Окружность: важные теоремы, связанные с углами (страница 3)

Найдем градусную меру меньшей дуги, стягиваемой хордой \(AB\). Она равна центральному углу \(AOB\), на нее опирающемуся. Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то \(\angle OAC=90^\circ\). Следовательно, из \(\triangle OAC\): \(\angle AOC=90^\circ-24^\circ=66^\circ\). Тогда \(\angle AOD=180^\circ-\angle AOC=114^\circ\). Дуга \(AD\), заключенная внутри угла \(ACD\), равна центральному углу \(AOD\) и равна \(114^\circ\).

Ответ: 114

Так как угол между касательной и хордой, проведенными из одной точки окружности, равен половине дуги, заключенной между ними, то \(\angle ABC=\angle BAC=0,5\cdot 62^\circ=31^\circ\). Следовательно, из \(\triangle ABC\): \(\angle ACB=180^\circ-2\cdot 31^\circ=118^\circ\).

Ответ: 118

1 способ

Так как угол между хордой и касательной, проведенными из одной точки окружности, равен половине дуги, заключенной между ними, то меньшая дуга \(\buildrel\smile\over{AB}\) равна \(2\cdot 32^\circ=64^\circ\).

2 способ

Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то \(\angle OBC=90^\circ\). Следовательно, \(\angle OBA=90^\circ-32^\circ=58^\circ\). Так как \(OB=OA\) – радиусы, то \(\triangle OBA\) равнобедренный, следовательно, \(\angle AOB=180^\circ -2\cdot 58^\circ=64^\circ\). Так как дуга равна центральному углу, опирающемуся на нее, то меньшая дуга \(\buildrel\smile\over{AB}\) равна \(\angle AOB\) и равна \(64^\circ\).

Ответ: 64

Так как угол между хордой и касательной, проведенными из одной точки окружности, равен половине дуги, заключенной между ними, то \(\angle ABC=0,5\cdot 92^\circ=46^\circ\).

Ответ: 46

Рассмотрим картинку:

Рассмотрим \(\triangle ABC\): он прямоугольный (\(\angle B=90^\circ\), т.к. опирается на диаметр), следовательно, \(\angle C=90^\circ-\angle A=30^\circ\). Катет \(AB\), лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы \(AC\), то есть равен \(5\).

Ответ: 5

Рассмотрим картинку:

Т.к. угол, образованный двумя такими секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

\[\angle A=0,5\left(\alpha-\beta\right)=11^\circ \qquad (1)\]

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то (меньшая полуокружности) дуга \(\buildrel\smile\over{K_2L_2}=95^\circ\). Вся окружность равна \(360^\circ\), следовательно,

\[\alpha+\beta+2\cdot 95^\circ=360^\circ \quad \Rightarrow \quad \alpha+\beta=170^\circ \qquad (2)\]

Решая систему из уравнений \((1)\) и \((2)\), получим, что \(\beta=74^\circ\).

Ответ: 74

Рассмотрим картинку:

Т.к. диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен ей, то \(AB\perp PT\). Следовательно, \(\triangle PNB=\triangle TNB\) как прямоугольные по двум катетам (\(PN=TN\), \(NB\) – общий). Следовательно, \(PB=TB\).

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то \(\buildrel\smile\over{TB}=\buildrel\smile\over{PB}=75^\circ\).

Тогда угол между хордами \(AB\) и \(KT\) равен полусумме дуг, заключенных между ними, то есть \(0,5\left(15^\circ+75^\circ\right)=45^\circ\). Т.к. нам необходимо найти угол между прямыми (а это обязательно острый угол), то в данном случае он равен углу между данными хордами.

Ответ: 45