Математика
Русский язык

18. Задачи с параметром

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение задач с окружностями

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} x(x^2+y^2-2y-8)=|x|\cdot (2y-8)\\ y=x+a \end{cases}\]

имеет ровно три решения.

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

1) Изобразим график первого уравнения.

 

а) При \(x>0\) уравнение принимает вид: \[x(x^2+y^2-2y-8)=x(2y-8) \quad\Rightarrow\quad x^2+(y-2)^2=4\] Мы получили уравнение окружности (назовем ее \(s\)) с центром в точке \((0;2)\) и радиусом \(2\).

 

б) При \(x=0\) уравнение принимает вид: \[0\cdot (0+y^2-2y-8)=0\cdot (2y-8) \quad\Rightarrow\quad 0=0\] Таким образом, мы получили верное равенство. Следовательно, мы получили множество точек, абсцисса \(x\) которых равна нулю.

 

в) При \(x<0\) уравнение принимает вид: \[x(x^2+y^2-2y-8)=-x(2y-8) \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2=16\] Мы получили уравнение окружности (назовем ее \(S\)) с центром в точке \((0;0)\) и радиусом \(4\).

 

2) Уравнение \(y=x+a\) задает множество прямых, параллельных прямой \(y=x\) (это прямые, угол наклона которых к положительному направлению оси \(Ox\) равен \(45^\circ\)).
Таким образом, получаем такую картинку (голубым цветом изображен график первого уравнения):


 

3) Для того, чтобы система имела 3 решения, нужно, чтобы при некотором фиксированном \(a\) прямая \(y=x+a\) пересекала “голубой график” ровно в трех точках.
Таким образом, нам подходят следующие случаи:
— когда прямая \(y\) находится между \(I\) и \(II\) (не включая эти случаи). Случай \(I\) – касание прямой \(y\) и окружности \(S\). Случай \(II\) – прохождение прямой \(y\) через точку пересечения окружности \(S\) и прямой \(x=0\).
— когда прямая \(y\) находится между \(II\) и \(III\) (не включая \(II\) и включая \(III\)). Случай \(III\) – прохождение прямой \(y\) через точку пересечения окружности \(s\) и прямой \(x=0\).
— когда прямая \(y\) находится в положении \(IV\) – касается окружности \(s\).

 

Рассмотрим каждый из этих случаев по отдельности.

 

Между \(I\) и \(II\).
– Найдем значение \(a\), при котором прямая \(y\) находится в положении \(I\). В этом случае \(a>0\).



Пусть \(A(0;a), \ B(-a;0)\) – точки пересечения \(y\) с осями координат, \(K\) – точка касания. Тогда \(OK\perp AB\) (как радиус, проведенный в точку касания). Длина \(OA=a\), \(OB=a\), \(OK=4\), \(\triangle AOB\) прямоугольный. Тогда \(AB=a\sqrt2\). Тогда \[S_{\triangle AOB}=\dfrac12 OK\cdot AB=\dfrac12 OB\cdot OA \quad\Rightarrow\quad a=4\sqrt2.\] – Найдем значение \(a\), при котором прямая \(y\) находится в положении \(II\). В этом случае \(y\) проходит через точку \((0;4)\), следовательно, \[4=0+a \quad\Rightarrow\quad a=4\]

Таким образом, нам подходят значения \(a\in (4;4\sqrt2)\).

 

Между \(II\) и \(III\).
– Найдем \(a\), при котором прямая \(y\) находится в положении \(III\). В этом случае она проходит через точку \((0;0)\), то есть \(a=0\).

 

Таким образом, нам подходят \(a\in [0;4)\).

 

Положение \(IV\).



В этом случае \(a<0\). Пусть \(Q\) – центр окружности \(s\), \(P\) – точка касания, \(C\) – точка пересечения \(y\) с осью ординат. Тогда \(\triangle QPC\) – прямоугольный. Ранее мы говорили, что прямая \(y\) наклонена к положительному направлению оси \(Ox\) под углом \(45^\circ\), откуда будет следовать, что и \(\angle QCP=45^\circ\). Радиус \(QP=2\), отрезок \(OC=-a\) (так как \(a<0\)), \(QO=2\). Следовательно, \[\sin\angle QCP=\sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt2}2=\dfrac{QP}{QC}= \dfrac{2}{2-a} \quad\Rightarrow\quad a=-2\sqrt2+2.\]

Таким образом, обобщая все решение, находим ответ: \[a\in \{-2\sqrt2+2\}\cup[0;4)\cup(4;4\sqrt2).\]

Ответ:

\(\{-2\sqrt2+2\}\cup[0;4)\cup(4;4\sqrt2)\)

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при которых система \[\begin{cases} (2x^2-4x+3y^2+6y+5)(8-|2x+y|)\leqslant 0\\ x^2-4x+y^2=a \end{cases}\]

имеет единственное решение.

