Условие данной задачи можно переформулировать следующим образом: при каких \(a\) существует хотя бы одна точка на графике функции \(y\), которая находится ниже прямой \(y=4\), или, что то же самое:
\[3\cdot|2x + a| + 2\cdot|x^2 - x - 2|<4 \quad \text{ имеет хотя бы одно решение.}\]
Сделаем замену \(-\frac12 a=b\). Тогда неравенство перепишется в виде:
\[6|x-b|+2|x^2-x-2|<4 \quad \Leftrightarrow \quad |x^2-x-2|<2-3|x-b|\]
Рассмотрим две функции: \(f(x)=|x^2-x-2|\) и \(g(x)=2-3|x-b|\). График функции \(g(x)\) при каждом фиксированном \(b\) представляет собой угол, ветви которого направлены вниз, а вершина находится в точке \((b;2)\).
Тогда смысл неравенства таков: необходимо найти те значения \(b\), при которых существует хотя бы одна точка \(X\) графика \(f(x)\), находящаяся ниже графика функции \(g(x)\).
Найдем те значения \(b\), когда не существует таких точек \(X\): то есть когда все точки графика \(f(x)\) находятся не ниже точек графика \(g(x)\). Тогда в ответ пойдут все значения \(b\), кроме найденных.

1) Рассмотрим значения \(b\), при которых вершина угла находится между точкой \(A_I\) и точкой \(A_{II}\) (включая эти точки). В этом случае все точки графика \(f(x)\) находятся не ниже точек графика \(g(x)\). Найдем эти значения \(b\):
точка \(A_I\) имеет координаты \((0;2)\), следовательно, \(b=0\); точка \(A_{II}\) имеет координаты \((1;2)\), следовательно, \(b=1\). Значит, при всех \(b\in [0;1]\) все точки графика \(f(x)\) не ниже точек графика \(g(x)\).
Заметим, что когда вершина угла находится между точками \(A_{II}\) и \(A_{III}\), то всегда есть хотя бы одна точка графика \(f(x)\), находящаяся ниже графика \(g(x)\).
2) Так происходит до тех пор, пока вершина не будет в точке \(A_{III}\) — когда левая ветвь \(g(x)\) касается правой ветви \(f(x)\) в точке \(x_0\); и в этом случае снова все точки графика \(f(x)\) находятся не ниже \(g(x)\). Найдем это значение \(b\).
Правая ветвь \(f(x)\) задается уравнением \(y=x^2-x-2, x\geqslant 2\); левая ветвь \(g(x)\) задается уравнением \(y_1=2+3(x-b), x\leqslant b\).
\((x^2-x-2)'=2x-1, \quad 2x_0-1=3 \Rightarrow x_0=2 \Rightarrow
y(2)=y_1(2) \Rightarrow b=\dfrac83\).
Значит, при всех \(b\geqslant \dfrac83\) все точки графика \(f(x)\) будут находиться не ниже точек графика \(g(x)\).
3) Аналогично рассматривается случай, когда вершина угла находится в точке \(A_{IV}\) или левее (правая ветвь \(g(x)\) касается левой ветви \(f(x)\)). В этом случае \(b\leqslant -\dfrac53\).
Таким образом, мы нашли значения \(b\), когда все точки графика \(f(x)\) будут находиться не ниже точек графика \(g(x)\). Значит, в ответ должны пойти все значения \(b\), кроме найденных, а это: \(b\in
\left(-\dfrac53; 0\right)\cup \left(1; \dfrac83\right)\).
Перейдем теперь к \(a\): т.к. \(b=-\frac12 a\), то \(a\in
\left(-\dfrac{16}3; -2\right)\cup\left(0;\dfrac{10}3\right)\).
Ответ:
\(a\in \left(-\dfrac{16}3; -2\right)\cup\left(0;\dfrac{10}3\right)\)