасывания ровно один раз выпадет число, кратное трём, а сумма результатов подбрасываний не будет делиться на \(3\)? Ответ округлите до сотых.

Так как игральная кость правильная, то вероятность выпадения каждой грани равна \(\dfrac{1}{6}\). Среди чисел на гранях есть два числа, дающих при делении на \(3\) остаток \(0\), два числа, дающих при делении на \(3\) остаток \(1\) и два числа, дающих при делении на \(3\) остаток \(2\).

Тогда вероятность за одно подбрасывание получить, например, число, дающее при делении на \(3\) остаток \(1\), равна \(\dfrac{1}{3}\). С другими остатками аналогично.

Условие задачи можно переформулировать в следующем виде: какова вероятность за три подбрасывания получить результаты, остатки от деления на \(3\) которых будут содержать единственный \(0\) и два одинаковых числа?

Таким образом, нас устраивают исходы, остатки от деления на \(3\) которых будут иметь вид:

\[\begin{aligned} &0,\quad 1,\quad 1\\ &1,\quad 0,\quad 1\\ &1,\quad 1,\quad 0\\ &0,\quad 2,\quad 2\\ &2,\quad 0,\quad 2\\ &2,\quad 2,\quad 0\,. \end{aligned}\]

Вероятность любого из выписанных исходов равна произведению \[\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}\] При этом различных исходов здесь шесть, следовательно, вероятность получения подходящего исхода равна \[6\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{9}\] После округления получим ответ \(0,22\).

Ответ: 0,22

Задание 5

Число называется алгебраическим, если оно является корнем какого-нибудь многочлена с целыми коэффициентами. Антон придумал себе уравнение \[\sqrt{x^2 - 0,5x} - \sqrt{0,5x^2 + 0,5x + 0,5} = 0\] Сколько алгебраических корней у этого уравнения?

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x^2 - 0,5x \geqslant 0\\ 0,5x^2 + 0,5x + 0,5\geqslant 0 \end{cases} \end{aligned}\]

Исходное уравнение равносильно уравнению \[\sqrt{x^2 - 0,5x} = \sqrt{0,5x^2 + 0,5x + 0,5}\,.\] Так как левая и правая части последнего неравенства неотрицательны, то уравнение, получающееся из данного возведением в квадрат левой и правой частей, равносильно исходному на ОДЗ. \[x^2 - 0,5x = 0,5x^2 + 0,5x + 0,5\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 2x - 1 = 0\,.\] Таким образом, всякое решение исходного уравнения является корнем многочлена \(x^2 - 2x - 1\), следовательно, всякое решение исходного уравнения будет алгебраическим.

Решениями последнего уравнения будут \(1\pm \sqrt{2}\). Прямой проверкой убеждаемся, что оба корня подходят по ОДЗ. Например, для \(x = 1 - \sqrt{2}\):

\[\begin{aligned} &x^2 - 0,5x = 1 - 2\sqrt{2} + 2 - 0,5 + 0,5\sqrt{2} = 2,5 - 1,5\sqrt{2} > 2,5 - 1,5\cdot 1,5 = 0,25 \geqslant 0\\ &0,5x^2 + 0,5x + 0,5 = 0,5(1 - 2\sqrt{2} + 2) + 0,5 - 0,5\sqrt{2} + 0,5 = 2,5 - 1,5\sqrt{2}\geqslant 0\,. \end{aligned}\]

Таким образом, у исходного уравнения два алгебраических корня.

Ответ: 2

Задание 6

\(ABCD\) – трапеция с основаниями \(AB\) и \(CD\), причём \(\angle ABC = 90^\circ\), \(BC = 1\), \((\vec{AC}, \vec{BD}) = 0,5\). Найдите \((\vec{AB}, \vec{CD})\).

