Математика
Русский язык

7. Взаимосвязь функции и ее производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Связь производной с точками экстремума функции

В данных задачах речь идет о непрерывных функциях (простым языком, функция будет непрерывна на интервале, если ее график можно нарисовать на этом интервале, не отрывая ручку от листа).

 

\(\blacktriangleright\) \(\color{royalblue}{{\large{\text{Точки}}}}\) (локального) \(\color{royalblue}{{\large{\text{экстремума}}}}\) функции – это точки (локального) максимума и минимума.

 

\({\small {\text{Окрестность — это интервал вокруг точки некоторого радиуса. Например, окрестностью точки } x=0 \text{ можно назвать}\\ \text{интервал } (-1;1), \text{ или } (-0,1;0,1), \text{ или } (-0,0000001;0,0000001).}}\)

 

\(\blacktriangleright\) \(\color{royalblue}{{\large{\text{Точка максимума }}}}\) \(x_{max}\) – такая внутренняя точка области определения функции, для которой выполнено: \(f(x)\leqslant f(x_{max})\) для любого \(x\) из некоторой окрестности точки \(x_{max}\).

 

\({\small {\text{То есть можно найти такую окрестность, что для любой точки из этой окрестности будет выполнено данное неравенство.}}}\)
\({\small {\text{Заметим, что, например, если функция определена на отрезке } [0;2], \text{ то все точки интервала } (0;2) \text{ будут внутренними,}\\ \text{а вот точки }0 \text{ и } 2 \text{ — граничными (то есть не внутренними).}}}\)

 

\(\blacktriangleright\) \(\color{royalblue}{{\large{\text{Точка минимума }}}}\) \(x_{min}\) – такая внутренняя точка области определения функции, для которой выполнено: \(f(x)\geqslant f(x_{min})\) для любого \(x\) из некоторой окрестности точки \(x_{min}\).


 

Например, для точки \(C\) за окрестность можно взять интервал \((3;5)\) или даже \((2;6)\), а можно совсем маленький — \((4-0,01;4+0,01)\).


 

Следующие факты помогают искать точки экстремума функции.

 

\(\blacktriangleright\) Если производная \(f'\) в точке \(x\) равна нулю и меняет свой знак слева направо с “\(+\)” на “\(-\)” , то эта точка является точкой максимума.
Заметим также, что если производная \(f'\) в точке \(x\) не существует и меняет свой знак слева направо с “\(+\)” на “\(-\)” (но \(x\) – внутренняя точка области определения функции \(f\,\)!), то эта точка является точкой максимума.

\({\small {\text{Пример: в точке } A \text{ производная равна нулю и эта точка является точкой максимума;}}}\)
\({\small {\text{в точке } C \text{ производная не ''равна нулю'' , а не существует, при этом точка } C \text{ также является точкой максимума.}}}\)

 

\(\blacktriangleright\) Если производная в точке \(x\) равна нулю и меняет свой знак слева направо с “\(-\)” на “\(+\)” , то эта точка является точкой минимума.
Также, если производная \(f'\) в точке \(x\) не существует и меняет свой знак слева направо с “\(-\)” на “\(+\)” (но \(x\) – внутренняя точка области определения функции \(f\,\)!), то эта точка является точкой минимума.

 

\(\blacktriangleright\) Заметим, что точки экстремума – это значение абсциссы \(x\).

 

\(\blacktriangleright\) Заметим, что существует такое понятие, как критические точки — это все точки, в которых производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Таким образом, только часть критических точек является точками экстремума.

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график производной функции \(f(x)\), определенной на отрезке \([-10;37]\). Найдите количество точек максимума функции \(f(x)\) на отрезке \([0;37]\).

Добавить задание в избранное

Точка максимума – значение \(x\), в котором производная меняет свой знак с “\(+\)” на “\(-\)”. Следовательно, в этой точке ее график пересекает ось абсцисс “сверху вниз” (если двигаться по рисунку слева направо). Отметим отрезок \([0;37]\) и увидим, что таких точек 2:

Ответ: 2

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-2,4; 8,7)\). Найдите сумму точек экстремума этой функции на отрезке \([1;6]\).

