а) Решите уравнение \[\dfrac{\sin 2x}{\sqrt{2}} + \sin\left(x - \dfrac{3\pi}{2}\right) = \dfrac{\sin x}{\sqrt{2}} + 0,5\,.\]
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]\).
а) ОДЗ: \(x\) – произвольный.
При помощи формул приведения и синуса двойного угла исходное уравнение можно переписать в виде:
\[\begin{aligned} &\dfrac{2\sin x\cdot\cos x}{\sqrt{2}} + \cos x = \dfrac{\sin x}{\sqrt{2}} + 0,5\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad &\cos x(\sqrt{2}\sin x + 1) = \dfrac{1}{2}\cdot(\sqrt{2}\sin x + 1)\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad &(\cos x - 0,5)(\sqrt{2}\sin x + 1) = 0\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad & \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\cos x = 0,5\\ &\sin x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned} \end{gathered} \right. \end{aligned}\]
1) \(\cos x = 0,5\), откуда \(x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\).
2) \(\sin x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), откуда \(x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n\), \(x = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi m\), \(n,m\in\mathbb{Z}\).
б) \(-2\pi\leqslant \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k_1 \leqslant -\dfrac{\pi}{2}\) равносильно \(-\dfrac{7\pi}{3}\leqslant 2\pi k_1 \leqslant -\dfrac{5\pi}{6}\), что равносильно \(-\dfrac{7}{6}\leqslant k_1 \leqslant -\dfrac{5}{12}\), но \(k_1\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходит только решение при \(k_1 = -1\): \(x = -\dfrac{5\pi}{3}\).
\(-2\pi\leqslant -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k_2 \leqslant -\dfrac{\pi}{2}\) равносильно \(-\dfrac{5\pi}{3}\leqslant 2\pi k_2 \leqslant -\dfrac{\pi}{6}\), что равносильно \(-\dfrac{5}{6}\leqslant k_2 \leqslant -\dfrac{1}{12}\), но \(k_2\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходящих нет.
\(-2\pi\leqslant -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n \leqslant -\dfrac{\pi}{2}\) равносильно \(-\dfrac{7\pi}{4}\leqslant 2\pi n \leqslant -\dfrac{\pi}{4}\), что равносильно \(-\dfrac{7}{8}\leqslant n \leqslant -\dfrac{1}{8}\), но \(n\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходящих нет.
\(-2\pi\leqslant \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi m \leqslant -\dfrac{\pi}{2}\) равносильно \(-\dfrac{13\pi}{4}\leqslant 2\pi m \leqslant -\dfrac{7\pi}{4}\), что равносильно \(-\dfrac{13}{8}\leqslant m \leqslant -\dfrac{7}{8}\), но \(m\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходит только решение при \(m = -1\): \(x = -\dfrac{3\pi}{4}\).
Ответ:
а) \(\pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n, \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi m\), \(k,n,m\in\mathbb{Z}\)
б) \(-\dfrac{5\pi}{3}, -\dfrac{3\pi}{4}\)