\(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}\), \(\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD}\)



тогда

\[\begin{aligned} &0,5 = (\vec{AC}, \vec{BD}) = (\vec{AB} + \vec{BC}, \vec{BC} + \vec{CD}) = (\vec{AB} + \vec{BC}, \vec{BC}) + (\vec{AB} + \vec{BC}, \vec{CD}) =\\ & = (\vec{AB}, \vec{BC}) + (\vec{BC}, \vec{BC}) + (\vec{AB}, \vec{CD}) + (\vec{BC}, \vec{CD}) \end{aligned}\]

Так как \(ABCD\) – трапеция, а \(\angle ABC = 90^\circ\), то и \(\angle DCB = 90^\circ\), следовательно, \((\vec{AB}, \vec{BC}) = (\vec{BC}, \vec{CD}) = 0\), тогда \[0,5 = (\vec{AB}, \vec{CD}) + (\vec{BC}, \vec{BC}) = (\vec{AB}, \vec{CD}) + 1\,,\] откуда получаем, что \((\vec{AB}, \vec{CD}) = -0,5\).

Ответ: -0,5

Задание 7

Говорят, что две кривые касаются в точке \((x; y)\), если они обе через неё проходят и имеют в этой точке общую касательную. Найдите абсциссу точки касания графиков функций \(y = \dfrac{x^4}{4} + \pi x^2 + \dfrac{1}{3}\) и \(y = \dfrac{x^3}{3} + \pi x^2 + \dfrac{1}{4}\).

Графики функций \(y = f(x)\) и \(y = g(x)\) касаются в точке \((x_0; y_0)\) тогда и только тогда, когда

\[\begin{aligned} \begin{cases} y_0 = f(x_0) = g(x_0)\\ f'(x_0) = g'(x_0)\,, \end{cases} \end{aligned}\]

таким образом, для касания данных графиков в точке с абсциссой \(x\) необходимо и достаточно выполнение условия

\[\begin{aligned} \begin{cases} \dfrac{x^4}{4} + \pi x^2 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{x^3}{3} + \pi x^2 + \dfrac{1}{4}\\ x^3 + 2\pi x = x^2 + 2\pi x\,. \end{cases} \end{aligned}\]

Из второго уравнения последней системы находим, что \(x = 0\) или \(x = 1\), тогда, подставляя эти значения в первое уравнение, находим, что \(x = 0\) не подходит, а \(x = 1\) – подходит. Таким образом, \(1\) – абсцисса точки касания данных графиков.

Ответ: 1

Задание 8

Евгений изучает сферу. Он решил расположить её так, чтобы её центр совпал с началом прямоугольной системы координат \(Oxyz\). Плоскости \(Oxy\), \(Oyz\) и \(Oxz\) пересекли рассматриваемую сферу по большим окружностям. Евгений заметил, что если разрезать сферу по этим окружностям, то она распадётся на несколько криволинейных треугольников. Количество треугольников, на которые распадётся сфера, он обозначил через \(\Gamma\). Но сферу он разрезать не стал.

Затем Евгений посчитал число точек на сфере, через которые прошли хотя бы две из этих окружностей, он назвал эти точки вершинами, а полученное число обозначил через \(B\). Напоследок он посчитал число криволинейных отрезков на сфере, соединяющих соседние вершины (каждый такой отрезок представляет собой четверть дуги одной из полученных больших окружностей) и обозначил его через \(P\). Найдите \(\chi = \Gamma + B - P\).

При разрезании сфера распалась бы на \(8\) треугольников, то есть \(\Gamma = 8\).


 

Назовём отрезки, соединяющие соседние вершины, рёбрами. Число вершин равно \(6\), то есть \(B = 6\). При этом каждая из трёх полученных больших окружностей состоит из четырёх рёбер (и вершин, но их мы уже посчитали), следовательно, \(P = 12\), тогда \[\chi = 8 + 6 - 12 = 2\,.\]

Замечание

Полученное в данной задаче число \(\chi\) называется эйлеровой характеристикой двумерной сферы. По аналогии можно рассматривать эйлеровы характеристики и у других поверхностей.

