Математика
Русский язык

Реальные варианты ЕГЭ 2017

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты «Школково». Основная волна. 2 июня 2017. Первая и вторая часть. Вариант 3

Задание 1

Налог на доходы составляет \(13\%\) от заработной платы. После удержания налога на доходы Иван Васильевич получил \(26\,100\) рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Ивана Васильевича?

Так как налог составляет \(13\%\) от заработной платы, а заработная плата есть \(100\%\), следовательно, после удержания налога Иван Васильевич получил \(100\%-13\%=87\%\) от заработной платы. Таким образом, \(26\,100\) рублей составляет \(87\%\). Следовательно, \(100\%\) – это: \[\dfrac{26\,100}{87}\cdot 100=30\,000\quad {\small{\text{рублей}}}\]

Ответ:

30000

Задание 2

На графике показана зависимость температуры воды, выраженная в градусах Цельсия, от времени, отсчитываемого с начала ее нагревания. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат – температура. Определите по графику, во сколько раз изменилась температура воды с \(4\) минут до \(7\) минут.

По графику видно, что спустя \(4\) минуты после начала нагрева температура воды была равна \(50^\circ C\), спустя \(7\) минут температура была равна \(100^\circ C\), следовательно, температура воды изменилась в \(100:50=2\) раза.

Ответ:

2

Задание 3

Площадь параллелограмма \(ABCD\) равна \(24\). Точка \(M\) – середина стороны \(BC\). Найдите площадь трапеции \(AMCD\).

Проведем \(AC\).



Тогда \(S_{ABC}=S_{ADC}=0,5S_{ABCD}=12\). Заметим, что так как медиана \(AM\) треугольника \(ABC\) делит его на два треугольника, равных по площади, то \(S_{ABM}=S_{ACM}=0,5S_{ABC}=6\). Следовательно, \(S_{AMCD}=24-6=18\).

Ответ:

18

Задание 4

В группе туристов \(6\) человек. С помощью жребия они выбирают трех человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист К., входящий в состав группы, пойдет в магазин?

Пусть группа туристов разбилась на две: первая, идущая в магазин, и вторая, НЕ идущая в магазин. Тогда в обеих группах будет одинаковое количество человек: по \(3\). Следовательно, вероятность попасть в одну из этих групп у К. одинаковая (и равна \(\frac36\)). Следовательно, вероятность попасть в первую группу равна \(\frac36=\frac12=0,5.\)

Ответ:

0,5

Задание 5

Найдите корень уравнения \[\left(\dfrac19\right)^{x-13}=3\]

ОДЗ уравнения: \(x\) – любое.

 

Так как \(\frac19=3^{-2}\), то уравнение можно переписать в виде: \[3^{-2(x-13)}=3^1\quad\Leftrightarrow\quad -2x+26=1\quad\Leftrightarrow\quad x=12,5\]

Ответ:

12,5

Задание 6

В треугольнике \(ABC\) \(\angle C=90^\circ\), \(\angle B=20^\circ\). Найдите угол между биссектрисой и высотой треугольника, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим картинку:



Пусть \(CH\) – высота, \(CL\) – биссектриса. Тогда \(\angle ABC=\angle ACH=20^\circ\) (так как оба угла равны \(90^\circ-\angle A\)).
Так как \(\angle ACL=\frac12\angle C=45^\circ\), то \[\angle HCL=45^\circ-20^\circ=25^\circ\]

Ответ:

25

Задание 7

На рисунке изображен график функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-2,4; 8,7)\). Найдите сумму точек экстремума этой функции на отрезке \([1;6]\).

Так как на рисунке изображен график функции, то точки экстремума – это точки на графике, в которых функция меняется с возрастания на убывание или наоборот. Эти точки: \(x=-1; \ 0; \ 2; \ 4; \ 5; \ 8.\) Из них на отрезке \([1;6]\) лежат только точки \(2; \ 4; \ 5\), следовательно, их сумма равна \(2+4+5=11.\)

Ответ:

11

Задание 8

Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен \(25\).

