Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

Реальные варианты ЕГЭ 2018

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты «Школково». Досрочная волна. Резервный день. 11 апреля 2018

Задание 1

а) Решите уравнение \(\sqrt{x^3-4x^2-10x+29}=3-x\).

 

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([-\sqrt3; \sqrt{30}]\).

а) Данное уравнение равносильно: \[\begin{cases} x^3-4x^2-10x+29=(3-x)^2\\ 3-x\geqslant 0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x^3-5x^2-4x+20=0\\ x\leqslant 3\end{cases}\]Левая часть уравнения раскладывается на множители: \(x^2(x-5)-4(x-5)=0 \quad\Leftrightarrow\quad (x-5)(x-2)(x+2)=0\). Следовательно, корнями будут \(x=-2;2;5\). Под условие \(x\leqslant 3\) подходят только корни \(x=-2;2\).

 

б) Отберем корни.
Так как \(-2<-\sqrt3\), то \(x=-2\) не входит в промежуток \([-\sqrt3; \sqrt{30}]\). А вот \(-\sqrt3<2<\sqrt{30}\). Следовательно, ответ: \(x=2\).

Ответ:

а) \(-2;2\)

б) \(2\)

Задание 2

В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) все ребра равны \(2\). Точка \(M\) – середина ребра \(AA_1\).

 

а) Докажите, что \(MB\) и \(B_1C\) взаимно перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми \(MB\) и \(B_1C\).

а) Заметим, что прямые \(MB\) и \(B_1C\) скрещивающиеся. Как доказать, что скрещивающиеся прямые взаимно перпендикулярны? Например, провести через одну из них плоскость и доказать, что вторая прямая будет перпендикулярна этой плоскости. Тогда по определению вторая прямая будет перпендикулярна любой прямой из этой плоскости, следовательно, и первой прямой.
Так и поступим. Проведем такую плоскость через прямую \(B_1C\).


Так как все ребра призмы равны, то боковые грани представляют собой квадраты. Следовательно, если \(H\) – середина \(AB\), то \(\triangle AMB=\triangle BHB_1\) (как прямоугольные по двум катетам). Рассмотрим грань \(ABB_1A_1\):


1) Заметим, что \(\angle ABM+\angle MBB_1=90^\circ\), так же как \(\angle ABM+\angle AMB=90^\circ\). Следовательно, \(\angle AMB=\angle MBB_1\).
Также из равенства \(\triangle AMB\) и \(\triangle BHB_1\) следует, что \(\angle ABM=\angle BB_1H\). Следовательно, \(\angle B_1OB=90^\circ\). Таким образом, \(B_1H\perp MB\).
2) По теореме о трех перпендикулярах (так как \(AM\perp (ABC)\), проекция \(AB\perp CH\)) наклонная \(MB\perp CH\).
(так как \(H\) – середина \(AB\), а \(\triangle ABC\) равносторонний, то \(CH\) – медиана и высота, значит, \(AB\perp CH\))

 

Таким образом, \(MB\) перпендикулярна двум прямым из плоскости \(B_1HC\), следовательно, \(MB\perp (B_1HC)\). Значит, \(MB\perp B_1C\).

 

б) Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми – это длина отрезка, перпендикулярного обеим прямым. Следовательно, если мы в плоскости \(B_1HC\) проведем \(OK\perp B_1C\), то \(MB\perp OK\) (так как \(MB\perp (B_1HC)\)). То есть \(OK\) и есть искомое расстояние.
\(OK\) можно найти из \(\triangle B_1HC\). Заметим, что \(\triangle B_1HC\) прямоугольный (\(\angle H=90^\circ\)), так как по теореме о трех перпендикулярах \(B_1H\perp CH\).
Чтобы найти \(OK\), можно найти \(B_1H, CH\) и \(B_1O\).