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

1) Преобразуем неравенство системы:

 

\((2x^2-4x+2+3y^2+6y+3-2-3+5)(8-|2x+y|)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\)  

\(\Leftrightarrow\quad (2(x-1)^2+3(y+1)^2)(8-|2x+y|)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\)  

\(\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} 2(x-1)^2+3(y+1)^2\leqslant 0\\ 8-|2x+y|\geqslant 0\end{cases}\\[2ex] &\begin{cases} 2(x-1)^2+3(y+1)^2\geqslant 0\\ 8-|2x+y|\leqslant 0\end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right.\)

 

Т.к. сумма квадратов всегда неотрицательна, то данная совокупность равносильна:

\[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} 2(x-1)^2+3(y+1)^2=0\\ |2x+y|\leqslant 8 \end{cases}\\[2ex] &\begin{cases} 2(x-1)^2+3(y+1)^2\geqslant 0\\ |2x+y|\geqslant 8 \end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} x=1\\ y=-1\\ |2\cdot 1+1|\leqslant 8 \end{cases}\\[2ex] &\begin{cases} x,y\in\mathbb{R}\\ |2x+y|\geqslant 8 \end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} x=1\\ y=-1 \end{cases}\\[2ex] &|2x+y|\geqslant 8 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Т.к. \(|2x+y|\geqslant 8\) равносильно \(2x+y\geqslant 8\) или \(2x+y\leqslant -8\), то данная совокупность задает область, состоящую из части плоскости, находящейся не ниже прямой \(y=-2x+8\), из части плоскости, находящейся не выше прямой \(y=-2x-8\), а также из точки \((1;-1)\):


 

2) Преобразуем уравнение системы: \[x^2-4x+y^2=a\quad\Leftrightarrow\quad x^2-4x+4+y^2=a+4\quad\Leftrightarrow\quad (x-2)^2+y^2=a+4\]

Данное уравнение при \(a+4>0\) задает окружность с центром в точке \(O(2;0)\) и радиусом \(R=\sqrt{a+4}\); при \(a+4=0\) задает точку \((2;0)\); при \(a+4<0\) – пустое множество.

 

Т.к. точка \((2;0)\) не попадает в область, заданную неравенством, то при \(a+4\leqslant 0\) система точно не будет иметь решений.

 

3) Рассмотрим случай \(a+4>0\).


 

Система будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда окружность будет иметь ровно одну общую точку с областью. Это возможно в одном из двух случаев:

(1) Если окружность коснется границы области \(y=-2x+8\).
Пусть \(P\) – точка касания (то есть \(OP\perp y=-2x+8\)). Рассмотрим прямоугольный \(\triangle OPQ\), где \(Q=(4;0)\) – точка пересечения прямой \(y=-2x+8\) с осью абсцисс.

 

Т.к. угловой коэффициент прямой \(y=-2x+8\) равен \(-2\), то \(\mathrm{tg}\,\angle PQX=-2\), следовательно, \(\mathrm{tg}\,\angle PQO=2\). Тогда \[\sin \angle PQO=\dfrac{2}{\sqrt5} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{OP}{OQ}=\dfrac2{\sqrt5} \quad \Rightarrow\quad OP=OQ\cdot \dfrac2{\sqrt5}=\dfrac4{\sqrt5}.\]

Т.к. \(OP\) и есть радиус окружности, то \[\dfrac4{\sqrt5}=\sqrt{a+4} \quad \Rightarrow\quad a=-\dfrac45.\]

(2) Если окружность проходит через точку \((1;-1)\).
Это значит, что расстояние между точками \(O\) и \((1;-1)\) равно радиусу окружности, следовательно, \[\sqrt{a+4}=\sqrt{(2-1)^2+(0+1)^2}\quad \Leftrightarrow\quad a=-2.\]

Ответ:

\(\big\{-2;\frac45\big\}\)

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система \[\begin{cases} (x-2a+3)^2+(y-a)^2=2,25\\ (x+3)^2+(y-a)^2=a^2+2a+1 \end{cases}\]

имеет единственное решение.

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Оба уравнения системы при \(a\ne -1\) задают окружности: первое уравнение – окружность с центром в точке \(O(2a-3; a)\) и радиуса \(R_1=1,5\); второе – окружность с центром в точке \(Q(-3;a)\) и радиуса \(R_1=|a+1|\).
При \(a=-1\) второе уравнение задает точку \(A(-3;-1)\), которая не является решением первого уравнения. Следовательно, при \(a=-1\) система не имеет решений, значит, \(a=-1\) – не подходит.

 

Рассмотрим случай, когда \(a\ne-1\).
Система будет иметь единственное решение, когда окружности будут касаться друг друга (внутренним или внешним образом). Заметим, что центры обеих окружностей находятся на прямой \(y=a\). То есть линия центров окружностей параллельна оси абсцисс.

 

1) Пусть окружности касаются внешним образом в точке \(K\). Это одна из двух картинок:


 

Заметим, что, с одной стороны, расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов: \(OQ=|a+1|+1,5\), а с другой стороны, равно \(|-3-(2a-3)|=2|a|\). Получаем уравнение: \[|a+1|+1,5=2|a|\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} a< -1\\ -2a=-a-1+1,5\end{cases}\\ &\begin{cases} -1<a<0\\ -2a=a+1+1,5 \end{cases}\\ &\begin{cases} a\geqslant 0\\ 2a=a+1+1,5 \end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad \Leftrightarrow\quad a=-\dfrac56; \ \dfrac52\]

2) Пусть окружности касаются внутренним образом в точке \(K\). Это также одна из двух картинок (а также симметричные картинки, то есть когда точка касания находится слева):



В этих случаях длина отрезка \(OQ\), с одной стороны, равна \(|-3-(2a-3)|=2|a|\), а с другой стороны, она равна разности радиусов: \(\big|1,5-|a+1|\big|\) (ставим модуль, потому что неизвестно, какой радиус больше, то есть как окружность с центром \(O\) может быть вписана в окружность с центром \(Q\), так и наоборот). Получаем уравнение: \[2|a|=\big|1,5-|a+1|\big| \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} & 2a=|a+1|-1,5\\ &2a=1,5-|a+1| \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad a=-\dfrac12; \ \dfrac16\]

Таким образом, окончательный ответ: \[a\in \left\{-\dfrac56; -\dfrac12; \dfrac16; \dfrac52\right\}\]

Ответ:

 

\(\left\{-\dfrac56; -\dfrac12; \dfrac16; \dfrac52\right\}\)