Так как конус вписан в цилиндр, то пусть они имеют высоту, равную, допустим, \(h\); также они имеют общее основание, пусть его площадь равна \(S\). Тогда объем конуса равен \(V_{\text{к}}=\frac13\cdot S\cdot h\), а объем цилиндра равен \(V_{\text{ц}}=S\cdot h\). Отсюда мы видим, что объем цилиндра в \(3\) раза больше объема конуса, то есть равен \(75\).

Ответ:

75

Задание 9

Найдите значение выражения \[\dfrac{5\sin 104^\circ}{\cos 52^\circ\cdot \cos38^\circ}\]

По формуле синуса двойного угла \(\sin 104^\circ=2\sin 52^\circ\cdot \cos52^\circ\). Тогда выражение примет вид: \[\dfrac{10\sin 52^\circ\cdot \cos52^\circ}{\cos 52^\circ\cdot \cos38^\circ}=10\cdot\dfrac{\sin 52^\circ}{\cos 38^\circ}\] Заметим, что по формуле приведения \(\sin x=\cos (90^\circ-x)\), следовательно, \(\sin 52^\circ=\cos (90^\circ-52^\circ)=\cos 38^\circ\). Таким образом, значение выражения равно \[10\cdot 1=10\]

Ответ:

10

Задание 10

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой \(494\) МГц. Скорость спуска батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле \[v=c\cdot \dfrac{f-f_0}{f+f_0},\] где \(c=1500\) м/с – скорость звука в воде, \(f_0\) – частота испускаемых импульсов (в МГц), \(f\) – частота отраженного от дна сигнала, регистрируемая приемником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала \(f\), если скорость погружения батискафа не должна превышать \(18\) м/с. Ответ дайте в МГц.

Учитывая данные задачи, условие задачи можно записать в виде неравенства: \[1500\cdot \dfrac{f-494}{f+494}\leqslant 18 \quad\Rightarrow\quad 1500(f-494)\leqslant 18(f+494)\] (имеем право домножить обе части неравенства на \(f+494\), так как \(f\geqslant 0\), следовательно, \(f+494>0\))
Данное неравенство равносильно \[f\leqslant \dfrac{18\cdot 494+1500\cdot 494}{1500-18}\quad\Leftrightarrow\quad f\leqslant \dfrac{1518\cdot 494}{1482}\quad\Leftrightarrow\quad f\leqslant \dfrac{1518}3=506\] Таким образом, наибольшее значение \(f\) равно \(506\).

Ответ:

506

Задание 11

Теплоход в 10:00 вышел из пункта А в пункт Б, расположенный в \(35\) км от А. Пробыв в пункте Б 4 часа, теплоход отправился назад и вернулся в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость теплохода, если известно, что скорость течения реки равна \(3\) км/ч.

Из условия следует, что в пути теплоход находился \(8\) часов, из которых \(4\) часа от стоял в пункте Б. Пусть \(x\) – собственная скорость теплохода в км/ч. Тогда на путь туда и обратно вместе со стоянкой теплоход затратил в часах \[\dfrac{35}{x-3}+\dfrac{35}{x+3}+4\] Следовательно, получаем уравнение \[\dfrac{35}{x-3}+\dfrac{35}{x+3}+4=8\quad\Rightarrow\quad \dfrac{2\cdot 35x}{x^2-9}=4 \quad\Rightarrow\quad 2x^2-35x-18=0\] Дискриминант уравнения равен \(D=35^2+4\cdot 2\cdot 18=1369\). Так как \(1369\) чуть больше \(35^2\), то подбором определяем, что \(1369=37^2\). Следовательно, так как \(x>0\): \[x=\dfrac{35+37}{2\cdot 2}=18\]

Ответ:

18

Задание 12

Найдите точку максимума функции \[y=(x-4)^2\cdot e^{2-x}\]

