Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Разложение на множители показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений

\(\blacktriangleright\) Стандартное логарифмическое уравнение (имеет смысл при \(a>0, a\ne 1\)):

 

\[\large{\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}}\]

\(\blacktriangleright\) Стандартное показательное уравнение (имеет смысл только при \(a>0, a\ne 1\)):

 

\[\large{{a^{f(x)}=a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x)=g(x)}\]

\(\blacktriangleright\) На ОДЗ верны следующие формулы:

\[\large{\begin{array}{|ll|} \hline a^0=1 &a^1=a\\ a^{nm}=(a^n)^m &a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\ \dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}&a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\\ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n &\\ a^{\frac{k}{r}}=\sqrt[r]{a^k} \qquad \qquad \qquad \qquad& \dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n\\&\\ a,b>0, \ \ a,b\ne 1, \ k\in \mathbb{Z},& r\in\mathbb{N}, \ m,n\in\mathbb{R}\\ \hline \end{array}}\]

 

\[\large{\begin{array}{|lcl|} \hline \log_a1=0& \qquad & \log_aa=1\\ &&\\ \log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_{|a|}{|b|}&& a^{\log_bc}=c^{\log_ba}\\ &&\\ \log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|}&& \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}\\ &&\\ \log_ab\cdot \log_bc=\log_ac & \Longleftrightarrow & \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}\\ &&\\ \log_ab\cdot \log_ba=1 & \Longleftrightarrow & \log_ab=\dfrac1{\log_ba}\\ &&\\ \hline \end{array}}\]

Задание 1 #3806
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[20^{\cos x}=4^{\cos x}\cdot 5^{-\sin x}\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{9\pi}2; -3\pi\right].\)

а) Так как \((ab)^x=a^x\cdot b^x\), то уравнение можно переписать в виде: \[4^{\cos x}\cdot 5^{\cos x}-4^{\cos x}\cdot 5^{-\sin x}=0 \quad\Leftrightarrow\quad 4^{\cos x}\cdot \left(5^{\cos x}-5^{-\sin x}\right)=0\] Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла. \(4^{\cos x}>0\) по свойству показательной функции, следовательно, уравнение равносильно: \[5^{\cos x}=5^{-\sin x}\quad\Leftrightarrow\quad \cos x=-\sin x\] Данное уравнение является однородным первой степени и решается делением обеих частей равенства на \(\sin x\) или \(\cos x\). Разделим на \(\cos x\): \[1=-\mathrm{tg}\,x\quad\Leftrightarrow\quad \mathrm{tg}\,x=-1\quad\Leftrightarrow \quad x=-\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни.

 

\(-\dfrac{9\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}4+\pi n\leqslant -3\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{17}4\leqslant n\leqslant -\dfrac{11}4\quad\Rightarrow\quad n=-4;-3\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{17\pi}4; \ -\dfrac{13\pi}4\)

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{17\pi}4; -\dfrac{13\pi}4\)

Задание 2 #3807
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[21^{-\sin x}=3^{-\sin x}\cdot 7^{\cos x}\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{3\pi}2; 0\right].\)

а) Так как \((ab)^x=a^x\cdot b^x\), то уравнение можно переписать в виде: \[3^{-\sin x}\cdot 7^{-\sin x}-3^{-\sin x}\cdot 7^{\cos x}=0 \quad\Leftrightarrow\quad 3^{-\sin x}\cdot \left(7^{-\sin x}-7^{\cos x}\right)=0\] Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла. \(3^{-\sin x}>0\) по свойству показательной функции, следовательно, уравнение равносильно: \[7^{-\sin x}=7^{\cos x}\quad\Leftrightarrow\quad -\sin x=\cos x\] Данное уравнение является однородным первой степени и решается делением обеих частей равенства на \(\sin x\) или \(\cos x\). Разделим на \(\cos x\): \[\mathrm{tg}\,x=-1\quad\Leftrightarrow \quad x=-\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни.

