Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

Реальные варианты ЕГЭ 2018

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты «Школково». Досрочная волна. 30 марта 2018

Задание 1

Диагональ экрана телевизора равна \(39\) дюймам. Выразите диагональ экрана телевизора в сантиметрах, если известно, что в одном дюйме \(2,54\) сантиметра. В случае необходимости результат округлите до целого числа.

Чтобы перевести диагональ в сантиметры, нужно \(39\) умножить на \(2,54\). Получим \(99,06\) сантиметра. Данное число округляется до целого в меньшую сторону, следовательно, получаем \(99\) сантиметров.

 

Ответ: 99

Задание 2

На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, а по вертикали – значение температуры воздуха в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 29 марта. Ответ дайте в градусах Цельсия.

 

Наибольшая температура воздуха 29 марта составила \(27^\circ C\) и была зафиксирована в промежуток между 12:00 и 18:00.

Ответ: 27

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клеток \(1\times1\) изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину его гипотенузы.

 

По клеткам находим, что длины катетов равны \(5\) и \(12\) соответственно. Следовательно, длина гипотенузы по теореме Пифагора равна \[\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13\]

Ответ: 13

Задание 4

Научная конференция проводится в четыре дня. Всего запланировано 45 выступлений: в первый день запланировано 18 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что выступление профессора из России будет запланировано на последний день конференции.

На последние три дня запланировано \(45-18=27\) выступлений. Следовательно, в каждый из этих трех дней запланировано \(27:3=9\) выступлений. Таким образом, количество “подходящих мест” для выступления профессора из России равно 9, всего возможных “мест” для его выступления 45, значит, вероятность равна \[\dfrac9{45}=\dfrac15=0,2\]

Ответ: 0,2

Задание 5

Найдите корень уравнения \((x-2)^3=64.\)

Так как \(64=4^3\), то уравнение примет вид \((x-2)^3=4^3\), откуда \(x-2=4\) и \(x=6\).

 

Ответ: 6

Задание 6

Стороны параллелограмма равны \(9\) и \(15\). Высота, опущенная на меньшую сторону, равна \(10\). Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

 

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой высота проведена. Следовательно, с одной стороны, площадь \(S=9\cdot 10\), с другой стороны, \(S=15\cdot h\), где \(h\) – высота, которую нужно найти.
Следовательно, \[9\cdot 10=15\cdot h\quad\Leftrightarrow\quad h=6\]

Ответ: 6

Задание 7

На рисунке изображен график функции \(y=f(x)\) и отмечены точки \(-4; \ -2; \ 2; \ 5\). В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.


Проведем касательные к графику функции в этих точках. Так как тангенс угла \(\alpha\) наклона касательной равен значению производной \(f'(x)\) в точке касания \(x_0\) (\(f'(x_0)=\mathrm{tg}\,\alpha\)), то нужно сравнить тангенсы углов, отмеченных на рисунке.
Вспомним, что если угол тупой, то его тангенс отрицательный, если острый – положительный. Следовательно, так как мы ищем наибольший тангенс, имеет смысл рассматривать только острые углы. Это углы, образованные касательными в точках \(-4\) и \(5\). Заметим, что угол в точке \(5\) больше, следовательно, его тангенс также больше, чем тангенс угла в точке \(-4\). Таким образом, ответ: \(5\).

Ответ: 5

Задание 8

В сосуд цилиндрической формы налили \(1000\) см\(^3\) жидкости, при этом уровень жидкости в сосуде достиг \(15\) см. После того, как в жидкость полностью погрузили деталь, уровень жидкости поднялся на \(9\) см. Чему равен объем погруженной детали? Ответ выразите в см\(^3\).

 

Так как уровень жидкости поднялся на 9 см, то жидкость вместе с деталью стала занимать \(1000+1000:15\cdot 9=1000+600\) см\(^3\). Так как объем жидкости не изменился, то объем детали равен \(600\) см\(^3\).

 

Ответ: 600

Задание 9

Найдите значение выражения \(\dfrac{16\sin 168^\circ}{\sin 84^\circ\cdot \sin6^\circ}\).

