Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Четность и нечетность чисел

Задание 1 #1075
Уровень задания: Легче ЕГЭ

В ряд выписаны числа от \(1\) до \(22\). Можно ли между ними расставить знаки “\(+\)\(\ \)и “\(-\)\(\ \)так, чтобы в результате получился \(0\)?

Среди чисел \(1, 2, 3, ..., 22\) всего \(11\) четных и \(11\) нечетных, то есть нечетных чисел нечетное количество, поэтому как бы мы ни поставили знаки в результате всегда получится нечетное число. А так как \(0\) – четное число, то так расставить знаки нельзя.

Ответ:

Нет

Задание 2 #1076
Уровень задания: Легче ЕГЭ

В ряд выписаны числа от \(1\) до \(98\). Можно ли между ними расставить знаки “\(+\)\(\ \)и “\(-\)\(\ \)так, чтобы в результате получилось \(2\)?

Среди чисел \(1,2,3, ..., 98\) всего \(49\) четных и \(49\) нечетных, то есть нечетных чисел нечетное количество, поэтому как бы мы ни поставили знаки в результате всегда получится нечетное число. А так как \(2\) – четное число, то так расставить знаки нельзя.

Ответ:

Нет

Задание 3 #1077
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Можно ли разменять \(1000\) рублей купюрами по \(5, 25, 125\) рублей так, чтобы всего оказалось \(101\) купюра? (купюры в \(5, 25, 125\) рублей бывают)

Так как у нас купюры только нечетного номинала, и их должно быть нечетное количество, то мы сможем ими разменять только нечетную сумму рублей, поэтому не сможем разменять \(1000\) рублей.

Ответ:

Нет

Задание 4 #1078
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Можно ли разменять \(600\) рублей купюрами по \(7, 49, 73\) рубля так, чтобы всего оказалось \(17\) купюр? (купюры в \(7, 49, 73\) рубля бывают)

Так как у нас купюры только нечетного номинала, и их должно быть нечетное количество, то мы сможем ими разменять только нечетную сумму рублей, поэтому не сможем разменять \(600\) рублей.

Ответ:

Нет

Задание 5 #1079
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Сумму двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли в результате получиться число \(123456789\)?

Предположим, что такое может быть. Пусть \(a\) и \(b\) – целые числа из нашей задачи, тогда \((a+b)\cdot a\cdot b=123456789\). Так как число \(123456789\) – нечетное, то \(a\), \(b\) – нечетные, но тогда число \((a+b)\) – четное, но тогда число \((a+b)\cdot a\cdot b\) – четное, но \(123456789\) – нечетное, следовательно получили противоречие, а значит такого быть не могло.

Ответ:

Нет

Задание 6 #1080
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли в результате получиться число \(10011001\)?

Предположим, что такое может быть. Пусть \(a\) и \(b\) – целые числа из нашей задачи, тогда \((a-b)\cdot a\cdot b=10011001\). Так как число \(10011001\) – нечетное, то \(a\), \(b\) – нечетные, но тогда число \((a-b)\) – четное, но тогда число \((a-b)\cdot a\cdot b\) – четное, но \(10011001\) – нечетное, следовательно получили противоречие, а значит такого быть не могло.

Ответ:

Нет

Задание 7 #1081
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Можно ли представить \(1\) в виде суммы четырех дробей \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\), где \(a, b, c, d\) – нечетные натуральные числа?

Предположим, что можно. Тогда \[\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}=1,\] приведем в левой части все к общему знаменателю:
\[\dfrac{bcd+acd+abd+bcd}{abcd}=1\qquad\Rightarrow\qquad bcd+acd+abd+bcd=abcd.\] Но так как \(a, b, c, d\) – нечетные натуральные числа, то получаем, что четное число равно нечетному – противоречие, значит так представить \(1\) нельзя.

Ответ:

Нет

Задачи на четность — обязательная часть ЕГЭ по математике. В аттестационном испытании они традиционно встречаются из года в год. Знать алгоритм решения и оперативно находить правильный ответ в задачах ЕГЭ на четность должны учащиеся с любым уровнем подготовки.

Если подобные задания вызывают у вас сложности, обратитесь к образовательному порталу «Школково». Мы поможем восполнить пробелы в знаниях.

В соответствующем разделе представлены задачи на четность и нечетность, схожие с теми, которые встречаются в ЕГЭ. Усвоив алгоритм их решения и попрактиковавшись, выпускник сможет рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи экзамена.

Необходимо запомнить!

Приступая к решению подобных задач, стоит освежить в памяти основные свойства четных и нечетных чисел. Их несколько:

  1. Если как минимум один множитель произведения двух или нескольких чисел является четным, то четным будет и все произведение.
  2. Если каждый множитель произведения двух или более чисел является нечетным, то и все произведение будет нечетным.
  3. Сумма четных чисел является четным числом.
  4. Сумма четного и нечетного чисел — всегда число нечетное.

Как подготовиться к экзамену?

Для того чтобы задачи на четность не вызывали у вас затруднений, рекомендуем изучить информацию, собранную специалистами образовательного портала «Школково». Здесь представлен весь необходимый теоретический материал для подготовки к сдаче аттестационного испытания.

Кроме того, в соответствующем разделе собраны упражнения для отработки полученных знаний. Для каждого задания специалисты «Школково» создали алгоритм решения и привели правильный ответ. Выпускники имеют возможность практиковаться в выполнении задач на четность и нечетность чисел и функции в режиме онлайн.