Математика
Русский язык

12. Исследование функций с помощью производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Поиск точек экстремума у сложных функций

\(\blacktriangleright\) Сложная функция (композиция двух функций) — это функция \(f=f(x)\), представимая в виде \(f=f(t(x))\), где \(t=t(x)\) – функция, являющаяся “новой переменной” для функции \(f\).

 

То есть в такой функции можно ввести новую переменную \(t\)  так, что функция полностью будет зависеть от этой новой переменной.

 

\(\blacktriangleright\) Производная такой функции ищется по правилу: \[{\Large{f'(x)=f'(t)\cdot t'(x)}}\]

Примеры:

 

\(1)\) Функция \(f(x)=\cos {(x^2+1)}\). Если сделать замену \(t(x)=x^2+1\), то функция примет вид \(f(t)=\cos t\).
Найдем \(f'(t)=(\cos t)'=-\sin t=(\text{переход к переменной }x)=-\sin {(x^2+1)}\)
Найдем \(t'(x)=(x^2+1)'=2x\)
Значит, \(f'(x)=-2x\cdot \sin{(x^2+1)}\)

 

\(2)\) Функция \(f(x)=x^3 +x^2\). Для этой функции не существует никакой замены, кроме тождественной (\(t(x)=x\)). Значит она – не сложная.
Ее производную можно найти обычным способом, т.к. она элементарная:
\(f'(x)=3x^2+2x\)

 

\(3)\) Функция \(f(x)=\sin x^2 + x\). Для этой функции не существует никакой замены, кроме тождественной (\(t(x)=x\)).
Но обычными способами вычислить ее производную не удастся. Заметим, что эта функция представлена в виде суммы двух, причем одна из них сложная (\(g(x)=\sin x^2\)), а другая – элементарная (\(h(x)=x\)).
Т.к. мы знаем, что \(f'=g'+h'\), то найдем в отдельности производные функций \(g\) и \(h\).

 

Тогда \(f'(x)=2x\cdot \cos x^2 + 1\)

 

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти точки экстремума, необходимо схематично изобразить график функции.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f'>0\)) и убывания (\(f'<0\)) функции, критические точки (где \(f'=0\) или \(f'\) не существует).
\[\begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{1} & c & 0\\&&\\ \textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\ \textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\ \textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\ \textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf{8} & \cos x & -\sin x\\[1ex] \hline \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\ \textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\ \textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\ \textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[0.5ex] \hline \end{array}\]

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку минимума функции \(y = e^{x^2 + 1}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = e^{x^2 + 1}\cdot 2x = 2xe^{x^2 + 1}\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[2xe^{x^2 + 1} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика:


 

Таким образом, \(x = 0\) – точка минимума функции \(y\).

Ответ: 0

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку максимума функции \(y = e^{-x^2 + 2x}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = e^{-x^2 + 2x}\cdot (-2x + 2) = -2(x - 1)e^{-x^2 + 2x}\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-2(x - 1)e^{-x^2 + 2x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 1\,.\] Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика:


 

Таким образом, \(x = 1\) – точка максимума функции \(y\).

Ответ: 1

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку минимума функции

\(y = e^{x^2 - 2016x + 2017}\).

Добавить задание в избранное

1) \[y' = e^{x^2 - 2016x + 2017}\cdot(2x - 2016).\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[e^{x^2 - 2016x + 2017}\cdot(2x - 2016) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x - 2016 = 0\] (так как \(e^t > 0\) при любом \(t\)), откуда находим \(x = 1008\). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = 1008\) – точка минимума функции \(y\).

Ответ: 1008

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку минимума функции

\(y = \log_{7}(x^2 + 16x + 100)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x^2 + 16x + 100 > 0\). Решим на ОДЗ:

1) \[y' = \dfrac{1}{\ln 7}\cdot\dfrac{2x + 16}{x^2 + 16x + 100}.\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{1}{\ln 7}\cdot\dfrac{2x + 16}{x^2 + 16x + 100} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x + 16 = 0\] – на ОДЗ, откуда находим \(x = -8\). Так как \(x^2 + 16x + 100 = x^2 + 16x + 64 + 36 = (x+8)^2 + 36 > 0\), то производная определена для любого \(x\). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = -8\) – точка минимума функции \(y\).

Ответ: -8

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку минимума функции

\(y = \log_{2016}(x^2 - 10x + 201)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x^2 - 10x + 201 > 0\). Решим на ОДЗ:

1) \[y' = \dfrac{1}{\ln 2016}\cdot\dfrac{2x - 10}{x^2 - 10x + 201}.\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{1}{\ln 2016}\cdot\dfrac{2x - 10}{x^2 - 10x + 201} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x - 10 = 0\] – на ОДЗ, откуда находим \(x = 5\). Так как \(x^2 - 10x + 201 = x^2 - 10x + 25 + 176 = (x-5)^2 + 176 > 0\), то производная определена для любого \(x\). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = 5\) – точка минимума функции \(y\).

Ответ: 5

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку минимума функции

\(y = \sqrt{x^2 - 12x + 40}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x^2 - 12x + 40 \geq 0\). Решим на ОДЗ:

1) \[y' = \dfrac{2x - 12}{2\sqrt{x^2 - 12x + 40}} = \dfrac{x - 6}{\sqrt{x^2 - 12x + 40}}.\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{x - 6}{\sqrt{x^2 - 12x + 40}} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x - 6 = 0\] – на ОДЗ, откуда находим \(x = 6\). Так как \(x^2 - 12x + 40 = x^2 - 12x + 36 + 4 = (x-6)^2 + 4 > 0\), то производная функции \(y\) определена при любом \(x\). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = 6\) – точка минимума функции \(y\).

Ответ: 6

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку максимума функции

\(y = \sqrt{-x^2 + 2 - 6x}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(-x^2 + 2 - 6x \geq 0\), что равносильно \(x^2 + 6x - 2\leq 0\), откуда находим \(-3-\sqrt{11} \leq x \leq -3 + \sqrt{11}\). Решим на ОДЗ:

1) \[y' = \dfrac{-2x - 6}{2\sqrt{-x^2 + 2 - 6x}} = -\dfrac{x + 3}{\sqrt{-x^2 + 2 - 6x}}.\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[y' = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{x + 3}{\sqrt{-x^2 + 2 - 6x}} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x + 3 = 0\] – на ОДЗ, откуда находим \(x = -3\). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на ОДЗ:



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = -3\) – точка максимума функции \(y\).

Ответ: -3