Математика
Русский язык

18. Задачи с параметром

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение задач с окружностями

Задание 1 #3079
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} x(x^2+y^2-2y-8)=|x|\cdot (2y-8)\\ y=x+a \end{cases}\]

имеет ровно три решения.

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

1) Изобразим график первого уравнения.

 

а) При \(x>0\) уравнение принимает вид: \[x(x^2+y^2-2y-8)=x(2y-8) \quad\Rightarrow\quad x^2+(y-2)^2=4\] Мы получили уравнение окружности (назовем ее \(s\)) с центром в точке \((0;2)\) и радиусом \(2\).

 

б) При \(x=0\) уравнение принимает вид: \[0\cdot (0+y^2-2y-8)=0\cdot (2y-8) \quad\Rightarrow\quad 0=0\] Таким образом, мы получили верное равенство. Следовательно, мы получили множество точек, абсцисса \(x\) которых равна нулю.

 

в) При \(x<0\) уравнение принимает вид: \[x(x^2+y^2-2y-8)=-x(2y-8) \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2=16\] Мы получили уравнение окружности (назовем ее \(S\)) с центром в точке \((0;0)\) и радиусом \(4\).

 

2) Уравнение \(y=x+a\) задает множество прямых, параллельных прямой \(y=x\) (это прямые, угол наклона которых к положительному направлению оси \(Ox\) равен \(45^\circ\)).
Таким образом, получаем такую картинку (голубым цветом изображен график первого уравнения):


 

3) Для того, чтобы система имела 3 решения, нужно, чтобы при некотором фиксированном \(a\) прямая \(y=x+a\) пересекала “голубой график” ровно в трех точках.
Таким образом, нам подходят следующие случаи:
— когда прямая \(y\) находится между \(I\) и \(II\) (не включая эти случаи). Случай \(I\) – касание прямой \(y\) и окружности \(S\). Случай \(II\) – прохождение прямой \(y\) через точку пересечения окружности \(S\) и прямой \(x=0\).
— когда прямая \(y\) находится между \(II\) и \(III\) (не включая \(II\) и включая \(III\)). Случай \(III\) – прохождение прямой \(y\) через точку пересечения окружности \(s\) и прямой \(x=0\).
— когда прямая \(y\) находится в положении \(IV\) – касается окружности \(s\).

 

Рассмотрим каждый из этих случаев по отдельности.

 

Между \(I\) и \(II\).
– Найдем значение \(a\), при котором прямая \(y\) находится в положении \(I\). В этом случае \(a>0\).



Пусть \(A(0;a), \ B(-a;0)\) – точки пересечения \(y\) с осями координат, \(K\) – точка касания. Тогда \(OK\perp AB\) (как радиус, проведенный в точку касания). Длина \(OA=a\), \(OB=a\), \(OK=4\), \(\triangle AOB\) прямоугольный. Тогда \(AB=a\sqrt2\). Тогда \[S_{\triangle AOB}=\dfrac12 OK\cdot AB=\dfrac12 OB\cdot OA \quad\Rightarrow\quad a=4\sqrt2.\] – Найдем значение \(a\), при котором прямая \(y\) находится в положении \(II\). В этом случае \(y\) проходит через точку \((0;4)\), следовательно, \[4=0+a \quad\Rightarrow\quad a=4\]

Таким образом, нам подходят значения \(a\in (4;4\sqrt2)\).

 

Между \(II\) и \(III\).
– Найдем \(a\), при котором прямая \(y\) находится в положении \(III\). В этом случае она проходит через точку \((0;0)\), то есть \(a=0\).

 

Таким образом, нам подходят \(a\in [0;4)\).

 

Положение \(IV\).



В этом случае \(a<0\). Пусть \(Q\) – центр окружности \(s\), \(P\) – точка касания, \(C\) – точка пересечения \(y\) с осью ординат. Тогда \(\triangle QPC\) – прямоугольный. Ранее мы говорили, что прямая \(y\) наклонена к положительному направлению оси \(Ox\) под углом \(45^\circ\), откуда будет следовать, что и \(\angle QCP=45^\circ\). Радиус \(QP=2\), отрезок \(OC=-a\) (так как \(a<0\)), \(QO=2\). Следовательно, \[\sin\angle QCP=\sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt2}2=\dfrac{QP}{QC}= \dfrac{2}{2-a} \quad\Rightarrow\quad a=-2\sqrt2+2.\]

Таким образом, обобщая все решение, находим ответ: \[a\in \{-2\sqrt2+2\}\cup[0;4)\cup(4;4\sqrt2).\]

Ответ:

\(\{-2\sqrt2+2\}\cup[0;4)\cup(4;4\sqrt2)\)

Задание 2 #3202
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система \[\begin{cases} (x-2a+3)^2+(y-a)^2=2,25\\ (x+3)^2+(y-a)^2=a^2+2a+1 \end{cases}\]

имеет единственное решение.