 

\(-\dfrac{3\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}4+\pi n\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac54\leqslant n\leqslant \dfrac14\quad\Rightarrow\quad n=-1;0\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{5\pi}4; \ -\dfrac{\pi}4\)

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{5\pi}4; \ -\dfrac{\pi}4\)

Задание 3 #3809
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin x=\log_{12}\left(3^{\sin x}\cdot 4^{\cos x}\right)\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[2\pi; \dfrac{7\pi}2\right].\)

а) ОДЗ уравнения: \(3^{\sin x}\cdot 4^{\cos x}>0\). Так как показательная функция всегда положительна, то и произведение двух показательных функций всегда положительно, следовательно, ОДЗ: \(x\in\mathbb{R}\).
Данное уравнение можно переписать в виде: \[3^{\sin x}\cdot 4^{\cos x}=12^{\sin x}\quad\Leftrightarrow\quad 3^{\sin x}\cdot 4^{\cos x}-3^{\sin x}\cdot 4^{\sin x}=0\] (при переходе к последнему уравнению мы воспользовались формулой \((ab)^x=a^x\cdot b^x\))
Таким образом, вынеся общий множитель за скобки, получаем: \[3^{\sin x}\cdot \left(4^{\cos x}-4^{\sin x}\right)=0\] Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла. Так как показательная функция всегда положительна, то \(3^{\sin x}\ne 0\), следовательно, уравнение равносильно: \[4^{\cos x}=4^{\sin x}\quad\Leftrightarrow\quad \cos x=\sin x\] Полученное уравнение является однородным первой степени и решается делением на \(\sin x\) или \(\cos x\). Разделим на \(\cos x\): \[\mathrm{tg}\,x=1\quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни.   \(2\pi \leqslant \dfrac{\pi}4+\pi n\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac74\leqslant n\leqslant \dfrac{13}4\quad\Rightarrow\quad n=2;3 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{9\pi}4; \ \dfrac{13\pi}4\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{9\pi}4; \ \dfrac{13\pi}4\)

Задание 4 #3810
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[3^{\sin x}\cdot \log_2(\sqrt2\cos x)=\sqrt3\cdot \log_4(2\cos^2x)\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[0;\dfrac{3\pi}2\right].\)

а) ОДЗ данного уравнения: \(\cos x>0\). Решим на ОДЗ.
По формуле \(\log_4(2\cos^2x)=\log_2|\sqrt2\cos x|\), но так как по ОДЗ \(\cos x>0\), то \(\log_4(2\cos^2x)=\log_2(\sqrt2\cos x)\). Следовательно, уравнение принимает вид: \[3^{\sin x}\cdot \log_2(\sqrt2\cos x)-\sqrt3\cdot \log_2(\sqrt2\cos x)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \log_2(\sqrt2\cos x)\cdot \left(3^{\sin x} -\sqrt3\right)=0\] Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла. Следовательно:

 

1) \(\log_2(\sqrt2\cos x)=0\quad\Rightarrow\quad \sqrt2\cos x=2^0=1\quad\Rightarrow\quad \cos x=\dfrac{\sqrt2}2\) (подходит по ОДЗ). Решением будут \[x=\pm \dfrac{\pi}4+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\] или  

2) \(3^{\sin x}-\sqrt3=0\quad\Leftrightarrow\quad 3^{\sin x}=3^{\frac12}\quad\Leftrightarrow\quad \sin x=\dfrac12\). Решением будут \(x=\dfrac{\pi}6+2\pi m\) и \(x=\dfrac{5\pi}6+2\pi k\), \(m,k\in\mathbb{Z}\).
Но заметим, что корень \(x=\dfrac{5\pi}6+2\pi k\) не подходит по ОДЗ, так как эти углы находятся во второй четверти, а там \(\cos x<0\). Следовательно, решение здесь: \[x=\dfrac{\pi}6+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни.   1) \(0\leqslant \dfrac{\pi}4+2\pi n\leqslant \dfrac{3\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac18\leqslant n\leqslant \dfrac58\quad\Rightarrow\quad n=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}4\)   2) \(0\leqslant -\dfrac{\pi}4+2\pi n\leqslant \dfrac{3\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac18\leqslant n\leqslant \dfrac78\quad\Rightarrow\quad n\in\varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in\varnothing\)   3) \(0\leqslant \dfrac{\pi}6+2\pi m\leqslant \dfrac{3\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac1{12}\leqslant m\leqslant \dfrac23\quad\Rightarrow\quad m=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}6\)

Ответ:

а) \(\pm \dfrac{\pi}4+2\pi n, \dfrac{\pi}6+2\pi m\), \(n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{\pi}6; \ \dfrac{\pi}4\)

Задание 5 #3966
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[10^{\sin x}=2^{\sin x}\cdot 5^{-\cos x}\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{5\pi}2; -\pi\right]\).