По формуле двойного аргумента \(\sin 168^\circ=2\sin 84^\circ\cos 84^\circ\).
По формуле приведения \(\sin6^\circ=\sin (90^\circ-84^\circ)=\cos 84^\circ\). Следовательно, \[\dfrac{16\cdot 2\sin84^\circ\cos84^\circ}{\sin 84^\circ\cos84^\circ}=32\]

Ответ: 32

Задание 10

Водолазный колокол, содержащий \(\nu =5\) молей воздуха при давлении \(p_1=2,3\) атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \(p_2\). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \[A=\alpha \nu T\cdot \log_2\dfrac{p_2}{p_1} \ ,\] где \(\alpha=15,6\) Дж/моль\(\cdot\)K — постоянная, \(T=300\) K — температура воздуха. Найдите наибольшее возможное давление \(p_2\) (в атм) воздуха в колоколе, если при сжатии воздуха совершенная работа не превысила \(23\,400\) Дж.

Подставим значения из условия в данную формулу: \[15,6\cdot 5\cdot 300\cdot \log_2\dfrac{p_2}{2,3}\leqslant 23400 \quad\Leftrightarrow\quad \log_2\dfrac{p_2}{2,3}\leqslant 1 \quad\Leftrightarrow\quad 0<\dfrac{p_2}{2,3}\leqslant 2 \quad\Leftrightarrow\quad 0<p_2\leqslant 4,6\] Таким образом, наибольшее возможное значение \(p_2=4,6\) атм.

 

Ответ: 4,6

Задание 11

От пристани А к пристани Б, расстояние между которыми равно \(153\) км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через \(8\) часов после этого следом за ним со скоростью на \(8\) км/ч большей отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт Б оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Пусть \(x\) км/ч – скорость первого теплохода. Тогда \(x+8\) км/ч – скорость второго. Из условия следует, что первый теплоход плыл на 8 часов дольше, чем второй. Время первого равно \(\dfrac{153}x\), время второго равно \(\dfrac{153}{x+8}\). Тогда получаем следующее уравнение \[\dfrac{153}x=\dfrac{153}{x+8}+8\quad\Rightarrow\quad x^2+8x-153=0\] Дискриминант \(D=64+4\cdot 153=4(16+153)=4\cdot 169=(26)^2\). Следовательно, корнями являются \(x=-17\) и \(x=9\). Так как \(x\) – значение скорости, то \(x=9\).
Нужно было найти \(x\), следовательно, ответ: 9 км/ч.

Ответ: 9

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции \(y=(x^2+18x-18)\cdot e^x\) на отрезке \([-2;5]\).

Определим, как схематично выглядит график функции.

1) Найдем производную \[y'=(x^2+18x-18)'\cdot e^x+(x^2+18x-18)\cdot \left(e^x\right)'= e^x\cdot (2x+18+x^2+18x-18)=e^x\cdot (x^2+20x)\]

2) Так как \(e^x\ne 0\) для любого \(x\), то нулями производной будут корни уравнения \(x^2+20x=0\), то есть \(x=0\) и \(x=-20\).

3) Определим знаки производной на полученных промежутках:

 

4) Тогда график функции схематично выглядит так:

Из такого схематичного изображения графика видно, что наименьшее значение на отрезке \([-2;5]\) функция принимает в точке \(0\). Следовательно, \[y(0)=(0+0-18)\cdot e^0=-18\]

Ответ: -18

Задание 13

а) Решите уравнение \[\dfrac{\cos x}{1+\sin x}=1-\sin x\]

б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi; \dfrac{7\pi}2\right]\).

а) Перепишем уравнение в следующем виде: \[\begin{aligned} &\dfrac{\cos x-(1-\sin x)(1+\sin x)}{1+\sin x}=0\quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\begin{cases} \cos x-\cos^2x=0\\ \sin x\ne -1\end{cases}\quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\begin{cases} \left[\begin{gathered} \cos x=0\\ \cos x=1\end{gathered}\right. \\ \sin x\ne -1\end{cases} \end{aligned}\] Пересечем решения данной системы по окружности:

Таким образом, мы видим, что нам подходят только точки \(x=2\pi n\), \(x=\dfrac{\pi}2+2\pi k\), \(n,k\in\mathbb{Z}\).  

