Окружность: важные теоремы, связанные с углами (страница 2)

\(OC\) – биссектриса \(\angle ACB\). Покажем это:
Построим радиусы \(OA\) и \(OB\).



Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, следовательно
\(O\) – точка внутри угла \(ACB\), равноудалённая от его сторон. Тогда \(O\) лежит на биссектрисе этого угла (это можно показать через равенство треугольников \(AOC\) и \(BOC\)).

В данной задаче \(\angle OCB = 40^{\circ}\), тогда \(\angle ACB = 2\cdot \angle OCB = 2\cdot 40^{\circ} = 80^{\circ}\).

Ответ: 80

Рассмотрим картинку:

Т.к. угол, образованный двумя такими секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

\[\angle O=0,5\left(\alpha-\beta\right)=20^\circ\]

С другой стороны, по условию задачи \(\alpha+\beta=100^\circ\).
Решая систему из этих двух уравнений, находим, что \(\alpha=70^\circ\).

Ответ: 70

Рассмотрим картинку:

Треугольник \(ABC\) – равнобедренный и прямоугольный, следовательно, \(\angle BAC=45^\circ\). Т.к. угол между касательной \(AB\) и хордой \(AC\) равен половине дуги \(\buildrel\smile\over{AC}\), заключенной между ними, то \(\buildrel\smile\over{AC}=90^\circ\). Тогда центральный угол \(\angle AOC=\buildrel\smile\over{AC}=90^\circ\).

Ответ: 90

Пусть \(O\) – центр окружности. Проведем радиусы \(OA\) и \(OB\). Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то \(OA\perp AC, OB\perp BC\). Заметим, что \(OACB\) – четырехугольник. Так как сумма углов четырехугольника равна \(360^\circ\), то \[\angle AOB=360^\circ-112^\circ-90^\circ-90^\circ=68^\circ.\] \(\angle AOB\) – центральный угол, опирающийся на дугу \(AB\), следовательно, \(\buildrel\smile\over{AB}=\angle AOB=68^\circ\).

Ответ: 68

Угол между хордами окружности равен полусумме градусных мер дуг, заключённых внутри него и вертикального ему. Покажем это подробнее:
Соединим точки \(A\) и \(D\).

\(\angle AO'B\) – внешний в треугольнике \(AO'D\), тогда \(\angle AO'B = \angle CAD + \angle ADB = 0,5\cdot \smile CD + 0,5\cdot \smile AB = 0,5(\smile CD + \smile AB)\).

В данной задаче \(\angle AO'B = 0,5(\smile CD + \smile AB) = 0,5 (16^{\circ} + 60^{\circ}) = 38^{\circ}\).

Ответ: 38

Так как угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то \(\angle ACB=0,5(\buildrel\smile\over{AKB}-\buildrel\smile\over{DNE})=42^\circ\). Так как \(\buildrel\smile\over{AKB}=124^\circ\), то \(\buildrel\smile\over{DNE}=124^\circ-2\cdot 42^\circ=40^\circ\). Тогда \(\angle DAE\), как вписанный и опирающийся на дугу \(\buildrel\smile\over{DNE}\), равен ее половине, то есть \(20^\circ\).

Ответ: 20

Так как угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то \(\angle ACB=0,5(118^\circ-38^\circ)=40^\circ\).

Ответ: 40