 

1) \(B_1H\) можно найти по теореме Пифагора из \(\triangle B_1HB\): \[B_1H=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5\]

2) \(CH\) можно также найти по теореме Пифагора из \(\triangle BCH\): \[CH=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3\]

3) Для поиска \(B_1O\) используем подобие \(\triangle B_1OB\) и \(\triangle BAM\): \[\dfrac{B_1O}{AB}=\dfrac{BB_1}{BM}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{B_1O}{2}=\dfrac{2}{\sqrt5}\quad\Rightarrow\quad B_1O=\dfrac4{\sqrt5}\]

4) Теперь рассмотрим \(\triangle B_1HC\):


По теореме Пифагора \(B_1C=\sqrt8=2\sqrt2\). Тогда из \(\triangle B_1HC\): \(\sin\angle B_1=\dfrac{\sqrt3}{2\sqrt2}\).
Следовательно, из \(\triangle B_1OK\): \[\sin\angle B_1=\dfrac{OK}{B_1O}\quad\Rightarrow\quad OK=\dfrac4{\sqrt5}\cdot \dfrac{\sqrt3}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt{30}}5\]

Ответ:

б) \(\frac{\sqrt{30}}5\)

Задание 3

Решите неравенство \[3^{x^2}\cdot 5^{x-1}\geqslant 3\]

ОДЗ неравенства: \(x\in\mathbb{R}\).
Разделим обе части неравенства на \(3\): \[3^{x^2-1}\cdot 5^{x-1}\geqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad \left(3^{x+1}\cdot 5\right)^{x-1}\geqslant 1 \quad\Leftrightarrow\quad \left(3^{x+1}\cdot 5\right)^{x-1}-\left(3^{x+1}\cdot 5\right)^0\geqslant0\] Решим данное неравенство методом рационализации: \[\left(3^{x+1}\cdot 5-1\right)\cdot (x-1-0)\geqslant 0\] Первую скобку также можно преобразовать по методу рационализации. Для этого разделим обе части неравенства на \(5\): \[\left(3^{x+1}-0,2\right)\cdot (x-1)\geqslant 0\] Тогда, если представить \(0,2=3^{\log_3 0,2}\), то получим: \[(3-1)(x+1-\log_3 0,2)(x-1)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x+1+\log_35)(x-1)\geqslant 0\] Полученное неравенство можно решить методом интервалов:


Таким образом, ответ: \[x\in (-\infty; -1-\log_35]\cup[1;+\infty)\]

Ответ:

\((-\infty; -1-\log_35]\cup[1;+\infty)\)

Задание 4

В выпуклом четырехугольнике \(ABCD\): \(AB=3\), \(BC=5\), \(CD=5\), \(AD=8\), \(AC=7\).

 

а) Докажите, что около этого четырехугольника можно описать окружность.

б) Найдите диагональ \(BD\).

а) Если в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна \(180^\circ\), то около него можно описать окружность. Докажем, что \(\angle B+\angle D=180^\circ\).
По теореме косинусов для \(\triangle ABC\): \[\cos\angle B= \dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}=-\dfrac12\] По теореме косинусов для \(\triangle ADC\): \[\cos\angle D=\dfrac{AD^2+CD^2-AC^2}{2\cdot AD\cdot CD}=\dfrac12\] Так как \(\alpha+\beta=180^\circ\) равносильно \(\cos\alpha=-\cos\beta\), то из \(\cos\angle B=-\cos \angle D\) следует, что \(\angle B+\angle D=180^\circ\).

 

б) Если около \(ABCD\) можно описать окружность, то и \(\angle A+\angle C=180^\circ\).
Обозначим \(BD=x\). Тогда, также используя теорему косинусов для \(\triangle ABD\) и \(\triangle CBD\), можно сказать: \[\begin{cases} \cos \angle A=\dfrac{9+64-x^2}{2\cdot 3\cdot 8} \\[2ex] \cos \angle C=\dfrac{25+25-x^2}{2\cdot 5\cdot 5} \end{cases}\]Также имеем, что \(\cos\angle A=-\cos\angle C\), следовательно, \[\begin{aligned} &\dfrac{9+64-x^2}{2\cdot 3\cdot 8}=-\dfrac{25+25-x^2}{2\cdot 5\cdot 5} \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{73-x^2}{24}=\dfrac{x^2-50}{25} \quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\Leftrightarrow\quad 73\cdot 25-25x^2=24x^2-50\cdot 24 \quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\Leftrightarrow\quad x^2=\dfrac{73\cdot 25+50\cdot 24}{49}= \dfrac{25(73+48)}{49}=\dfrac{25\cdot 121}{49} \end{aligned}\] Отсюда \[x=\dfrac{5\cdot 11}{7}=\dfrac{55}7\]