б) Отберем корни.   \(2\pi \leqslant 2\pi n\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad 1\leqslant n\leqslant \dfrac74\quad\Rightarrow\quad n=1\quad\Rightarrow\quad x=2\pi \)   \(2\pi \leqslant \dfrac{\pi}2+2\pi k\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac34\leqslant k\leqslant \dfrac32\quad\Rightarrow\quad k=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{5\pi}2\)

Ответ:

а) \(2\pi n, \ \dfrac{\pi}2+2\pi k, \ n,k\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(2\pi ; \ \dfrac{5\pi}2\)

 

Задание 14

На ребре \(AA_1\) правильной четырехугольной призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отмечена точка \(K\), причем известно, что \(AK:KA_1=1:3\).
Через точки \(K\) и \(B\) проведена плоскость \(\alpha\) параллельно прямой \(AC\), которая пересекает ребро \(DD_1\) в точке \(M\).

 

а) Докажите, что точка \(M\) – середина ребра \(DD_1\).

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью \(\alpha\), если известно, что \(AB=5\), \(AA_1=4\).

а) Рассмотрим рисунок, сразу проведя вспомогательные отрезки \(AC\), \(BD\), \(A_1C_1\), \(B_1D_1\), \(OO_1\).

Так как плоскость \(\alpha\) параллельна прямой \(AC\), то в плоскости \(\alpha\) есть прямая, параллельная \(AC\). Построим эту прямую. Для этого нам нужно рассмотреть плоскость, в которой лежит прямая \(AC\) и в которой есть точка из \(\alpha\). Это плоскость \(ACC_1A_1\).
Проведем через точку \(K\) прямую \(KP\parallel AC\). Следовательно, \(KP\in \alpha\).
Пусть \(KP\cap OO_1=R\). Проведем прямую \(BR\). Тогда она пересечет ребро \(DD_1\). Получим ту самую точку \(M\) из условия. Таким образом, \(BKMP\) – сечение призмы плоскостью \(\alpha\).

Так как \(AK:KA_1=1:3\), то \(AK=\frac14AA_1\). Следовательно, так как \(KP\parallel AC\parallel A_1C_1\), то \(RO=\frac14OO_1\).
Так как призма правильная, то в основании квадрат, следовательно, \(OD=OB\). Рассмотрим \(\triangle ROB\) и \(\triangle MDB\). Они подобны по двум углам (один общий, \(\angle ROB=\angle MDB=90^\circ\)).
Следовательно, \[\dfrac{RO}{MD}=\dfrac{OB}{DB}\quad\rightarrow\quad MD=2RO\quad\Rightarrow\quad MD=\dfrac12OO_1=\dfrac12DD_1\]

2) По теореме о трех перпендикулярах, так как \(MD\perp (ABC), DB\perp AC\), имеем \(MB\perp AC\). Следовательно, \(MB\perp KP\), следовательно, \[S_{BKMP}=\dfrac12 KP\cdot MB\] \(KP=AC=AB\sqrt2=5\sqrt2\).
\(MD=0,5\cdot 4=2\), \(BD=AC=5\sqrt2\), следовательно, по теореме Пифагора \[MB=\sqrt{50+4}=\sqrt{54}\] Тогда \[S_{BKMP}=\dfrac12 KP\cdot MB=\dfrac12\cdot 5\sqrt2\cdot \sqrt{54}=15\sqrt3\]

Ответ:

б) \(15\sqrt3\)

Задание 15

Решите неравенство \[\dfrac{15^x-27\cdot 5^x}{x\cdot 3^x-4\cdot 3^x-27x+108}\leqslant \dfrac1{x-4}\]