Найдем производную данной функции: \[y'=\big((x-4)^2\big)'\cdot e^{2-x}+(x-4)^2\cdot \left(e^{2-x}\right)'= 2(x-4)\cdot e^{2-x}+(x-4)^2\cdot \left(-e^{2-x}\right)=(x-4)\cdot e^{2-x}\cdot \left(2-x+4\right)\] Нули производной: \(x-4=0\), \(e^{2-x}=0\) или \(6-x=0\). Корнями первого и третьего уравнений будут \(x=4\) и \(x=6\), второе уравнение решений не имеет (заметим, что при всех \(x\) выражение \(e^{2-x}>0\)).
Определим знаки производной на полученных промежутках, а затем схематичное поведение графика функции \(y\):



Следовательно, \(x=6\) – точка максимума.

Ответ:

6

Задание 13

а) Решите уравнение \[27 \cdot 81^{\sin x}-12\cdot 9^{\sin x}+1=0\]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi; \dfrac{7\pi}2\right].\)

а) ОДЗ уравнения: \(x\in \mathbb{R}\).
Сделаем замену \(9^{\sin x}=t\), тогда \(t>0\). Уравнение примет вид: \[27t^2-12t+1=0\] По теореме Виета корнями будут \(t=\frac19\) и \(t=\frac13\) (оба подходят по ОДЗ). Сделаем обратную замену:   1) \(9^{\sin x}=\dfrac19\quad\Rightarrow\quad \sin x=-1\). Следовательно, \(x=-\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).   2) \(9^{\sin x}=\dfrac13\quad\Rightarrow\quad \sin x=-\dfrac12\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}6+2\pi k \ \) и \( \ x=-\dfrac{5\pi}6+2\pi m\), \(k,m\in\mathbb{Z}\).  

б) Отберем корни.
\[\begin{aligned} &2\pi \leqslant -\dfrac{\pi}2+2\pi n\leqslant \dfrac{7\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac54\leqslant n\leqslant 2\quad\Rightarrow\quad n=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{7\pi}2\\[3ex] &2\pi \leqslant -\dfrac{\pi}6+2\pi k\leqslant \dfrac{7\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{13}{12}\leqslant k\leqslant \dfrac{11}6\quad\Rightarrow\quad k\in\varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in \varnothing\\[3ex] &2\pi \leqslant -\dfrac{5\pi}6+2\pi m\leqslant \dfrac{7\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{17}{12}\leqslant m\leqslant\dfrac{13}6\quad\Rightarrow\quad m=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{19\pi}6 \end{aligned}\]

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}2+2\pi n; \ -\dfrac{\pi}6+2\pi k; \ -\dfrac{5\pi}6+2\pi m; \ k,n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{7\pi}2; \dfrac{19\pi}6\)

Задание 14

На ребрах \(AB\) и \(BC\) треугольной пирамиды \(ABCD\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причем \(AM:MB=CN:NB=4:1\). Точки \(P\) и \(Q\) – середины ребер \(DA\) и \(DC\) соответственно.

а) Докажите, что точки \(P, Q, M\) и \(N\) лежат в одной плоскости.

б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды \(ABCD\).

а) Рассмотрим чертеж:



Докажем, что \(MN\parallel PQ\) (отсюда будет следовать, что прямые \(PQ\) и \(MN\) лежат в одной плоскости).
Так как \(AM:MB=CN:NB=4:1\) по условию, то по теореме, обратной теореме Фалеса, \(MN\parallel AC\).
Так как \(P, Q\) – середины \(DA\) и \(DC\), то \(PQ\) – средняя линия, следовательно, \(PQ\parallel AC\). Следовательно, \(PQ\parallel AC\parallel MN\), чтд.

