Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Окружность: важные теоремы, связанные с углами (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной;


 

\(\blacktriangleright\) Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними; \[\alpha = \dfrac{1}{2}\buildrel\smile\over{AB}\]


 

\(\blacktriangleright\) Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними; \[\alpha = \dfrac{1}{2}\left(\buildrel\smile\over{AB}-\buildrel\smile\over{CD}\right)\]


 

\(\blacktriangleright\) Угол между двумя хордами равен полусумме дуг, заключенных между ними; \[\alpha = \dfrac{1}{2}\left(\buildrel\smile\over{AB}+\buildrel\smile\over{CD}\right)\]


 

\(\blacktriangleright\) Прямая, проходящая через точку вне окружности и центр окружности, является биссектрисой угла, образованного касательными, проведенными из этой точки к окружности;


 

\(\blacktriangleright\) Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен;


 

\(\blacktriangleright\) Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\);


 

\(\blacktriangleright\) Дуги (меньшие полуокружности),отсекаемые равными хордами, равны между собой.

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

\(AB\) – диаметр окружности с центром в точке \(O\), \(CD\) – хорда, пересекающая \(AB\) в точке \(E\), причём \(CE = ED\). Найдите \(\angle CEB\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Хорда, делящаяся диаметром пополам, перпендикулярна ему. Покажем это:
Построим радиусы \(OC\) и \(OD\).



Треугольники \(COE\) и \(DOE\) равны по трём сторонам, тогда \(\angle CEO = \angle DEO\), но \(\angle CEO + \angle DEO = 180^{\circ}\), откуда \(\angle CEO = 90^{\circ}\). \[\angle CEB = 180^{\circ} - \angle CEO = 90^{\circ}.\]

Ответ: 90

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Хорды \(AB\) и \(CD\) равны. Найдите разность градусных мер дуг \(AB\) и \(CD\), которые меньше полуокружности. Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Равные хорды стягивают равные дуги. Покажем это:
Построим радиусы \(OA\), \(OB\), \(OC\), \(OD\)



Треугольники \(AOB\) и \(COD\) равны по трём сторонам, тогда \(\angle AOB = \angle COD\) и, значит, дуга \(AB\) (которая меньше полуокружности) равна дуге \(CD\) (которая меньше полуокружности). Тогда разность градусных мер этих дуг равна \(0^{\circ}\).

Ответ: 0

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите угол между двумя секущими, проведенными к окружности из точки \(O\) вне окружности, если дуги, заключенные между этими секущими, равны \(103^\circ\) и \(47^\circ\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

Т.к. угол, образованный двумя такими секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

\[\angle O=\dfrac12\left(103^\circ-47^\circ\right)=28^\circ.\]

Ответ: 28

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) угла \(AOB\) лежат на окружности. Дуга \(AB\), заключённая внутри этого угла, равна \(65^{\circ}\), а дуга \(CD\), заключённая внутри этого угла, равна \(22^{\circ}\). Найдите величину угла \(AOB\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное




 

\(\angle AOB\) равен полуразности дуг \(AB\) и \(CD\), заключённых внутри него, тогда \[\angle BOD = 0,5(\smile AB - \smile CD) = 0,5(65^{\circ} - 22^{\circ}) = 21,5^{\circ}.\]

Ответ: 21,5

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Из точки \(O\) вне окружности проведены две прямые, пересекающие окружность. Большая дуга, образованная этими прямыми, равна \(44^\circ\), а угол между прямыми равен \(15^\circ\). Найдите другую дугу, образованную этими прямыми. Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

Т.к. угол, образованный двумя такими прямыми-секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

\[\angle O=15^\circ=\dfrac12\left(44^\circ-x\right)\quad \Rightarrow \quad x=14^\circ\]

Ответ: 14

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Прямая \(b\) касается окружности в точке \(B\) и образует с хордой \(AB\) угол, равный \(55^{\circ}\). Найдите градусную меру дуги \(AB\), которая меньше полуокружности. Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное




 

Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги окружности, заключённой внутри него, следовательно градусная мера искомой дуги равна \(2\cdot 55^{\circ} = 110^{\circ}\).

Ответ: 110

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

\(AC\) и \(BC\) касаются окружности с центром \(O\). \(\angle OCB = 40^{\circ}\). Найдите \(\angle ACB\). Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

\(OC\) – биссектриса \(\angle ACB\). Покажем это:
Построим радиусы \(OA\) и \(OB\).



Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, следовательно
\(O\) – точка внутри угла \(ACB\), равноудалённая от его сторон. Тогда \(O\) лежит на биссектрисе этого угла (это можно показать через равенство треугольников \(AOC\) и \(BOC\)).

В данной задаче \(\angle OCB = 40^{\circ}\), тогда \(\angle ACB = 2\cdot \angle OCB = 2\cdot 40^{\circ} = 80^{\circ}\).

Ответ: 80

1 2 3 4