Заметим, что знаменатель можно разложить на множители: \(3^x(x-4)-27(x-4)=(x-4)(3^x-27)\). Тогда неравенство примет вид \[\begin{aligned} &\dfrac{5^x(3^x-27)-(3^x-27)}{(x-4)(3^x-27)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\dfrac{(3^x-27)(5^x-1)}{(x-4)(3^x-27)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\dfrac{(3^x-3^3)(5^x-5^0)}{(x-4)(3^x-3^3)}\leqslant 0\end{aligned}\] Решим данное неравенство методом рационализации: \[\begin{aligned} &\dfrac{(3-1)(x-3)(5-1)(x-0)}{(x-4)(3-1)(x-3)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\dfrac{x(x-3)}{(x-4)(x-3)}\leqslant 0\end{aligned}\] Решим полученное неравенство методом интервалов:

Таким образом, ответ \[x\in [0;3)\cup(3;4)\]

Ответ:

\([0;3)\cup(3;4)\)

Задание 16

Дан тупоугольный треугольник \(ABC\) с тупым \(\angle ABC\). Продолжения высот этого треугольника пересекаются в точке \(H\). \(\angle AHC=60^\circ\).

 

а) Докажите, что \(\angle ABC=120^\circ\).

б) Найдите \(BH\), если \(AB=6\), \(BC=10\).

а) Заметим, что в тупоугольном треугольника в одной точке пересекаются продолжения высот. Рассмотрим чертеж:
Рассмотрим четырехугольник \(A_1BC_1H\). В нем \(\angle A_1=\angle C_1=90^\circ\). Следовательно, \(\angle A_1BC_1=180^\circ-\angle A_1HC_1=180^\circ-60^\circ=120^\circ\).
Так как \(\angle A_1BC_1\) и \(\angle ABC\) – вертикальные, то они равны, значит, \(\angle ABC=120^\circ\).

 

б) Рассмотрим прямоугольный \(\triangle CHA_1\). Так как \(\angle CHA_1=60^\circ\), то \(\angle HCA_1=30^\circ\).
Аналогично \(\angle HAC_1=30^\circ\).
Тогда из прямоугольного \(\triangle C_1CB\) катет \(C_1B\) равен половине гипотенузы \(CB\), так как лежит против угла в \(30^\circ\), значит, \(C_1B=5\).
Аналогично \(A_1B=0,5\cdot AB=3\).
Рассмотрим снова \(\triangle HCA_1\). Так как \[\dfrac{\sqrt3}3=\mathrm{tg}\,30^\circ=\dfrac{HA_1}{CA_1}\quad\rightarrow\quad HA_1=\dfrac{13}{\sqrt3}\] Тогда по теореме Пифагора из прямоугольного \(\triangle HA_1B\): \[BH=\sqrt{3^2+\left(\dfrac{13}{\sqrt3}\right)^2}=\dfrac{14}{\sqrt3}\]

Ответ:

б) \(\frac{14}{\sqrt3}\)

Задание 17

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года долг увеличивается на \(25\%\) по сравнению с предыдущим годом;
— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.
Найдите сумму, взятую в кредит, если известно, что кредит будет выплачен тремя равными платежами (то есть за три года) и переплата по кредиту составила \(65500\) рублей?

Из условия задачи следует, что кредит будет выплачиваться аннуитетными платежами. Следовательно, имеем следующее уравнение для аннуитетных платежей: \[1,25^3\cdot A-x(1,25^2+1,25+1)=0,\] где \(A\) – сумма, взятая в кредит, \(x\) – ежегодный платеж.
Так как переплата равна \(65500\) рублей, то получаем еще одно уравнение \[3x-A=65500\] Выразим из второго уравнения \(x\) и подставим в первое: \(x=\dfrac{65500+A}3\) (также будем использовать то, что \(1,25=\frac54\)): \[\begin{aligned} &\dfrac{125}{64}\cdot A-\dfrac{65500+A}3\cdot \left(\dfrac{25}{16}+\dfrac54+1\right)=0 \Big|\cdot (64\cdot 3)\quad \Leftrightarrow\\[2ex] &3\cdot 125A-(65500+A)\cdot 61\cdot 4=0\quad\Leftrightarrow\\[2ex] &A=\dfrac{65500\cdot 4\cdot 61}{3\cdot 125-4\cdot 61}=\dfrac{65500\cdot 4\cdot 61}{131}=500\cdot 4\cdot 61=122000\end{aligned}\]

Ответ: 122000

Задание 18

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система \[\begin{cases} ((x+5)^2+y^2-a^2)\cdot \ln(9-x^2-y^2)=0\\ ((x+5)^2+y^2-a^2)(x+y-a+5)=0\end{cases}\]имеет ровно два различных решения.

