Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Окружность: важные теоремы, связанные с углами

\(\blacktriangleright\) Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной;


 

\(\blacktriangleright\) Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними; \[\alpha = \dfrac{1}{2}\buildrel\smile\over{AB}\]


 

\(\blacktriangleright\) Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними; \[\alpha = \dfrac{1}{2}\left(\buildrel\smile\over{AB}-\buildrel\smile\over{CD}\right)\]


 

\(\blacktriangleright\) Угол между двумя хордами равен полусумме дуг, заключенных между ними; \[\alpha = \dfrac{1}{2}\left(\buildrel\smile\over{AB}+\buildrel\smile\over{CD}\right)\]


 

\(\blacktriangleright\) Прямая, проходящая через точку вне окружности и центр окружности, является биссектрисой угла, образованного касательными, проведенными из этой точки к окружности;


 

\(\blacktriangleright\) Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен;


 

\(\blacktriangleright\) Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\);


 

\(\blacktriangleright\) Дуги (меньшие полуокружности),отсекаемые равными хордами, равны между собой.

Задание Новое задание
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Угол \(ACB\) равен \(42^\circ\). Градусная мера дуги \(AB\) окружности, не содержащей точки \(D\) и \(E\), равна \(124^\circ\). Найдите угол \(DAE\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное



Так как угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то \(\angle ACB=0,5(\buildrel\smile\over{AKB}-\buildrel\smile\over{DNE})=42^\circ\). Так как \(\buildrel\smile\over{AKB}=124^\circ\), то \(\buildrel\smile\over{DNE}=124^\circ-2\cdot 42^\circ=40^\circ\). Тогда \(\angle DAE\), как вписанный и опирающийся на дугу \(\buildrel\smile\over{DNE}\), равен ее половине, то есть \(20^\circ\).

Ответ:

20

Задание Новое задание
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите угол \(ACB\), если вписанные углы \(ADB\) и \(DAE\) опираются на дуги окружности, градусные меры которых равны соответственно \(118^\circ\) и \(38^\circ\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Так как угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то \(\angle ACB=0,5(118^\circ-38^\circ)=40^\circ\).

Ответ:

40

Задание Новое задание
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Угол \(ACO\) равен \(24^\circ\). Его сторона \(CA\) касается окружности с центром в точке \(O\). Найдите градусную меру дуги \(AD\), заключенной внутри этого угла, где \(B\) и \(D\) – точки пересечения секущей \(CO\) с окружностью. Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Найдем градусную меру меньшей дуги, стягиваемой хордой \(AB\). Она равна центральному углу \(AOB\), на нее опирающемуся. Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то \(\angle OAC=90^\circ\). Следовательно, из \(\triangle OAC\): \(\angle AOC=90^\circ-24^\circ=66^\circ\). Тогда \(\angle AOD=180^\circ-\angle AOC=114^\circ\). Дуга \(AD\), заключенная внутри угла \(ACD\), равна центральному углу \(AOD\) и равна \(114^\circ\).

Ответ:

114

Задание Новое задание
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Через концы \(A\) и \(B\) дуги окружности в \(62^\circ\) проведены касательные \(AC\) и \(BC\). Найдите угол \(ACB\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Так как угол между касательной и хордой, проведенными из одной точки окружности, равен половине дуги, заключенной между ними, то \(\angle ABC=\angle BAC=0,5\cdot 62^\circ=31^\circ\). Следовательно, из \(\triangle ABC\): \(\angle ACB=180^\circ-2\cdot 31^\circ=118^\circ\).

Ответ:

118

Задание Новое задание
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Угол между хордой \(AB\) и касательной \(BC\) к окружности равен \(32^\circ\). Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой \(AB\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

1 способ

Так как угол между хордой и касательной, проведенными из одной точки окружности, равен половине дуги, заключенной между ними, то меньшая дуга \(\buildrel\smile\over{AB}\) равна \(2\cdot 32^\circ=64^\circ\).

 

2 способ

Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то \(\angle OBC=90^\circ\). Следовательно, \(\angle OBA=90^\circ-32^\circ=58^\circ\). Так как \(OB=OA\) – радиусы, то \(\triangle OBA\) равнобедренный, следовательно, \(\angle AOB=180^\circ -2\cdot 58^\circ=64^\circ\). Так как дуга равна центральному углу, опирающемуся на нее, то меньшая дуга \(\buildrel\smile\over{AB}\) равна \(\angle AOB\) и равна \(64^\circ\).

Ответ:

64

Задание Новое задание
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Хорда \(AB\) стягивает дугу окружности в \(92^\circ\). Найдите угол \(ABC\) между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку \(B\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Так как угол между хордой и касательной, проведенными из одной точки окружности, равен половине дуги, заключенной между ними, то \(\angle ABC=0,5\cdot 92^\circ=46^\circ\).

Ответ:

46

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

\(AC\) – диаметр окружности с центром в точке \(O\). Найдите \(\angle ABC\), если \(B\) лежит на окружности. Ответ дайте в градусах

Добавить задание в избранное




 

\(\angle ABC\) – вписанный. Вписанный угол в два раза меньше градусной меры дуги, на которую он опирается.
Градусная мера дуги есть градусная мера центрального угла, который на неё опирается, тогда градусная мера дуги \(AC\) равна \(180^{\circ}\) и \(\angle ABC = 90^{\circ}\).

Ответ: 90

Планиметрические задачи на применение теоремы об углах в окружности встречаются в ЕГЭ из года в год. Как правило, данная тема подробно рассматривается в 8—9 классе. В связи с этим у выпускников часто возникает потребность в повторении основных теорем про углы в окружности. Поскольку подобные задачи часто включаются и в базовый, и в профильный уровень экзамена, знать алгоритм их выполнения должны абсолютно все учащиеся, независимо от уровня подготовки. Освежив в памяти базовую теорию и практические примеры, в которых применяется теорема о внешнем угле окружности, старшеклассники смогут рассчитывать на получение достаточно высоких баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Готовьтесь к прохождению аттестационного испытания вместе с образовательным порталом «Школково»!

Часто процесс поиска нужного источника, в котором представлена вся необходимая информация, отнимает достаточно большое количество времени. Учебник далеко не всегда есть под рукой. А найти нужные формулы нередко оказывается проблематично даже в Интернете.

Отточить навыки и улучшить собственные знания в таком непростом разделе геометрии, как планиметрия, вам поможет наш образовательный портал. «Школково» предлагает учащимся и их преподавателям по-новому выстроить процесс подготовки к сдаче единого государственного экзамена.

Чтобы задачи ЕГЭ на применение теоремы о дугах окружности и углах давались легко, мы рекомендуем прежде всего повторить определения и основные правила. Сделать это вы можете, посетив раздел «Теоретическая справка». Здесь наши специалисты изложили материал, подготовленный специально для старшеклассников с различным уровнем подготовки. А для закрепления полученных знаний мы предлагаем выполнить соответствующие упражнения. Богатая подборка задач представлена в разделе «Каталог». Мы сгруппировали как простые, так и более сложные задания и для каждого из них прописали алгоритм решения и правильный ответ. База задач в соответствующем разделе постоянно дополняется и обновляется.

Выполнять упражнения на образовательном портале «Школково» могут все старшеклассники независимо от того, в каком регионе нашей страны они проживают. При необходимости любое задание может быть сохранено в разделе «Избранное». Это позволит выпускнику в дальнейшем быстро его найти и, к примеру, обсудить алгоритм решения со школьным преподавателем или репетитором.