Прямая \(AB\) касается окружности в точке \(A\). На окружности отмечена точка \(C\) так, что \(CB\perp AB\) и \(CB=AB\sqrt3\). Найдите центральный угол, опирающийся на меньшую дугу \(AC\). Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим картинку:
Треугольник \(ABC\) – прямоугольный, причем, т.к. \(CB=\sqrt3 \cdot AB\), то \[\mathrm{tg}\,\angle BAC=\dfrac{CB}{AB}=\sqrt3 \quad \Rightarrow \quad \angle BAC=60^\circ\]
Т.к. угол между касательной \(AB\) и хордой \(AC\) равен половине дуги \(\buildrel\smile\over{AC}\), заключенной между ними, то \(\buildrel\smile\over{AC}=120^\circ\). Тогда центральный угол \(\angle AOC=\buildrel\smile\over{AC}=120^\circ\).
Ответ: 120