ОДЗ всей системы: \(9-x^2-y^2>0\), откуда \(x^2+y^2<9\) – это круг с центром в точке \((0;0)\) и радиусом \(3\), не содержащий границу:

Пусть \((x_0;y_0)\) – решение данной системы. Тогда оно является либо решением уравнения \((x+5)^2+y^2-a^2=0\), либо должно быть решением и уравнения \(\ln(9-x^2-y^2)=0\), и уравнения \(x+y-a+5=0\). То есть на ОДЗ данную систему можно переписать в виде: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &(x+5)^2+y^2-a^2=0\\ &\begin{cases} \ln(9-x^2-y^2)=0\\ x+y-a+5=0\end{cases}\end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &(x+5)^2+y^2=a^2 \qquad \qquad (I)\\ &\begin{cases} x^2+y^2=8\\ y=-x+a-5\end{cases}\quad \qquad (II)\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Уравнение \(I\) задает окружность с центром в точке \((-5;0)\) и радиусом \(R=\sqrt{a^2}=|a|\) (назовем ее окружность 1), если \(a\ne 0\), и точку \((-5;0)\), если \(a=0\).
Первое уравнение системы \(II\) задает окружность с центром в точке \((0;0)\) и радиусом \(R=\sqrt8=2\sqrt2\) (назовем ее окружность 2). Второе уравнение системы \(II\) при каждом фиксированном \(a\) задает прямую, параллельную прямой \(y=-x\).
Таким образом, решением всей совокупности будут все точки окружности 1 и точки пересечения окружности 2 с прямой \(y=-x+a-5\) (если таковые имеются).
Помимо этого, чтобы данные решения являлись решением исходной системы, они должны удовлетворять ОДЗ.

 

Рассмотрим отдельно случай, когда \(a=0\). Тогда решением уравнения \(I\) является \(x=-5, y=0\), причем это решение не принадлежит ОДЗ.
Система \(II\) принимает вид \[\begin{cases} x^2+y^2=8\\y=-x-5 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} 2x^2+10x+17=0 \\ y=-x-5\end{cases}\] и не имеет решений, так как дискриминант первого уравнения меньше нуля.
Следовательно, при \(a=0\) исходная система не имеет решений, значит, \(a=0\) нам не подходит.

 

Пусть \(a\ne 0\).
На рисунке изображены графики уравнения \(I\) (розовым цветом) и двух уравнений системы \(II\) (зеленым цветом) при \(a=2\) (для примера), а также ОДЗ (тем же голубым цветом).

Из данного рисунка видно, что окружность 2 (задаваемая уравнением \(x^2+y^2=8\)) всегда принадлежит ОДЗ. Следовательно, если прямая \(y=-x+a-5\) пересекает окружность 2, то данные точки точно будут принадлежать ОДЗ, значит, являться решением исходной системы.
Заметим также, что так как ОДЗ – это (синий) круг без границы, а окружность 1 имеет “меняющийся” радиус, то либо окружность 1 будет в пересечении с ОДЗ не иметь решений, либо будет иметь бесконечное множество решений.

 

Таким образом, чтобы исходная система имела 2 решения, нужно:
— окружность 1 не имеет общих точек с ОДЗ (значит, либо не пересекает окружность \(x^2+y^2=9\), либо касается ее);
— прямая \(y=-x+a-5\) имеет с окружностью 2 две общие точки.

