Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Окружность: важные теоремы, связанные с углами

\(\blacktriangleright\) Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной;


 

\(\blacktriangleright\) Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними; \[\alpha = \dfrac{1}{2}\buildrel\smile\over{AB}\]


 

\(\blacktriangleright\) Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними; \[\alpha = \dfrac{1}{2}\left(\buildrel\smile\over{AB}-\buildrel\smile\over{CD}\right)\]


 

\(\blacktriangleright\) Угол между двумя хордами равен полусумме дуг, заключенных между ними; \[\alpha = \dfrac{1}{2}\left(\buildrel\smile\over{AB}+\buildrel\smile\over{CD}\right)\]


 

\(\blacktriangleright\) Прямая, проходящая через точку вне окружности и центр окружности, является биссектрисой угла, образованного касательными, проведенными из этой точки к окружности;


 

\(\blacktriangleright\) Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен;


 

\(\blacktriangleright\) Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\);


 

\(\blacktriangleright\) Дуги (меньшие полуокружности),отсекаемые равными хордами, равны между собой.

Задание 1 #638
Уровень задания: Легче ЕГЭ

\(AC\) – диаметр окружности с центром в точке \(O\). Найдите \(\angle ABC\), если \(B\) лежит на окружности. Ответ дайте в градусах

Добавить задание в избранное




 

\(\angle ABC\) – вписанный. Вписанный угол в два раза меньше градусной меры дуги, на которую он опирается.
Градусная мера дуги есть градусная мера центрального угла, который на неё опирается, тогда градусная мера дуги \(AC\) равна \(180^{\circ}\) и \(\angle ABC = 90^{\circ}\).

Ответ: 90

Задание 2 #639
Уровень задания: Легче ЕГЭ

\(AB\) – диаметр окружности с центром в точке \(O\), \(CD\) – хорда, пересекающая \(AB\) в точке \(E\), причём \(CE = ED\). Найдите \(\angle CEB\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Хорда, делящаяся диаметром пополам, перпендикулярна ему. Покажем это:
Построим радиусы \(OC\) и \(OD\).



Треугольники \(COE\) и \(DOE\) равны по трём сторонам, тогда \(\angle CEO = \angle DEO\), но \(\angle CEO + \angle DEO = 180^{\circ}\), откуда \(\angle CEO = 90^{\circ}\). \[\angle CEB = 180^{\circ} - \angle CEO = 90^{\circ}.\]

Ответ: 90

Задание 3 #640
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Хорды \(AB\) и \(CD\) равны. Найдите разность градусных мер дуг \(AB\) и \(CD\), которые меньше полуокружности. Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Равные хорды стягивают равные дуги. Покажем это:
Построим радиусы \(OA\), \(OB\), \(OC\), \(OD\)



Треугольники \(AOB\) и \(COD\) равны по трём сторонам, тогда \(\angle AOB = \angle COD\) и, значит, дуга \(AB\) (которая меньше полуокружности) равна дуге \(CD\) (которая меньше полуокружности). Тогда разность градусных мер этих дуг равна \(0^{\circ}\).

Ответ: 0

Задание 4 #2164
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите угол между двумя секущими, проведенными к окружности из точки \(O\) вне окружности, если дуги, заключенные между этими секущими, равны \(103^\circ\) и \(47^\circ\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

Т.к. угол, образованный двумя такими секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

\[\angle O=\dfrac12\left(103^\circ-47^\circ\right)=28^\circ.\]

Ответ: 28

Задание 5 #635
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) угла \(AOB\) лежат на окружности. Дуга \(AB\), заключённая внутри этого угла, равна \(65^{\circ}\), а дуга \(CD\), заключённая внутри этого угла, равна \(22^{\circ}\). Найдите величину угла \(AOB\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное




 

\(\angle AOB\) равен полуразности дуг \(AB\) и \(CD\), заключённых внутри него, тогда \[\angle BOD = 0,5(\smile AB - \smile CD) = 0,5(65^{\circ} - 22^{\circ}) = 21,5^{\circ}.\]

Ответ: 21,5

Задание 6 #2165
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Из точки \(O\) вне окружности проведены две прямые, пересекающие окружность. Большая дуга, образованная этими прямыми, равна \(44^\circ\), а угол между прямыми равен \(15^\circ\). Найдите другую дугу, образованную этими прямыми. Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

Т.к. угол, образованный двумя такими прямыми-секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

\[\angle O=15^\circ=\dfrac12\left(44^\circ-x\right)\quad \Rightarrow \quad x=14^\circ\]

Ответ: 14

Задание 7 #634
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Прямая \(b\) касается окружности в точке \(B\) и образует с хордой \(AB\) угол, равный \(55^{\circ}\). Найдите градусную меру дуги \(AB\), которая меньше полуокружности. Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное




 

Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги окружности, заключённой внутри него, следовательно градусная мера искомой дуги равна \(2\cdot 55^{\circ} = 110^{\circ}\).

Ответ: 110

Планиметрические задачи на применение теоремы об углах в окружности встречаются в ЕГЭ из года в год. Как правило, данная тема подробно рассматривается в 8—9 классе. В связи с этим у выпускников часто возникает потребность в повторении основных теорем про углы в окружности. Поскольку подобные задачи часто включаются и в базовый, и в профильный уровень экзамена, знать алгоритм их выполнения должны абсолютно все учащиеся, независимо от уровня подготовки. Освежив в памяти базовую теорию и практические примеры, в которых применяется теорема о внешнем угле окружности, старшеклассники смогут рассчитывать на получение достаточно высоких баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Готовьтесь к прохождению аттестационного испытания вместе с образовательным порталом «Школково»!

Часто процесс поиска нужного источника, в котором представлена вся необходимая информация, отнимает достаточно большое количество времени. Учебник далеко не всегда есть под рукой. А найти нужные формулы нередко оказывается проблематично даже в Интернете.

Отточить навыки и улучшить собственные знания в таком непростом разделе геометрии, как планиметрия, а также по задачам по теме «Центральные и вписанные углы окружности», вам поможет наш образовательный портал. «Школково» предлагает учащимся и их преподавателям по-новому выстроить процесс подготовки к сдаче единого государственного экзамена.

Чтобы задачи ЕГЭ на применение теоремы о дугах окружности и углах давались легко, мы рекомендуем прежде всего повторить определения и основные правила. Сделать это вы можете, посетив раздел «Теоретическая справка». Здесь наши специалисты изложили материал, подготовленный специально для старшеклассников с различным уровнем подготовки. А для закрепления полученных знаний мы предлагаем выполнить соответствующие упражнения. Богатая подборка задач представлена в разделе «Каталог». Мы сгруппировали как простые, так и более сложные задания и для каждого из них прописали алгоритм решения и правильный ответ. База задач в соответствующем разделе постоянно дополняется и обновляется.

Выполнять упражнения на образовательном портале «Школково» могут все старшеклассники независимо от того, в каком регионе нашей страны они проживают. При необходимости любое задание может быть сохранено в разделе «Избранное». Это позволит выпускнику в дальнейшем быстро его найти и, к примеру, обсудить алгоритм решения со школьным преподавателем или репетитором.