а) Решите уравнение \[20^{\cos x}=4^{\cos x}\cdot 5^{-\sin x}\]
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{9\pi}2; -3\pi\right].\)
а) Так как \((ab)^x=a^x\cdot b^x\), то уравнение можно переписать в виде: \[4^{\cos x}\cdot 5^{\cos x}-4^{\cos x}\cdot 5^{-\sin x}=0 \quad\Leftrightarrow\quad 4^{\cos x}\cdot \left(5^{\cos x}-5^{-\sin x}\right)=0\] Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла. \(4^{\cos x}>0\) по свойству показательной функции, следовательно, уравнение равносильно: \[5^{\cos x}=5^{-\sin x}\quad\Leftrightarrow\quad \cos x=-\sin x\] Данное уравнение является однородным первой степени и решается делением обеих частей равенства на \(\sin x\) или \(\cos x\). Разделим на \(\cos x\): \[1=-\mathrm{tg}\,x\quad\Leftrightarrow\quad \mathrm{tg}\,x=-1\quad\Leftrightarrow \quad x=-\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\]
б) Отберем корни.
\(-\dfrac{9\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}4+\pi n\leqslant -3\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{17}4\leqslant n\leqslant -\dfrac{11}4\quad\Rightarrow\quad n=-4;-3\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{17\pi}4; \ -\dfrac{13\pi}4\)
Ответ:
а) \(-\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)
б) \(-\dfrac{17\pi}4; -\dfrac{13\pi}4\)