а) Если на доске написано поровну чисел, оканчивающихся на \(4\), и чисел, оканчивающихся на \(8\), то чисел каждого вида по 15 штук. Следовательно, если сложить все эти числа, то последняя цифра их суммы будет равна последней цифре числа \(15\cdot 4+15\cdot 8=180\), то есть последняя цифра должна быть равна \(0\), что противоречит условию.
Следовательно, ответ: нет.
б) Рассмотрим все подряд идущие 30 натуральных чисел, оканчивающихся на \(4\), начиная с самого маленького: \(4, \ 14, \ 24, \ 34, \ \dots,
284, \ 294\). Эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью \(10\). Следовательно, их сумма равна \[\dfrac{4+294}2\cdot 30=4470\] Заметим, что это намного больше, чем \(2786\). И заметим, что это наименьшая возможная сумма 30-ти различных чисел, оканчивающихся на \(4\). Как нам максимально уменьшить эту сумму, добавив 4 числа, оканчивающихся на \(8\) (а значит и убрав 4 числа, оканчивающихся на \(4\), ведь количество чисел должно быть всегда равно \(30\))? Нужно убрать самые большие числа, оканчивающиеся на \(4\), и добавить самые маленькие, оканчивающиеся на \(8\). То есть нужно убрать \(294, \ 284,
\ 274, \ 264\) и добавить \(8, \ 18, \ 28, \ 38\). Но в этом случае сумма всех чисел будет равна \[\begin{aligned}
&4470-294-284-274-264+8+18+28+38=\\
&4470-(294-8)-(284-18)-(274-28)-(264-38)=\\
& 4470-286-266-246-226=\\
&3446>2786\end{aligned}\] Следовательно, ответ: нет.
в) Назовем числа, оканчивающиеся на \(4\), “числа Ч”, а оканчивающиеся на \(8\) – “числа В”.
Из пункта б) следует, что для того, чтобы понять, какое наименьшее количество чисел В может быть на доске, нужно убирать самые большие числа Ч и добавлять самые маленькие числа В, чтобы для начала их сумма максимально приблизилась к числу \(2786\).
Уберем еще \(254\) и добавим \(48\). Тогда, аналогично алгоритму в пункте б), нужно уменьшить сумму на \(206\): \(3446-206=3240\). Уберем еще два числа Ч \(244\) и \(234\) и добавим \(58\) и \(68\), тогда сумма равна \(3240-186-166=2888\). Итак, это наименьшая возможная сумма, если среди написанных чисел будет 7 чисел В.
Заметим, что каждый раз, убирая любое число Ч и добавляя любое число В, мы уменьшаем сумму всех чисел на число \(\overline{\dots6}\). Если изначально (когда было 30 чисел Ч) последняя цифра их суммы была равна \(0\), то после 8-ми замен (убираем число Ч и добавляем число В) последняя цифра суммы будет как у числа \(\overline{\dots0}-8\cdot 6=\overline{\dots2}\). По условию сумма должна быть равна \(2786\), следовательно, 8 чисел В на доске быть не может.
А вот для 9-ти чисел В на доске последняя цифра суммы всех чисел будет равна \(6\)!
Докажем, что 9 – наименьшее количество чисел В, которое может быть написано на доске.
Сейчас мы имеем 7 чисел В: \(8, \ 18, \ 28, \ 38, \ 48, \ 58, \ 68\)
и 23 числа Ч: \(4, \ 14, \ 24, \ \dots, 214, \ 224\).
Их сумма равна \(2888\).
Нам нужно получить сумму \(2786\), то есть уменьшить имеющуюся у нас сумму на \(102\). Как говорилось ранее, “каждый раз, убирая любое число Ч и добавляя любое число В, мы уменьшаем сумму всех чисел на число \(\overline{\dots6}\)”. Представим \(102=46+56\).
Уберем первый раз число Ч и добавим число В так, чтобы сумма всех чисел уменьшилась на \(46\), а потом второй раз так, чтобы сумма уменьшилась на \(56\).
Пример: убираем \(124\) и добавляем \(78\); убираем \(144\) и добавляем \(88\).
Таким образом, мы построили пример, когда на доске написано 9 чисел В и доказали, что меньше 9-ти не может быть, чтд.
Ответ:
а) нет
б) нет
в) 9