Ответ:

б) \(\frac{55}7\)

Задание 5

В регионе А среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял \(43\,740\) рублей и ежегодно увеличивался на \(25\%\). В регионе Б среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял \(60\,000\) рублей. В течение трех лет суммарный доход жителей региона Б увеличивался на \(17\%\) ежегодно, а население увеличивалось на \(m\%\) ежегодно. В 2017 году среднемесячный доход на душу населения в обоих регионах А и Б стал одинаковым. Найдите \(m\).

Составим таблицу для региона А: \[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Среднемесячный доход на душу населения} \\ \hline 2014 & 43\,740\\ \hline 2015 & 1,25\cdot 43\,740\\ \hline 2016 & 1,25(1,25\cdot 43\,740)=1,25^2\cdot 43\,740\\ \hline 2017 & 1,25^3\cdot 43\,740\\ \hline \end{array}\] Составим таблицу для региона Б. Пусть \(x\) – население региона Б в 2014 году: \[\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Население} & \text{Суммарный доход жителей}\\ \hline 2014 & x & 60\,000\cdot x\\ \hline 2015 & (1+0,01m)x & 1,17\cdot 60\,000\cdot x\\ \hline 2016 & (1+0,01m)^2x & 1,17^2\cdot 60\,000\cdot x\\ \hline 2017 & (1+0,01m)^3x & 1,17^3\cdot 60\,000\cdot x\\ \hline \end{array}\] Заметим, что если умножить среднемесячный доход на количество жителей, то получим суммарный доход жителей. Следовательно, суммарный доход жителей делить на число жителей — это среднемесячный доход на душу населения. Значит, в 2017 году в регионе Б среднемесячный доход на душу населения составлял \[\dfrac{1,17^3\cdot 60\,000\cdot x}{(1+0,01m)^3\cdot x}= \dfrac{1,17^3\cdot 60\,000}{(1+0,01m)^3}\] По условию задачи этот доход равен среднемесячному доходу в 2017 году в регионе А: \[\dfrac{1,17^3\cdot 60\,000}{(1+0,01m)^3}=1,25^3\cdot 43\,740 \quad\Leftrightarrow\quad \left(\dfrac{1,17}{(1+0,01m)\cdot 1,25}\right)^3=\dfrac{43\,740}{60\,000}\]
Так как \(\dfrac{43\,740}{60\,000}=\dfrac{729}{1000}=\left(\dfrac9{10}\right)^3\), то \( \dfrac{1,17}{(1+0,01m)\cdot 1,25}=\dfrac9{10} \quad\Leftrightarrow\quad m=4\)

Ответ: 4

Задание 6

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система \[\begin{cases} x^2+y^2=a^2\\ xy=a^2-3a \end{cases}\]

имеет ровно два различных решения.

1 способ. Графический.

 

Заметим, что графиком первого уравнения является окружность при всех \(a\ne 0\).
Графиком второго уравнения при всех \(a^2-3a\ne 0\) является гипербола. Поэтому рассмотрим вырожденные случаи отдельно:

 

1) \(a=0\). Тогда решением первого уравнения будет единственная пара \(x=0, y=0\). Следовательно, уже система не будет иметь 2 решения. Значит, это значение \(a\) нам не подходит.

 

2) \(a=3\). Тогда графиком первого уравнения будет окружность с центром в \((0;0)\) и радиусом \(3\).
Второе уравнение примет вид \(xy=0\) и его графиком будут две прямые: \(x=0\) и \(y=0\).


Видим, что графики уравнений имеют 4 точки пересечения, следовательно, исходная система при \(a=3\) имеет 4 различных решения. Значит, это значение \(a\) нам также не подходит.