 

Если окружность 1 касается окружности \(x^2+y^2=9\), то это выглядит так:

Случай 1. Расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов этих окружностей: \(|-5-0|=|a|+3\), откуда \(|a|=2\).
Случай 2. Расстояние между центрами окружностей равно разности радиусов \(|a|\) и \(3\): \(|-5-0|=|a|-3\), откуда \(|a|=8\).
Чтобы окружность 1 не имела общих точек с окружностью \(x^2+y^2=9\), нужно, чтобы \(|a|<2\) или \(|a|>8\) (помним, что мы рассматриваем случай, когда \(a\ne 0\)).
Таким образом, получаем, что \(a\in (-\infty;-8]\cup[-2;0)\cup(0;2]\cup[8;+\infty)\).

 

Для того, чтобы понять, когда прямая \(y=-x+a-5\) имеет с окружностью 2 две общие точки, нужно понять, когда она касается окружности:

Рассмотрим случай верхнего касания (случай нижнего касания рассматривается аналогично). Рассмотрим \(\triangle ABC\). Он прямоугольный и равнобедренный, так как угловой коэффициент прямой \(y=-x+a-5\) равен \(-1\), следовательно, тангенс угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс равен \(-1\), следовательно, этот угол равен \(135^\circ\), откуда \(\angle ACB=45^\circ\). \(BK\) – радиус окружности, проведенный в точку касания.
\(BK\) также является медианой, следовательно, \(AC=2BK=2\cdot 2\sqrt2=4\sqrt2\). Следовательно, из \(AB\cdot \sqrt2=AC\) получаем \[(a-5)\cdot \sqrt2=4\sqrt2\quad\Leftrightarrow\quad a=9\] Рассматривая случай нижнего касания, получим \(a=1\). Таким образом, при всех \(a\in (1;9)\) прямая \(y=-x+a-5\) будет иметь с окружностью 2 ровно две точки пересечения.

 

Таким образом, нужно: \[\begin{cases}a\in (-\infty;-8]\cup[-2;0)\cup(0;2]\cup[8;+\infty)\\ a\in (1;9) \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad a\in (1;2]\cup [8;9)\]

Ответ:

\(a\in (1;2]\cup [8;9)\)

Задание 19

На доске написаны числа \(a_1, a_2, \dots, a_n\), каждое из которых не меньше \(50\) и не больше \(150\). Каждое из \(a_i\) (\(i=1, \dots n\)) уменьшили на \(r_i\%\) соответственно, причем либо \(r_i\) равно \(2\), либо \(r_i\) – такое число процентов, что в результате число \(a_i\) стало равно \(a_i-2\).

 

а) Может ли среднее арифметическое чисел \(r_1, \dots, r_n\) быть равным \(5\)?

б) Может ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел \(r_1, \dots, r_n\) больше \(2\), а сумма чисел \(a_1, \dots, a_n\) уменьшилась более чем на \(2n\)?

в) Пусть \(n=30\), то есть на доске написано 30 чисел, и их сумма уменьшилась на \(40\). Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел \(r_1, \dots, r_{30}\).

а) Рассмотрим те \(r_i\%\), при уменьшении на которые число \(a_i\) стало равно \(a_i-2\). Тогда можно составить следующее уравнение \[a_i-2=(1-0,01r_i)a_i\quad\Rightarrow\quad 2=0,01r_ia_i\quad\Rightarrow\quad r_i=\dfrac{200}{a_i}\] Так как любое \(a_i\geqslant 50\), то \(\dfrac1{a_i}\leqslant \dfrac1{50}\), следовательно, \[r_i\leqslant \dfrac{200}{50}=4\] Таким образом, любое \(r_i\leqslant 4\).
Заметим, что среднее арифметическое чисел всегда \(\leqslant\) наибольшего из этих чисел.
Действительно. Рассмотрим \(\frac{r_1+\dots+r_n}n\). Пусть числа \(r_1, \dots, r_n\) в числителе дроби упорядочены по возрастанию, то есть \(r_n\) – самое большое. Тогда \[\dfrac{r_1+\dots+r_n}n\leqslant \dfrac{r_n+\dots +r_n}n=\dfrac{n\cdot r_n}n=r_n\]

Таким образом, так как любое \(r_i\leqslant 4\), то и среднее арифметическое этих чисел должно быть \(\leqslant 4\), следовательно, не может быть равно \(5\).
Ответ: нет.