 

б) Отметим \(R\) – середину \(DB\). Рассмотрим пирамиду \(DPRQ\). Заметим, что так как \(DP:DA=1:2\), а также так как \((PRQ)\parallel (ABC)\) (две пересекающиеся прямые \(PR\) и \(RQ\) одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым \(AB\) и \(BC\) другой плоскости, то такие плоскости параллельны), то высота \(DH'\) пирамиды \(DPRQ\) относится к высоте \(DH\) пирамиды \(DABC\) как \(1:2\) (пусть \(DH'=H'H=h\)).
Заметим также, что \(\triangle ABC\sim \triangle PRQ\) с коэффициентом \(2\) (так как \(PR\), \(RQ\), \(QP\) в два раза меньше \(AB\), \(BC\), \(AC\) соответственно как средние линии в \(\triangle ADB\), \(\triangle BDC\), \(\triangle CDA\)). Следовательно, \(S_{ABC}=4S_{PRQ}\). Таким образом, \[\dfrac{V_{DABC}}{V_{DPRQ}}=\dfrac{\frac13\cdot 2h\cdot 4S_{PRQ}} {\frac13\cdot h\cdot S_{PRQ}}=8\] Таким образом, \[V_{DPRQ}=\frac18V_{DABC}\]


Заметим, что \(MBNPRQ\) – усеченная пирамида, основания которой – подобные треугольники \(MBN\) и \(PRQ\) (\(\triangle MBN\sim \triangle ABC\), а \(\triangle ABC\sim \triangle PRQ\), следовательно, \(\triangle MBN\sim \triangle PRQ\)). Так как \(BM:BA=1:5\) и \(PR:BA=1:2\), то \(BM:PR=2:5\).
Следовательно, \(S_{MBN}:S_{PRQ}=(2:5)^2=4:25\). Заметим, что высота усеченной пирамиды \(MBNPRQ\) равна \(H'H=h\).   Продлим \(PM\), \(DB\), \(QN\) до пересечения в точке \(O\).
Аналогично как с пирамидами \(DPRQ\) и \(DABC\), высота пирамиды \(OMBN\) относится к высоте пирамиды \(OPRQ\) как \(OB:OR\). Найдем отношение \(OB:OR\). Из подобия \(\triangle OMB\sim \triangle OPR\): \[\dfrac{OB}{OR}=\dfrac{MB}{PQ}=\dfrac25\] Значит, пусть высота \(OMBN\) равна \(2x\), тогда высота \(OPRQ\) равна \(5x\) (отсюда следует, что \(3x\) – высота усеченной пирамиды \(MBNPRQ\), то есть \(3x=h\)).
Следовательно, \[\dfrac{V_{OMBN}}{V_{OPRQ}}=\dfrac{\frac13\cdot 2x\cdot S_{MBN}}{\frac13 \cdot 5x\cdot S_{PRQ}} =\dfrac{8}{125}\] Следовательно, \[V_{MBNPRQ}=\dfrac{117}{125}V_{OPRQ}\] Также \[\dfrac{V_{OPRQ}}{V_{DABC}}=\dfrac{\frac13\cdot 5x\cdot S_{PRQ}} {\frac13\cdot 6x\cdot S_{ABC}}=\dfrac5{24}\] Следовательно, \[V_{MBNPRQ}=\dfrac{117}{125}\cdot \dfrac5{24}V_{DABC}\] Следовательно, объем всего многогранника \(MBNQDP\), отсекаемого от пирамиды синей плоскостью, равен \[V_{MBNPRQ}+V_{DPRQ}= \left(\dfrac{117}{125}\cdot \dfrac5{24}+\dfrac18\right)\cdot V_{DABC}= \dfrac8{25}V_{DABC}\]

Ответ:

б) \(8:25\)

Задание 15

Решите неравенство \[\dfrac{\log_2(4x^2)+35}{\log^2_2x-36}\geqslant -1\]