Ответ: 2

Задание 9

Найдите значение выражения \[\cos\dfrac{\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{2\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{4\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{8\pi}{17}\]

Домножим и разделим исходное выражение на \(\sin\dfrac{\pi}{17}\neq 0\): \[\dfrac{\sin\dfrac{\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{2\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{4\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{8\pi}{17}}{\sin\dfrac{\pi}{17}}\]

Так как \[\sin\dfrac{n\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{n\pi}{17} = \dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot\sin\dfrac{n\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{n\pi}{17} = \dfrac{1}{2}\cdot\sin\dfrac{2n\pi}{17}\,,\] то исходное выражение равно \[\begin{aligned} &\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sin\dfrac{2\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{2\pi}{17} \cdot\cos\dfrac{4\pi}{17}\cdot\cos \dfrac{8\pi}{17}}{\sin\dfrac{\pi}{17}} = \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{\sin\dfrac{4\pi}{17}\cdot \cos\dfrac{4\pi}{17}\cdot \cos\dfrac{8\pi}{17}}{\sin\dfrac{\pi}{17}} = \\[3ex] &\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{\sin\dfrac{8\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{8\pi}{17}}{\sin\dfrac{\pi}{17}} = \dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{\sin\dfrac{16\pi}{17}}{\sin\dfrac{\pi}{17}} = \dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{\sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{17}\right)}{\sin\dfrac{\pi}{17}} = \dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{\sin\dfrac{\pi}{17}}{\sin\dfrac{\pi}{17}} = \dfrac{1}{16} \end{aligned}\]

Ответ: 0,0625

Задание 10

Дифференцируемый путь материальной точки, движущейся по прямой, имеет вид \(x(t) = t^2(e^{\sin t^2} + e^{\pi t}) + 2t + e\). Найдите скорость этой точки в момент \(t = 0\).

Скорость в момент времени \(t\): \[x'(t) = 2t(e^{\sin t^2} + e^{\pi t}) + t^2(e^{\sin t^2} + e^{\pi t})' + 2\,.\]

Так как путь материальной точки дифференцируемый, то \((e^{\sin t^2} + e^{\pi t})'\) при \(t = 0\) есть величина конечная, тогда при \(t = 0\): \[x'(0) = 0\cdot(e^{\sin 0} + e^{\pi\cdot 0}) + 0\cdot(e^{\sin t^2} + e^{\pi t})'\big|_{t = 0} + 2 = 2\]

Ответ: 2

Задание 11

Сто шестнадцать одинаковых крокодилов выпивают полный бассейн воды за один день. Каждое утро уборщик проверяет бассейн, и если бассейн не полный, то уборщик доливает в него фиксированное количество воды (всегда одинаковое). Известно, что однажды шесть крокодилов выпили бассейн за двадцать один день. За сколько дней бассейн выпьют два крокодила?

За \(21\) день шесть крокодилов выпили столько же воды, сколько её выпили бы \(6\cdot 21 = 126\) крокодилов за день (все крокодилы одинаковые). При этом известно, что полный бассейн за день выпивают \(116\) крокодилов. Но зачем тогда понадобились ещё \(126 - 116 = 10\) крокодилов?

Дело в том, что каждое утро, кроме первого, в бассейн доливали воду. Тогда эти \(10\) крокодилов понадобились, чтобы выпить всё то, что долил уборщик (а он доливал воду \(21 - 1 = 20\) раз).

Таким образом, уборщик каждое утро доливал \(10 : 20 = 0,5\) от суточной нормы одного крокодила. Будем называть долитую уборщиком воду новой, а воду, которая изначально была в бассейне, старой. Можно считать, что один из двух крокодилов каждый день сначала выпивает всю новую воду, а потом принимается за старую.

Посчитаем, сколько старой воды каждый день, кроме первого, выпивают два крокодила вместе. Ответом будет полуторная норма одного крокодила.

В итоге, можно считать, что уборщик воду не доливает, но каждый день (кроме первого) воду пьют не два, а полтора крокодила :) Так как полный бассейн – это \(116\) крокодильих норм, то после первого дня на долю полутора крокодилов придётся \(116 - 2 = 114\) норм, которые они выпьют за \(114 : 1,5 = 76\) дней. Тогда, с учётом первого дня, ответ \(76 + 1 = 77\).

Ответ: 77

Задание 12

Найдите точку локального максимума функции \(y = \cos(\arcsin(x))\).

ОДЗ: \(x\in [-1; 1]\).

1) \[y' = -\sin(\arcsin x)\cdot \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = -\dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\] – на ОДЗ.

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-\dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Производная не существует при \(x \in (-\infty; -1]\cup [1; +\infty)\), но эти точки не являются внутренними для области определения.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика \(y\):


 

Таким образом, \(x = 0\) – точка локального максимума функции \(y\).

Ответ: 0