 

3) \(a\ne 0;3\). Тогда график первого уравнения – окружность с центром в \((0;0)\) и радиусом \(R=\sqrt{a^2}=|a|\).
График второго уравнения – гипербола \(y=\frac{a^2-3a}x\) (можем делить на \(x\), так как если \(a^2-3a\ne 0\), то и \(xy\ne 0\), следовательно, и \(x\ne 0\)).
При \(a^2-3a>0\) ветви гиперболы будут находиться в \(I\) и \(III\) четвертях, при \(a^2-3a<0\) – во \(II\) и \(IV\) четвертях:

 

Случай а).
Чтобы исходная система имела 2 решения, нужно, чтобы гипербола касалась окружности (будут две точки касания). Заметим, что картинки в \(I\) и в \(III\) четвертях симметричны относительно начала координат. Следовательно, можно рассматривать только \(I\) четверть.
Заметим также, что окружность, как и гипербола, симметрична относительно прямой \(y=x\). Следовательно, если они и касаются, то точка касания \(K\) находится на прямой \(y=x\):


Пусть \(K=(x_0;x_0)\). Проведем \(KX\perp Ox\). Тогда \(OX=x_0\). Так как \(OK=|a|\), \(\triangle OKX\) прямоугольный и равнобедренный, то \(OX=|a|:\sqrt2\).
Так как \(K\) – точка касания, то \(K\) лежит на гиперболе. Следовательно, если подставить координаты точки \(K\) в уравнение гиперболы, получится верное равенство (из которого мы как раз и найдем \(a\)): \[\dfrac{|a|}{\sqrt2}=\dfrac{a^2-3a}{\frac{|a|}{\sqrt2}}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{a^2}2=a^2-3a\quad\Leftrightarrow\quad a=0; 6\] Так как в случае а) \(a^2-3a>0\), то подходит только \(a=6\).

 

Случай б).


Он аналогичен случаю а) за исключением одного момента: у точки \(K\) координаты противоположны, то есть \((x_0;-x_0)\). Следовательно, когда мы будем поставлять их в уравнение гиперболы, получим: \[-\dfrac{|a|}{\sqrt2}=\dfrac{a^2-3a}{\frac{|a|}{\sqrt2}} \quad\Rightarrow\quad a=0;2\] Так как в этом случае \(a^2-3a<0\), то подходит \(a=2\).

 

Ответ: \(a=2;6\).

2 способ. Алгебраический.
Перепишем систему в виде: \[\begin{cases} x^2+y^2=a^2\\ 2xy=2a^2-6a \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} (x+y)^2=3a^2-6a\\ (x-y)^2=6a-a^2 \end{cases}\qquad(*)\] Таким образом, чтобы система имела решения, как минимум нужно, чтобы \[\begin{cases} 3a^2-6a\geqslant 0\\ 6a-a^2\geqslant 0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad a\in \{0\}\cup[2;6]\]

1) Если \(a=0\), то получаем: \[\begin{cases} (x+y)^2=0\\(x-y)^2=0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x=y=0\] Одно решение. Следовательно, \(a=0\) не подходит.

 

2) Пусть \(a\in [2;6]\).

 

Перепишем систему в виде (\(A^2=3a^2-6a\), \(B^2=6a-a^2\)): \[\begin{cases} (x+y)^2=A^2\\ (x-y)^2=B^2 \end{cases}\] 2.1) Заметим, что если \(A\ne 0\), то первое уравнение имеет два различных решения \(x+y=A\) и \(x+y=-A\).
Аналогично со вторым уравнением и \(B\ne 0\).
Значит, если \(A\ne 0, B\ne 0\), то для чисел \((x+y; x-y)\) мы имеем четыре различные пары решений \((A;B)\), \((A;-B)\), \((-A;B)\), \((-A;-B)\). Но тогда мы будем иметь четыре различные пары решений для \((x;y)\).
2.2) Если одно из \(A, B\) равно нулю, а другое – нет, то мы будем иметь две различные пары решений для \((x+y; x-y)\): либо \((A;0)\) и \((-A;0)\), либо \((0;B)\) и \((0;-B)\).
2.3) \(A\) и \(B\) одновременно не могут быть равны нулю (тогда \(a=0\), а мы этот случай уже рассмотрели и отбросили).
Таким образом, единственный случай, который нам подходит – это случай 2.2): \[\begin{cases} a\ne 0 \\ \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &A=0 \\ &B=0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\end{cases} \quad\Rightarrow\quad a=2;6\]