ОДЗ логарифмов: \(x>0\). Сделаем замену \(\log_2x=t\). Тогда на ОДЗ \(\log_2(4x^2)=\log_24+\log_2x^2=2+2\log_2x=2+2t\). Тогда неравенство примет вид: \[\dfrac{2+2t+35}{t^2-36}\geqslant -1\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t^2+2t+1}{(t-6)(t+6)}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t+1)^2}{(t-6)(t+6)}\geqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим ответ \[t\in (-\infty;-6)\cup\{-1\}\cup(6;+\infty)\] Перейдем к старой переменной:   \(\bullet\) \(\log_2x<-6\quad\Rightarrow\quad x<2^{-6}\)   \(\bullet\) \(\log_2x=-1\quad\Rightarrow\quad x=2^{-1}\)   \(\bullet\) \(\log_2x>6\quad\Rightarrow\quad x>2^6\)   Окончательный ответ, учитывая ОДЗ: \[x\in \left(0;\dfrac1{64}\right)\cup\left\{\dfrac12\right\}\cup\left(64;+\infty\right)\]

Ответ:

\(\left(0;\frac1{64}\right)\cup\{\frac12\}\cup(64;+\infty)\)

Задание 16

Две окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) пересекаются в точках \(A\) и \(B\), причем точки \(O_1\) и \(O_2\) лежат по разные стороны от прямой \(AB\). Продолжения диаметра \(CA\) первой окружности и хорды \(CB\) этой окружности пересекают вторую окружность в точках \(D\) и \(E\) соответственно.

а) Докажите, что треугольники \(BCD\) и \(O_1AO_2\) подобны.

б) Найдите \(AD\), если \(\angle DAE=\angle BAC\), радиус второй окружности втрое больше радиуса первой окружности и \(AB=3\).

а) Заметим, что \(\triangle O_1AO_2=\triangle O_1BO_2\) (по трем сторонам), следовательно, \(O_1O_2\) – биссектриса углов \(\angle BO_1A\) и \(BO_2A\). Следовательно, \(\angle BCA=\frac12\angle BO_1A=\angle O_2O_1A\).
Полностью аналогично доказывается, что \(\angle O_1O_2A=\angle BDA\). Следовательно, по двум углам \(\triangle BCD\sim \triangle O_1AO_2\).


 

б) Заметим, что точки \(A, O_2\) и \(E\) лежат на одной прямой. Действительно, пусть это не так:



Так как в предыдущем пункте мы доказали, что \(\angle O_2O_1A=\angle BCA\), то \(CE\parallel O_1O_2\). Следовательно, соответственные углы при пересечении параллельных прямых \(O_1F\) и \(BE\) секущей \(AE\) должны быть равны, то есть \(\angle AFO_1=\angle AEB\). Но тогда \(\angle AO_2O_1=\angle AFO_1\), откуда следует, что прямые \(AO_2\) и \(AF\) должны быть параллельны при секущей \(O_2F\). Но это невозможно, так как прямые имеют общую точку. Чтд.   Таким образом, мы доказали, что \(\angle DAE=\angle DAO_2\).



Проведем \(O_2K\perp AD\). Так как радиус (в данном случае часть радиуса \(O_2K\)), перпендикулярный хорде, делит ее пополам, то \(AK=\frac12AD\). Заметим, что \(\angle ABC=90^\circ\) как опирающийся на диаметр \(AC\). Пусть \(O_1A=x\), \(O_2A=3x\). Тогда \(\triangle ABC\sim \triangle AKO_2\) (как прямоугольные с одинаковым острым оранжевым углом): \[\dfrac{AO_2}{AC}=\dfrac{\frac12AD}{AB}\quad\Rightarrow \quad AD=\dfrac{3x\cdot 3}{2x\cdot \frac12}=9\]

Ответ:

б) 9

Задание 17

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(7\) млн. рублей на некоторых срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на \(20\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(17,5\) млн. рублей?