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Оба уравнения системы при \(a\ne -1\) задают окружности: первое уравнение – окружность с центром в точке \(O(2a-3; a)\) и радиуса \(R_1=1,5\); второе – окружность с центром в точке \(Q(-3;a)\) и радиуса \(R_1=|a+1|\).
При \(a=-1\) второе уравнение задает точку \(A(-3;-1)\), которая не является решением первого уравнения. Следовательно, при \(a=-1\) система не имеет решений, значит, \(a=-1\) – не подходит.

 

Рассмотрим случай, когда \(a\ne-1\).
Система будет иметь единственное решение, когда окружности будут касаться друг друга (внутренним или внешним образом). Заметим, что центры обеих окружностей находятся на прямой \(y=a\). То есть линия центров окружностей параллельна оси абсцисс.

 

1) Пусть окружности касаются внешним образом в точке \(K\). Это одна из двух картинок:


 

Заметим, что, с одной стороны, расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов: \(OQ=|a+1|+1,5\), а с другой стороны, равно \(|-3-(2a-3)|=2|a|\). Получаем уравнение: \[|a+1|+1,5=2|a|\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} a< -1\\ -2a=-a-1+1,5\end{cases}\\ &\begin{cases} -1<a<0\\ -2a=a+1+1,5 \end{cases}\\ &\begin{cases} a\geqslant 0\\ 2a=a+1+1,5 \end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad \Leftrightarrow\quad a=-\dfrac56; \ \dfrac52\]

2) Пусть окружности касаются внутренним образом в точке \(K\). Это также одна из двух картинок (а также симметричные картинки, то есть когда точка касания находится слева):



В этих случаях длина отрезка \(OQ\), с одной стороны, равна \(|-3-(2a-3)|=2|a|\), а с другой стороны, она равна разности радиусов: \(\big|1,5-|a+1|\big|\) (ставим модуль, потому что неизвестно, какой радиус больше, то есть как окружность с центром \(O\) может быть вписана в окружность с центром \(Q\), так и наоборот). Получаем уравнение: \[2|a|=\big|1,5-|a+1|\big| \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} & 2a=|a+1|-1,5\\ &2a=1,5-|a+1| \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad a=-\dfrac12; \ \dfrac16\]

Таким образом, окончательный ответ: \[a\in \left\{-\dfrac56; -\dfrac12; \dfrac16; \dfrac52\right\}\]

Ответ:

 

\(\left\{-\dfrac56; -\dfrac12; \dfrac16; \dfrac52\right\}\)

 

Задание 3 #3977
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при которых система \[\begin{cases} (2x^2-4x+3y^2+6y+5)(8-|2x+y|)\leqslant 0\\ x^2-4x+y^2=a \end{cases}\]

имеет единственное решение.

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

1) Преобразуем неравенство системы:

 

\((2x^2-4x+2+3y^2+6y+3-2-3+5)(8-|2x+y|)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\)  

\(\Leftrightarrow\quad (2(x-1)^2+3(y+1)^2)(8-|2x+y|)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\)  

\(\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} 2(x-1)^2+3(y+1)^2\leqslant 0\\ 8-|2x+y|\geqslant 0\end{cases}\\[2ex] &\begin{cases} 2(x-1)^2+3(y+1)^2\geqslant 0\\ 8-|2x+y|\leqslant 0\end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right.\)

 

Т.к. сумма квадратов всегда неотрицательна, то данная совокупность равносильна:

\[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} 2(x-1)^2+3(y+1)^2=0\\ |2x+y|\leqslant 8 \end{cases}\\[2ex] &\begin{cases} 2(x-1)^2+3(y+1)^2\geqslant 0\\ |2x+y|\geqslant 8 \end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} x=1\\ y=-1\\ |2\cdot 1+1|\leqslant 8 \end{cases}\\[2ex] &\begin{cases} x,y\in\mathbb{R}\\ |2x+y|\geqslant 8 \end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} x=1\\ y=-1 \end{cases}\\[2ex] &|2x+y|\geqslant 8 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Т.к. \(|2x+y|\geqslant 8\) равносильно \(2x+y\geqslant 8\) или \(2x+y\leqslant -8\), то данная совокупность задает область, состоящую из части плоскости, находящейся не ниже прямой \(y=-2x+8\), из части плоскости, находящейся не выше прямой \(y=-2x-8\), а также из точки \((1;-1)\):


 

2) Преобразуем уравнение системы: \[x^2-4x+y^2=a\quad\Leftrightarrow\quad x^2-4x+4+y^2=a+4\quad\Leftrightarrow\quad (x-2)^2+y^2=a+4\]

Данное уравнение при \(a+4>0\) задает окружность с центром в точке \(O(2;0)\) и радиусом \(R=\sqrt{a+4}\); при \(a+4=0\) задает точку \((2;0)\); при \(a+4<0\) – пустое множество.

 

Т.к. точка \((2;0)\) не попадает в область, заданную неравенством, то при \(a+4\leqslant 0\) система точно не будет иметь решений.

 

3) Рассмотрим случай \(a+4>0\).