 

б) Попробуем привести пример для двух чисел. Пусть есть числа \(a\) и \(b\) и их проценты \(r_a\) и \(r_b\). Заметим, что хотя бы один процент должен быть больше \(2\) (иначе среднее арифметическое не будет больше \(2\)). Пусть \(r_a>2\), \(r_b=2\). Тогда \(a\) переходит в \(a-2\), \(b\) переходит в \(0,98b\).
Тогда сумма \(a+b\) уменьшится до \(a-2+0,98b\), то есть на \(2+0,02b\). Нужно, чтобы \(2+0,02b>2\cdot 2=4\), следовательно, \(b>100\). Пусть \(b=101\).
Пусть \(a=50\), тогда \(0,01r_a\cdot a=2\), откуда \(r_a=4\).
Таким образом, мы получаем, что \(a+b=50+101=151\), уменьшилась эта сумма на \(2+0,02\cdot 101=4,02\), что больше \(4\), среднее арифметическое процентов равно \((4+2):2=3\), что больше \(2\).
Ответ: да.

 

в) Пусть \(p\) чисел (\(a_1, \dots, a_p\)) уменьшилось на \(2\), тогда \(30-p\) чисел (\(a_{p+1}, \dots, a_{30}\)) уменьшилось на \(2\%\), то есть \(r_{p+1}=\dots=r_{30}=2\%\).
Если среднее арифметическое процентов \[k=\dfrac{r_1+\dots +r_{30}}{30},\] то \(r_1+\dots +r_{30}=30k\). Следовательно, если нам нужно найти наибольшее значение \(k\), то можно найти наибольшее значение \(r_1+\dots+r_{30}\).
Имеем: \[r_1+\dots +r_p+r_{p+1}+\dots+r_{30}= r_1+\dots +r_p+2\cdot (30-p)\] В пункте а) мы доказывали, что если число уменьшается на \(2\), то оно уменьшается на количество процентов, не превышающее \(4\). Следовательно, \(r_1, \dots, r_p\leqslant 4\). Возьмем максимальное значение этих процентов, то есть \(r_1=\dots=r_p=4\) (так как чем больше \(r_i\), тем больше и их сумма). Тогда \[r_1+\dots +r_p+r_{p+1}+\dots+r_{30}= 4\cdot p+2\cdot (30-p)=2p+60\] Таким образом, нужно найти максимум выражения \(2p+60\).

 

Теперь давайте используем то, что сумма всех чисел уменьшилась на \(40\): \[40=2\cdot p+0,02 (a_{p+1}+\dots+a_{30})\quad\Leftrightarrow\quad a_{p+1}+\dots+a_{30}=2000-100p\] Так как каждое \(50\leqslant a_i\leqslant 150\), то \[50(30-p)\leqslant 2000-100p\leqslant 150(30-p)\quad\Leftrightarrow\quad p\leqslant 10\] Таким образом, максимальное значение выражения \(2p+60\) достигается при \(p=10\) и равно \(80\). Тогда среднее арифметическое процентов равно \(80:30=\frac83\).

 

Приведем пример, когда это возможно. Мы имеем 10 чисел, которые уменьшили на \(2\), причем мы взяли \(r_1=\dots=r_{10}=4\%\). Остальные 20 чисел уменьшились на \(r_{11}=\dots=r_{30}=2\%\). Подставляя в \(a_{11}+\dots+a_{30}=2000-100p\) вместо \(p=10\), получим \(a_{11}+\dots+a_{30}=1000=20\cdot50\). Следовательно, все \(a_{11}=\dots =a_{30}=50\). Так как нам неважно, чему будут равны \(a_1, \dots, a_{10}\), то их тоже возьмем равными \(50\).
Пример: все 30 чисел равны \(50\), 10 из них уменьшили на \(4\%\), а 20 – уменьшили на \(2\%\), среднее арифметическое процентов равно \[\frac{10\cdot 4+20\cdot 2}{30}=\frac83\]

Ответ:

а) нет

б) да

в) \(\frac83\)