Так как выплачивается кредит дифференцированными платежами, то если \(n\) – количество лет, на которое взят кредит в \(7\) млн. рублей, значит, каждый год после платежа долг должен уменьшаться на \(\frac7n\) млн. рублей. Значит, в последний, \(n\)-ый год, долг будет равен \(\frac7n\) млн. рублей. Платеж, как и обычно в дифференцированных платежах, состоит из процентов, набежавших на сумму долга в этот год, плюс \(\frac7n\) млн. рублей.
Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг до начисления }\%&\text{Долг после начисления }\% &\text{Платеж}\\ \hline 1 & 7 & 7+0,2\cdot 7 & 0,2\cdot 7+\frac7n\\ \hline 2 & 7-\frac7n & 7-\frac7n+0,2\left(7-\frac7n\right) & 0,2\left(7-\frac7n\right)+\frac7n\\ \hline ...& ... & ... & ...\\ \hline n & \frac7n & \frac7n+0,2\cdot \frac7n & 0,2\cdot \frac7n+\frac7n\\ \hline \end{array}\] Тогда переплата по кредиту равна сумме первых слагаемых из столбца “Платеж”: \[0,2\cdot 7+0,2\cdot \left(7-\dfrac7n\right)+\dots +0,2\cdot \dfrac7n= 0,2\cdot \left(7+\left(7-\frac7n\right)+\dots+\dfrac7n\right)=\] Заметим, что в скобках находится сумма арифметической прогрессии, где первый член равен \(7\), разность равна \(-\frac7n\), последний член равен \(\frac7n\), а всего членов \(n\) штук. Следовательно, \[=0,2\cdot \dfrac{7+\frac7n}2\cdot n=0,7(n+1)\] Это мы вычислили переплату по кредиту. С другой стороны, если общая сумма выплат после погашения кредита составила \(17,5\) млн. рублей, а в кредит было взято \(7\) млн. рублей, то переплата равна \(10,5\) млн. рублей. Следовательно, \[0,7(n+1)=10,5\quad\Rightarrow\quad n=14\]

Ответ:

14

Задание 18

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[\ln (3x-1)\cdot \sqrt{x^2-8x+8a-a^2}=0\]

имеет ровно один корень на отрезке \([0;4]\).