Ответ:

\(\{2;6\}\)

Задание 7

а) Существуют ли двузначные натуральные числа \(m\) и \(n\) такие, что \[\left|\dfrac mn-\sqrt2\right|\leqslant \dfrac1{100}\,?\]

б) Существуют ли двузначные натуральные числа \(m\) и \(n\) такие, что \[\left|\dfrac{m^2}{n^2}-2\right|\leqslant \dfrac1{10000}\,?\]

в) Найдите все возможные значения натурального числа \(n\), при каждом из которых значение выражения \[\left|\dfrac{n+10}{n}-\sqrt2\right|\] будет наименьшим.

а) Так как \(\frac1{100}=0,01\), то найдем также приблизительное значение \(\sqrt2\) до второго знака после запятой.
Известно, что \(\sqrt2\in (1,4;1,5)\).
\(\sqrt2=\sqrt{20000}:100\). Заметим, что \(141^2=19881<20000\), \(142^2=20164>20000\), следовательно, \(\sqrt{20000}\in (141;142)\). Тогда \[1,41<\sqrt2<1,42\] Таким образом, если подобрать такие \(m\) и \(n\), что, например, \(\dfrac mn\in [1,41; 1,42]\), то они будут подходить под условие.
Возьмем \(\frac mn=1,42\), то есть \[\dfrac mn=\dfrac{142}{100}=\dfrac{71}{50}\quad\Rightarrow\quad m=71; n=50\] Пример приведен, следовательно, ответ: да.

 

б) Преобразуем неравенство \[-\dfrac1{100^2}\leqslant \dfrac{m^2}{n^2}-2\leqslant \dfrac1{100^2} \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{n^2}{100^2}\leqslant m^2-2n^2\leqslant \dfrac{n^2}{100^2}\] Так как \(n\) – двузначное натуральное число, то \(n<100\), следовательно, \(\dfrac{n^2}{100^2}<1\). Тогда \(\dfrac{n^2}{100^2}=0,...\)


Так как \(m\) и \(n\) – натуральные числа, то выражение \(m^2-2n^2\) – целое число, следовательно, единственное значение, которому может быть равно \(m^2-2n^2\) – это \(0\).
Но тогда \(m^2=2n^2\), откуда \(m=\sqrt2n\), что невозможно, учитывая, что \(m,n\) – натуральные.
Ответ: нет.

 

в) Заметим, что \(\dfrac{n+10}n=1+\dfrac{10}n\). Тогда наименьшим должно быть выражение \(\left|\dfrac{10}{n}-(\sqrt2-1)\right|\).

 

Следовательно, нужно найти такие \(n\), при которых расстояние от \(\frac{10}n\) до числа \(\sqrt2-1\) будет наименьшим.
Из пункта а) мы определили, что \(\sqrt2=1,41...\), следовательно, \(\sqrt2-1=0,41...\)
Заметим, что если существуют такие \(n\), что \(0,4<\frac{10}n<0,5\), то среди них будут те \(n\), при которых число \(\frac{10}n\) находится ближе всего к числу \(\sqrt2-1\).
Тогда: \[0,4<\dfrac{10}n<0,5\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} n<25\\n>20 \end{cases}\] Следовательно, следует выбрать из чисел \(n=21;22;23;24\).
Вычисляем: \[\begin{aligned} &\dfrac{10}{21}=0,47...\\[2ex] &\dfrac{10}{22}=0,45...\\[2ex] &\dfrac{10}{23}=0,43...\\[2ex] &\dfrac{10}{24}=0,41... \end{aligned}\] Следовательно, ближайшим к \(\sqrt2-1\) будет число \(\frac{10}{24}\), то есть при \(n=24\).

Очевидно, что не существует других \(n\), при которых \(\frac{10}n=\frac{10}{24}\). То есть ответ: 24.

Ответ:

а) да

б) нет

в) 24