а) Рассмотрим те \(r_i\%\), при уменьшении на которые число \(a_i\) стало равно \(a_i-2\). Тогда можно составить следующее уравнение \[a_i-2=(1-0,01r_i)a_i\quad\Rightarrow\quad 2=0,01r_ia_i\quad\Rightarrow\quad
r_i=\dfrac{200}{a_i}\] Так как любое \(a_i\geqslant 50\), то \(\dfrac1{a_i}\leqslant \dfrac1{50}\), следовательно, \[r_i\leqslant \dfrac{200}{50}=4\] Таким образом, любое \(r_i\leqslant 4\).
Заметим, что среднее арифметическое чисел всегда \(\leqslant\) наибольшего из этих чисел.
Действительно. Рассмотрим \(\frac{r_1+\dots+r_n}n\). Пусть числа \(r_1, \dots, r_n\) в числителе дроби упорядочены по возрастанию, то есть \(r_n\) – самое большое. Тогда \[\dfrac{r_1+\dots+r_n}n\leqslant \dfrac{r_n+\dots +r_n}n=\dfrac{n\cdot r_n}n=r_n\]
Таким образом, так как любое \(r_i\leqslant 4\), то и среднее арифметическое этих чисел должно быть \(\leqslant 4\), следовательно, не может быть равно \(5\).
Ответ: нет.
б) Попробуем привести пример для двух чисел. Пусть есть числа \(a\) и \(b\) и их проценты \(r_a\) и \(r_b\). Заметим, что хотя бы один процент должен быть больше \(2\) (иначе среднее арифметическое не будет больше \(2\)). Пусть \(r_a>2\), \(r_b=2\). Тогда \(a\) переходит в \(a-2\), \(b\) переходит в \(0,98b\).
Тогда сумма \(a+b\) уменьшится до \(a-2+0,98b\), то есть на \(2+0,02b\). Нужно, чтобы \(2+0,02b>2\cdot 2=4\), следовательно, \(b>100\). Пусть \(b=101\).
Пусть \(a=50\), тогда \(0,01r_a\cdot a=2\), откуда \(r_a=4\).
Таким образом, мы получаем, что \(a+b=50+101=151\), уменьшилась эта сумма на \(2+0,02\cdot 101=4,02\), что больше \(4\), среднее арифметическое процентов равно \((4+2):2=3\), что больше \(2\).
Ответ: да.
в) Пусть \(p\) чисел (\(a_1, \dots, a_p\)) уменьшилось на \(2\), тогда \(30-p\) чисел (\(a_{p+1}, \dots, a_{30}\)) уменьшилось на \(2\%\), то есть \(r_{p+1}=\dots=r_{30}=2\%\).
Если среднее арифметическое процентов \[k=\dfrac{r_1+\dots +r_{30}}{30},\] то \(r_1+\dots +r_{30}=30k\). Следовательно, если нам нужно найти наибольшее значение \(k\), то можно найти наибольшее значение \(r_1+\dots+r_{30}\).
Имеем: \[r_1+\dots +r_p+r_{p+1}+\dots+r_{30}=
r_1+\dots +r_p+2\cdot (30-p)\] В пункте а) мы доказывали, что если число уменьшается на \(2\), то оно уменьшается на количество процентов, не превышающее \(4\). Следовательно, \(r_1, \dots,
r_p\leqslant 4\). Возьмем максимальное значение этих процентов, то есть \(r_1=\dots=r_p=4\) (так как чем больше \(r_i\), тем больше и их сумма). Тогда \[r_1+\dots +r_p+r_{p+1}+\dots+r_{30}=
4\cdot p+2\cdot (30-p)=2p+60\] Таким образом, нужно найти максимум выражения \(2p+60\).
Теперь давайте используем то, что сумма всех чисел уменьшилась на \(40\): \[40=2\cdot p+0,02 (a_{p+1}+\dots+a_{30})\quad\Leftrightarrow\quad
a_{p+1}+\dots+a_{30}=2000-100p\] Так как каждое \(50\leqslant
a_i\leqslant 150\), то \[50(30-p)\leqslant 2000-100p\leqslant 150(30-p)\quad\Leftrightarrow\quad
p\leqslant 10\] Таким образом, максимальное значение выражения \(2p+60\) достигается при \(p=10\) и равно \(80\). Тогда среднее арифметическое процентов равно \(80:30=\frac83\).
Приведем пример, когда это возможно. Мы имеем 10 чисел, которые уменьшили на \(2\), причем мы взяли \(r_1=\dots=r_{10}=4\%\). Остальные 20 чисел уменьшились на \(r_{11}=\dots=r_{30}=2\%\). Подставляя в \(a_{11}+\dots+a_{30}=2000-100p\) вместо \(p=10\), получим \(a_{11}+\dots+a_{30}=1000=20\cdot50\). Следовательно, все \(a_{11}=\dots =a_{30}=50\). Так как нам неважно, чему будут равны \(a_1, \dots, a_{10}\), то их тоже возьмем равными \(50\).
Пример: все 30 чисел равны \(50\), 10 из них уменьшили на \(4\%\), а 20 – уменьшили на \(2\%\), среднее арифметическое процентов равно \[\frac{10\cdot 4+20\cdot 2}{30}=\frac83\]
Ответ:
а) нет
б) да
в) \(\frac83\)