Данное уравнение имеет следующие корни:
\(\bullet\) \(\ln (3x-1)=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac23\) при \(\left(\frac23\right)^2-8\cdot \frac23+8a-a^2\geqslant 0\)   \(\bullet\) \(x^2-8x+8a-a^2=0\quad\Rightarrow\quad (x-a)(x+a-8)=0\quad\Rightarrow\quad\) \(x=a\) при \(3a-1>0 \ \) или \( \ x=8-a\) при \(23-3a>0\).   Случай I. Рассмотрим первый случай, когда уравнение имеет один корень на \([0;4]\). Пусть все корни различны, то есть \(a\ne \frac23; \ 4; \ \frac{22}3\).   1) Пусть этот корень \(x=\frac23\). Тогда, во-первых, \[\dfrac49-\dfrac{16}3+8a-a^2\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad \dfrac23\leqslant a\leqslant \dfrac{22}3\] Учитывая, что корни не должны совпадать, получаем: \[a\in \left(\dfrac23; 4\right)\cup\left(4;\dfrac{22}3\right)\qquad (1)\] Во-вторых, корень \(x=a\) должен либо не удовлетворять ОДЗ \(3x-1>0\), либо не лежать на отрезке \([0;4]\): \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &3a-1\leqslant 0\\ &a\notin [0;4]\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad a\in \left(-\infty;\frac13\right]\cup(4;+\infty)\qquad (2)\] В-третьих, корень \(x=8-a\) также должен либо не удовлетворять ОДЗ \(3x-1>0\), либо не лежать на отрезке \([0;4]\): \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &3(8-a)-1\leqslant 0\\ &8-a\notin [0;4]\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad a\in \left(-\infty;4\right)\cup\left[\frac{23}3;+\infty\right)\qquad (3)\] Так как первое, второе и третье условие должны выполняться одновременно, то пересечем их решения и получим: \[a\in \varnothing\]   2) Пусть этот корень \(x=a\). Тогда, во-первых, \[\begin{cases} 3a-1>0\\ 0\leqslant a\leqslant 4\end{cases}\quad\Rightarrow\quad \dfrac13<a\leqslant 4\] Опять же, учитывая, что корни не должны совпадать, получаем \[a\in \left(\dfrac13;\dfrac23\right)\cup\left(\dfrac23;4\right)\] Во-вторых, заметим, что при этих \(a\) корень \(x=8-a\) всегда будет больше \(4\), то есть никогда не будет входить в отрезок \([0;4]\).
В-третьих, нужно, чтобы корень \(x=\frac23\) нам не подходил: \[\dfrac49-\dfrac{16}3+8a-a^2< 0\quad\Rightarrow\quad a\in \left(-\infty;\dfrac23\right)\cup\left(\dfrac{22}3;+\infty\right)\] Пересекая полученные значения для \(a\), получаем: \[a\in \left(\dfrac13;\dfrac23\right)\]   3) Пусть этот корень \(x=8-a\). Тогда, во-первых, \[\begin{cases} 3(8-a)-1>0\\ 0\leqslant 8-a\leqslant 4\end{cases}\quad\Rightarrow\quad 4\leqslant a<\dfrac{23}3\] Опять же, учитывая, что корни не должны совпадать, получаем \[a\in \left(4;\dfrac{22}3\right)\cup\left(\dfrac{22}3;\dfrac{23}3\right)\] Во-вторых, заметим, что при этих \(a\) корень \(x=a\) всегда будет больше \(4\), то есть никогда не будет входить в отрезок \([0;4]\).
В-третьих, нужно, чтобы корень \(x=\frac23\) нам не подходил: \[\dfrac49-\dfrac{16}3+8a-a^2< 0\quad\Rightarrow\quad a\in \left(-\infty;\dfrac23\right)\cup\left(\dfrac{22}3;+\infty\right)\] Пересекая полученные значения для \(a\), получаем: \[a\in \left(\dfrac{22}3;\dfrac{23}3\right)\]   Случай II. Рассмотрим случаи, когда какие-то два корня совпадают: когда \(a=\frac23\), или \(a=4\), или \(a=\frac{22}3\).
При \(a=\frac23\) первый и второй корень совпали, являются решением уравнения, а корень \(x=8-a\) не является. Следовательно, \(a=\frac23\) нам подходит.
При \(a=4\) совпадут второй и третий корни, они будут являться решением уравнения, а также корень \(x=\frac23\) будет являться решением. То есть уравнение будет иметь два корня, что нам не подходит.
При \(a=\frac{22}3\) совпадут первый и третий корни, решением уравнения они будут являться. Корень \(x=a\), очевидно, не будет лежать в отрезке \([0;4]\). Следовательно, уравнение будет иметь один корень, что нам подходит.
Итоговый ответ: \[a\in \left(\dfrac13;\dfrac23\right]\cup\left[\dfrac{22}3;\dfrac{23}3\right)\]

Ответ:

\(a\in \left(\frac13;\frac23\right]\cup\left[\frac{22}3;\frac{23}3\right)\)

Задание 19

На доске написано \(30\) различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается на \(4\) или \(8\). Известно, что сумма чисел, написанных на доске, равняется \(2786\).

 

а) Может ли на доске быть написано поровну чисел, оканчивающихся на \(4\), и чисел, оканчивающихся на \(8\)?

б) Могут ли ровно четыре числа на доске оканчиваться на \(8\)?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на \(8\), может быть на доске?

а) Если на доске написано поровну чисел, оканчивающихся на \(4\), и чисел, оканчивающихся на \(8\), то чисел каждого вида по 15 штук. Следовательно, если сложить все эти числа, то последняя цифра их суммы будет равна последней цифре числа \(15\cdot 4+15\cdot 8=180\), то есть последняя цифра должна быть равна \(0\), что противоречит условию.
Следовательно, ответ: нет.