Добавить задание в избранное

Так как на рисунке изображен график функции, то точки экстремума – это точки на графике, в которых функция меняется с возрастания на убывание или наоборот. Эти точки: \(x=-1; \ 0; \ 2; \ 4; \ 5; \ 8.\) Из них на отрезке \([1;6]\) лежат только точки \(2; \ 4; \ 5\), следовательно, их сумма равна \(2+4+5=11.\)

Ответ: 11

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-3; 8,5)\). Найдите сумму точек экстремума этой функции.

 

Добавить задание в избранное

Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.

 

По рисунку можно определить, что функция \(f(x)\) достигает локально минимальные значения в точках \(0\), \(4\) и \(8\), а локально максимальные значения в точках \(-2\), \(1\) и \(6\). Таким образом, сумма точек экстремума этой функции равна \(0 + 4 + 8 + (-2) + 1 + 6 = 17\).

Ответ: 17

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-2,4; 8,7)\). Найдите сумму точек экстремума этой функции.

 

Добавить задание в избранное

Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.

 

По рисунку можно определить, что функция \(f(x)\) достигает локально минимальные значения в точках \(-1\), \(2\) и \(5\), а локально максимальные значения в точках \(0\), \(4\) и \(8\). Таким образом, сумма точек экстремума этой функции равна \(-1 + 2 + 5 + 0 + 4 + 8 = 18\).

Ответ: 18

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-3; 9)\). Найдите произведение точек экстремума этой функции.

 

Добавить задание в избранное

Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.

 

По рисунку можно определить, что функция \(f(x)\) достигает локально минимальные значения в точках \(-1\) и \(5\), а локально максимальные значения в точках \(-2\), \(4\) и \(8\). Таким образом, произведение точек экстремума этой функции равно \((-1)\cdot 5\cdot (-2)\cdot 4\cdot 8 = 320\).

Ответ: 320

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-2.8; 7.8)\). Найдите произведение точек экстремума этой функции.

 

Добавить задание в избранное

Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.

 

По рисунку можно определить, что функция \(f(x)\) достигает локально минимальные значения в точках \(1\) и \(4\), а локально максимальные значения в точках \(-2\), \(3\) и \(7\). Таким образом, произведение точек экстремума этой функции равно \(1\cdot 4\cdot (-2)\cdot 3\cdot 7 = -168\).

Ответ: -168

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график \(y = f'(x)\) – производной функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-1; 8)\). В какой точке отрезка \([2; 5]\) функция \(y = f(x)\) принимает наибольшее значение?

 

Добавить задание в избранное

По рисунку можно определить, что функция \(y = f'(x)\) на отрезке \([2; 5]\) принимает неположительные значения, при этом \(f'(2) = 0\). Так как на полуинтервале \((2; 5]\) производная функции \(f(x)\) отрицательна, то сама функция \(f(x)\) на \((2; 5]\) убывает, тогда \(y = f(x)\) на отрезке \([2; 5]\) принимает наибольшее значение при \(x = 2\).

Ответ: 2

Итоговый экзамен по математике для выпускников 11-х классов обязательно включает задания на поиск точек максимума и минимума функциональных зависимостей. Их решение проводится аналитически – методом дифференцирования. Применение производной для исследования функции на экстремум сокращает время анализа и позволяет представить общий вид графика зависимости еще до выполнения построений.

Обучающий ресурс «Школково» позволит учащимся освежить в памяти главные моменты темы – уточнить теоретические знания и отработать их в решении ряда задач. Наш подход к обучению в отношении поиска точек экстремума функции через производную в типовых заданиях ЕГЭ основан на принципе глубокой взаимосвязи теории и практики. Сначала ученик читает правила «Теоретической справки», потом смотрит видео с объяснениями учителя, а затем работает с реальным педагогом. В процессе просмотра предлагаемых на сайте вебинаров можно задать интересующие вопросы и получить помощь в решении конкретных задач.

В разделе «Каталог» имеются подборки тематических заданий на нахождение точек экстремума функции с помощью производной, а также нахождения производной угла наклона касательной. Каждый пример содержит готовое решение и правильный ответ, с которыми можно ознакомиться после окончания самостоятельной работы. «Конструктор» примерных вариантов ЕГЭ позволит провести исследование экстремумов функций с помощью производных в ходе пробного выполнения экзаменационной работы.