Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Окружность: важные теоремы, связанные с углами (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной;


 

\(\blacktriangleright\) Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними; \[\alpha = \dfrac{1}{2}\buildrel\smile\over{AB}\]


 

\(\blacktriangleright\) Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними; \[\alpha = \dfrac{1}{2}\left(\buildrel\smile\over{AB}-\buildrel\smile\over{CD}\right)\]


 

\(\blacktriangleright\) Угол между двумя хордами равен полусумме дуг, заключенных между ними; \[\alpha = \dfrac{1}{2}\left(\buildrel\smile\over{AB}+\buildrel\smile\over{CD}\right)\]


 

\(\blacktriangleright\) Прямая, проходящая через точку вне окружности и центр окружности, является биссектрисой угла, образованного касательными, проведенными из этой точки к окружности;


 

\(\blacktriangleright\) Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен;


 

\(\blacktriangleright\) Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\);


 

\(\blacktriangleright\) Дуги (меньшие полуокружности),отсекаемые равными хордами, равны между собой.

Задание 8 #637
Уровень задания: Равен ЕГЭ

\(AC\) и \(BC\) касаются окружности с центром \(O\). \(\angle OCB = 40^{\circ}\). Найдите \(\angle ACB\). Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

\(OC\) – биссектриса \(\angle ACB\). Покажем это:
Построим радиусы \(OA\) и \(OB\).



Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, следовательно
\(O\) – точка внутри угла \(ACB\), равноудалённая от его сторон. Тогда \(O\) лежит на биссектрисе этого угла (это можно показать через равенство треугольников \(AOC\) и \(BOC\)).

В данной задаче \(\angle OCB = 40^{\circ}\), тогда \(\angle ACB = 2\cdot \angle OCB = 2\cdot 40^{\circ} = 80^{\circ}\).

Ответ: 80

Задание 9 #2166
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Угол между двумя секущими, проведенными к окружности из точки \(O\) вне окружности, равен \(20^\circ\). Найдите большую дугу, заключенную между секущими, если сумма градусных мер обеих дуг, заключенных между секущими, равна \(100^\circ\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

Т.к. угол, образованный двумя такими секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

\[\angle O=0,5\left(\alpha-\beta\right)=20^\circ\]

С другой стороны, по условию задачи \(\alpha+\beta=100^\circ\).
Решая систему из этих двух уравнений, находим, что \(\alpha=70^\circ\).

Ответ: 70

Задание 10 #2161
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Прямая \(AB\) касается окружности в точке \(A\). На окружности отмечена точка \(C\) так, что \(CB\perp AB\) и \(CB=AB\). Найдите центральный угол, опирающийся на меньшую дугу \(AC\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

Треугольник \(ABC\) – равнобедренный и прямоугольный, следовательно, \(\angle BAC=45^\circ\). Т.к. угол между касательной \(AB\) и хордой \(AC\) равен половине дуги \(\buildrel\smile\over{AC}\), заключенной между ними, то \(\buildrel\smile\over{AC}=90^\circ\). Тогда центральный угол \(\angle AOC=\buildrel\smile\over{AC}=90^\circ\).

Ответ: 90

Задание 11 #3076
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Касательные \(CA\) и \(CB\) к окружности образуют угол \(ACB\), равный \(112^\circ\). Найдите величину меньшей дуги \(AB\), стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное


 

Пусть \(O\) – центр окружности. Проведем радиусы \(OA\) и \(OB\). Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то \(OA\perp AC, OB\perp BC\). Заметим, что \(OACB\) – четырехугольник. Так как сумма углов четырехугольника равна \(360^\circ\), то \[\angle AOB=360^\circ-112^\circ-90^\circ-90^\circ=68^\circ.\] \(\angle AOB\) – центральный угол, опирающийся на дугу \(AB\), следовательно, \(\buildrel\smile\over{AB}=\angle AOB=68^\circ\).

Ответ: 68

Задание 12 #636
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Хорды \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O'\). Дуга \(AB\), заключённая внутри угла \(AO'B\), равна \(60^{\circ}\), а дуга \(CD\), заключённая внутри угла \(CO'D\), равна \(16^{\circ}\). Найдите \(\angle AO'B\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Угол между хордами окружности равен полусумме градусных мер дуг, заключённых внутри него и вертикального ему. Покажем это подробнее:
Соединим точки \(A\) и \(D\).


 

\(\angle AO'B\) – внешний в треугольнике \(AO'D\), тогда \(\angle AO'B = \angle CAD + \angle ADB = 0,5\cdot \smile CD + 0,5\cdot \smile AB = 0,5(\smile CD + \smile AB)\).

В данной задаче \(\angle AO'B = 0,5(\smile CD + \smile AB) = 0,5 (16^{\circ} + 60^{\circ}) = 38^{\circ}\).

Ответ: 38

Задание 13 #3537
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Угол \(ACB\) равен \(42^\circ\). Градусная мера дуги \(AB\) окружности, не содержащей точки \(D\) и \(E\), равна \(124^\circ\). Найдите угол \(DAE\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное



Так как угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то \(\angle ACB=0,5(\buildrel\smile\over{AKB}-\buildrel\smile\over{DNE})=42^\circ\). Так как \(\buildrel\smile\over{AKB}=124^\circ\), то \(\buildrel\smile\over{DNE}=124^\circ-2\cdot 42^\circ=40^\circ\). Тогда \(\angle DAE\), как вписанный и опирающийся на дугу \(\buildrel\smile\over{DNE}\), равен ее половине, то есть \(20^\circ\).

Ответ: 20

Задание 14 #3536
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите угол \(ACB\), если вписанные углы \(ADB\) и \(DAE\) опираются на дуги окружности, градусные меры которых равны соответственно \(118^\circ\) и \(38^\circ\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Так как угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то \(\angle ACB=0,5(118^\circ-38^\circ)=40^\circ\).

Ответ: 40

1 2 3 4