 

б) Рассмотрим все подряд идущие 30 натуральных чисел, оканчивающихся на \(4\), начиная с самого маленького: \(4, \ 14, \ 24, \ 34, \ \dots, 284, \ 294\). Эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью \(10\). Следовательно, их сумма равна \[\dfrac{4+294}2\cdot 30=4470\] Заметим, что это намного больше, чем \(2786\). И заметим, что это наименьшая возможная сумма 30-ти различных чисел, оканчивающихся на \(4\). Как нам максимально уменьшить эту сумму, добавив 4 числа, оканчивающихся на \(8\) (а значит и убрав 4 числа, оканчивающихся на \(4\), ведь количество чисел должно быть всегда равно \(30\))? Нужно убрать самые большие числа, оканчивающиеся на \(4\), и добавить самые маленькие, оканчивающиеся на \(8\). То есть нужно убрать \(294, \ 284, \ 274, \ 264\) и добавить \(8, \ 18, \ 28, \ 38\). Но в этом случае сумма всех чисел будет равна \[\begin{aligned} &4470-294-284-274-264+8+18+28+38=\\ &4470-(294-8)-(284-18)-(274-28)-(264-38)=\\ & 4470-286-266-246-226=\\ &3446>2786\end{aligned}\] Следовательно, ответ: нет.

 

в) Назовем числа, оканчивающиеся на \(4\), “числа Ч”, а оканчивающиеся на \(8\) – “числа В”.
Из пункта б) следует, что для того, чтобы понять, какое наименьшее количество чисел В может быть на доске, нужно убирать самые большие числа Ч и добавлять самые маленькие числа В, чтобы для начала их сумма максимально приблизилась к числу \(2786\).
Уберем еще \(254\) и добавим \(48\). Тогда, аналогично алгоритму в пункте б), нужно уменьшить сумму на \(206\): \(3446-206=3240\). Уберем еще два числа Ч \(244\) и \(234\) и добавим \(58\) и \(68\), тогда сумма равна \(3240-186-166=2888\). Итак, это наименьшая возможная сумма, если среди написанных чисел будет 7 чисел В.
Заметим, что каждый раз, убирая любое число Ч и добавляя любое число В, мы уменьшаем сумму всех чисел на число \(\overline{\dots6}\). Если изначально (когда было 30 чисел Ч) последняя цифра их суммы была равна \(0\), то после 8-ми замен (убираем число Ч и добавляем число В) последняя цифра суммы будет как у числа \(\overline{\dots0}-8\cdot 6=\overline{\dots2}\). По условию сумма должна быть равна \(2786\), следовательно, 8 чисел В на доске быть не может.
А вот для 9-ти чисел В на доске последняя цифра суммы всех чисел будет равна \(6\)!

Докажем, что 9 – наименьшее количество чисел В, которое может быть написано на доске.
Сейчас мы имеем 7 чисел В: \(8, \ 18, \ 28, \ 38, \ 48, \ 58, \ 68\)
и 23 числа Ч: \(4, \ 14, \ 24, \ \dots, 214, \ 224\).
Их сумма равна \(2888\).
Нам нужно получить сумму \(2786\), то есть уменьшить имеющуюся у нас сумму на \(102\). Как говорилось ранее, “каждый раз, убирая любое число Ч и добавляя любое число В, мы уменьшаем сумму всех чисел на число \(\overline{\dots6}\)”. Представим \(102=46+56\).
Уберем первый раз число Ч и добавим число В так, чтобы сумма всех чисел уменьшилась на \(46\), а потом второй раз так, чтобы сумма уменьшилась на \(56\).
Пример: убираем \(124\) и добавляем \(78\); убираем \(144\) и добавляем \(88\).
Таким образом, мы построили пример, когда на доске написано 9 чисел В и доказали, что меньше 9-ти не может быть, чтд.

Ответ:

а) нет

б) нет

в) 9