 

Система будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда окружность будет иметь ровно одну общую точку с областью. Это возможно в одном из двух случаев:

(1) Если окружность коснется границы области \(y=-2x+8\).
Пусть \(P\) – точка касания (то есть \(OP\perp y=-2x+8\)). Рассмотрим прямоугольный \(\triangle OPQ\), где \(Q=(4;0)\) – точка пересечения прямой \(y=-2x+8\) с осью абсцисс.

 

Т.к. угловой коэффициент прямой \(y=-2x+8\) равен \(-2\), то \(\mathrm{tg}\,\angle PQX=-2\), следовательно, \(\mathrm{tg}\,\angle PQO=2\). Тогда \[\sin \angle PQO=\dfrac{2}{\sqrt5} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{OP}{OQ}=\dfrac2{\sqrt5} \quad \Rightarrow\quad OP=OQ\cdot \dfrac2{\sqrt5}=\dfrac4{\sqrt5}.\]

Т.к. \(OP\) и есть радиус окружности, то \[\dfrac4{\sqrt5}=\sqrt{a+4} \quad \Rightarrow\quad a=-\dfrac45.\]

(2) Если окружность проходит через точку \((1;-1)\).
Это значит, что расстояние между точками \(O\) и \((1;-1)\) равно радиусу окружности, следовательно, \[\sqrt{a+4}=\sqrt{(2-1)^2+(0+1)^2}\quad \Leftrightarrow\quad a=-2.\]

Ответ:

\(\big\{-2;-\frac45\big\}\)

Задание 4 #3980
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при которых система \[\begin{cases} \left(|x|-3\right)^2+\left(|y|-2\right)^2=1\\ y=ax+1\\xy<0\end{cases}\] имеет ровно два решения.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим первое уравнение системы. Оно задает 4 окружности. Действительно, пусть \(x>0, y>0\). Тогда уравнение примет вид \((x-3)^2+(y-2)^2=1\) – это окружность с центром в точке \(O_1(3;2)\) и \(r=1\).
Если \(x<0, y>0\), то уравнение примет вид \((x+3)^2+(y-2)^2=1\) – и это уравнение окружности с центром \(O_2(-3;2)\) и \(r=1\). И т.д.
Таким образом, получаем:


Рассмотрим третье неравенство системы \(xy<0\). Следовательно, либо \(x>0, y<0\), либо \(x<0, y>0\). Таким образом, учитывая это неравенство, остаются только две окружности: в \(IV\) и \(II\) четвертях. Уравнение \(y=ax+1\) задает прямую, у которой неизвестен угловой коэффициент, и которая проходит через точку \((0;1)\):


Какие у нас могут быть случаи пересечения прямой с этими окружностями так, чтобы в итоге было ровно две точки пересечения?
а) прямая пересекает одну окружность, а вторую – нет;
б) прямая касается обеих окружностей.
Заметим, что так как окружности расположены симметрично относительно начала координат, то для того, чтобы прямая могла одновременно касаться обеих окружностей, она должна проходить через начало координат (то есть она тоже должна быть симметрична относительно начала координат). Наша прямая через начало координат не проходит. Следовательно, она не может касаться обеих окружностей сразу. Значит, случай б) невозможен. Остается только случай а).
Таким образом, нам нужно для начала рассмотреть все ситуации, когда прямая будет касаться какой-то из окружностей.


\((1)\) и \((2)\) – случаи, когда прямая касается второй окружности (будем ее так называть, потому что у нее центр в \(O_2\)); \((3)\) и \((4)\) – случаи, когда прямая касается четвертой окружности.
Заметим, что эти случаи по возрастанию параметра \(a\) можно упорядочить так: \((4)\rightarrow(1)\rightarrow(3)\rightarrow(2)\).
Таким образом, нам нужны будут значения параметра, принадлежащие \((a_{4}; a_{1})\) и \((a_{3}; a_{2})\) (здесь \(a_{i}\) – значения параметра \(a\), которое соответствует расположению прямой в случае \((i)\)).
Значит, найдем \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\).
Найдем значения \(a\), когда прямая \(y=ax+1\) касается второй окружности: \[\begin{cases} (x+3)^2+(y-2)^2=1\\ y=ax+1\end{cases}\quad\Rightarrow\quad (a^2+1)x^2+2(3-a)x+9=0\] Так как прямая и окружность касаются, то есть имеют одну точку пересечения, то полученное уравнение должно иметь один корень, следовательно, его дискриминант должен быть равен нулю: \[D=0\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac34; \ 0\] Значит, \(a_2=0; a_1=-\frac34\).
Аналогично найдем, что \(a_3=\frac{-9+\sqrt{17}}8\), \(a_4=\frac{-9-\sqrt{17}}8\).
Следовательно, ответ: \[a\in \left(\dfrac{-9-\sqrt{17}}8; -\dfrac34\right)\cup\left(\dfrac{-9+\sqrt{17}}8; 0\right)\]

Ответ:

\(a\in \left(\frac{-9-\sqrt{17}}8; -\frac34\right)\cup\left(\frac{-9+\sqrt{17}}8; 0\right)\)