а) Так как \(10=2\cdot 5\), а \((ab)^n=a^n\cdot b^n\), то уравнение равносильно \[5^{\sin x}\cdot 2^{\sin x}=2^{\sin x}\cdot 5^{-\cos x}\quad\Leftrightarrow\quad 2^{\sin x}\cdot \left( 5^{\sin x}-5^{-\cos x}\right)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2^{\sin x}=0\\[2ex] &5^{\sin x}=5^{-\cos x}\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Первое уравнение не имеет решений, так как показательная функция всегда положительна, следовательно, \(2^{\sin x}>0\) при любых \(x\). Значит: \[5^{\sin x}=5^{-\cos x}\quad\Leftrightarrow\quad \sin x=-\cos x\] Получили однородное уравнение первой степени, которое решается делением на синус или косинус обеих частей уравнения. Разделим обе части равенства на \(\cos x\): \[\mathrm{tg}\,x=-1\quad\Leftrightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни.   \(-\dfrac{5\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}4+\pi n\leqslant -\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac94\leqslant n\leqslant -\dfrac34\quad\Rightarrow\quad n=-2;-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{9\pi}4; -\dfrac{5\pi}4\)

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{9\pi}4; -\dfrac{5\pi}4\)

Задание 6 #3808
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\log_{\sqrt2}(\sin x)\cdot \log_{\sqrt2}(-\cos x)+\log_{\sqrt2}(-\sin x\cos x)+1=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{\pi}2;2\pi\right].\)

а) Так как \(\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac\), если выполнено ОДЗ, то на ОДЗ: \(\sin x>0\) и \(\cos x<0\) имеем: \[\log_{\sqrt2}(\sin x)\cdot \log_{\sqrt2}(-\cos x)+\log_{\sqrt2}(\sin x)+\log_{\sqrt2}(-\cos x)+1=0\] Пусть \(\log_{\sqrt2}(\sin x)=b\), \(\log_{\sqrt2}(-\cos x)=c\). Тогда уравнение принимает вид: \[bc+b+c+1=0\quad\Leftrightarrow\quad b(c+1)+c+1=0\quad\Leftrightarrow\quad (c+1)(b+1)=0\] Следовательно, или \(c=-1\), или \(b=-1\). Сделаем обратную замену:

 

1) \(\log_{\sqrt2}(\sin x)=-1\quad\Rightarrow\quad \sin x=\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2\). Решением этого уравнения будут \(x=\dfrac{\pi}4+2\pi n\) (не подходит по ОДЗ, так как углы лежат в первой четверти, а в ней \(\cos x>0\)) и \(x=\dfrac{3\pi}4+2\pi m\) (подходит по ОДЗ), \(n,m\in\mathbb{Z}\).

 

2) \(\log_{\sqrt2}(-\cos x)=-1\quad\Rightarrow\quad \cos x=-\dfrac{\sqrt2}2\). Решением будут \(x= \dfrac{3\pi}4+2\pi k\) (подходит по ОДЗ) и \(x=-\dfrac{3\pi}4+2\pi l\) (не подходит по ОДЗ, так как эти углы лежат в третьей четверти, а в ней \(\sin x<0\)), \(k,l\in\mathbb{Z}\).

 

Заметим, что в 1-ом и 2-ом пункте итоговые серии корней совпадают, то есть ответом будут: \(x=\dfrac{3\pi}4+2\pi n, \ n\in\mathbb{Z}\)

 

б) Отберем корни.   \(-\dfrac{\pi}2\leqslant \dfrac{3\pi}4+2\pi n\leqslant 2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac58\leqslant n\leqslant \dfrac58\quad\Rightarrow\quad n=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{3\pi}4\)

Ответ:

а) \(\dfrac{3\pi}4+2\pi n, \ n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{3\pi}4\)