Математика
Русский язык

12. Исследование функций с помощью производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Поиск точек экстремума у элементарных функций

\(\blacktriangleright\) Простейшие элементарные функции (ПЭФ) и их производные: \[\begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{1} & c & 0\\&&\\ \textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\ \textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\ \textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\ \textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf{8} & \cos x & -\sin x\\[1ex] \hline \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\ \textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\ \textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\ \textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[0.5ex] \hline \end{array}\]

 

\(\blacktriangleright\) Элементарные функции (ЭФ) — любые линейные комбинации простейших элементарных функций (то есть их сумма, разность, умножение на число).

 

Пример: \(f(x)=4\cos x +\dfrac{x^3}2\)

 

\(\blacktriangleright\) Основные формулы поиска производной (\(f=f(x), g=g(x)\) – функции):

 

1. Умножение функции на число: \[(c\cdot f)'=c\cdot f'\]

 

2. Сумма или разность двух функций: \[(f\pm g)'=f'\pm g'\]

 

\(\blacktriangleright\) Хитрости, упрощающие поиск производной:

 

I. Т.к. \(\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac mn}\), то производную этой функции можно искать по формуле (2).

 

Частный случай: \(\sqrt x =x^{\frac12}\): \[(\sqrt x)'=\dfrac1{2\sqrt x}\]

 

II. Т.к. \(\dfrac1{x^a}=x^{-a}\), то производную этой функции можно также искать по формуле (2): \[\left(\dfrac1{x^a}\right)'=-\dfrac a{x^{a+1}}\]

 

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти точки экстремума, необходимо схематично изобразить график функции.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f'>0\)) и убывания (\(f'<0\)) функции, критические точки (где \(f'=0\) или \(f'\) не существует).

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите точку максимума функции \(y = -x^2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = -2x\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика:


 

Таким образом, \(x = 0\) – точка максимума функции \(y\).

Ответ: 0

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите точку минимума функции \(y = x^2 + 2x + 2\) на отрезке \([-2; 2]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = 2x + 2\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[2x + 2 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = -1\,.\] Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([-2; 2]\):


 

4) Эскиз графика на отрезке \([-2; 2]\):


 

Таким образом, \(x = -1\) – точка минимума функции \(y\) на \([-2; 2]\).

Ответ: -1

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите точку минимума функции \(y = 3x^2 - 6x + \pi\) на отрезке \([-3; 3]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = 6x - 6\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[6x - 6 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 1\,.\] Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([-3; 3]\):


 

4) Эскиз графика на отрезке \([-3; 3]\):


 

Таким образом, \(x = 1\) – точка минимума функции \(y\) на \([-3; 3]\).

Ответ: 1

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального минимума функции \(y = x^3 - 3x\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = 3x^2 - 3\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[3x^2 - 3 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \pm 1\,.\] Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика \(y\):


 

Таким образом, \(x = 1\) – точка локального минимума функции \(y\).

Ответ: 1

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального максимума функции

\(y = x^3 - 15x^2 + 48x + e\).

Добавить задание в избранное

1) \(y' = 3x^2 - 30x + 48 = 3(x^2 - 10x + 16)\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):

\[3(x^2 - 10x + 16) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 10x + 16 = 0,\] откуда находим \(x_1 = 2, \ x_2 = 8\). Таким образом, \[y' = 3(x - 2)(x - 8).\] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика \(y\):


 

Таким образом, \(x = 2\) – точка локального максимума функции \(y\).

Ответ: 2

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального максимума функции \(y = \dfrac{1}{3}x^3 - 8x^2 + 55x + 11\).

Добавить задание в избранное

1) \(y' = x^2 - 16x + 55\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):

\(x^2 - 16x + 55 = 0\), откуда находим корни \(x_1 = 5, \ x_2 = 11\). Таким образом, \[y' = (x-5)(x-11).\] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика \(y\):


 

Таким образом, \(x = 5\) – точка локального максимума функции \(y\).

Ответ: 5

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального минимума функции \(y = \dfrac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8x + 2\).

Добавить задание в избранное

1) \(y' = x^2 - 6x + 8\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):

\(x^2 - 6x + 8 = 0\), откуда находим корни \(x_1 = 2, \ x_2 = 4\). Таким образом, \[y' = (x-2)(x-4).\] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика \(y\):


 

Таким образом, \(x = 4\) – точка локального минимума функции \(y\).

Ответ: 4

1 2

Задачи, при выполнении которых требуется найти точки экстремума у элементарных функций, в ЕГЭ по математике включаются каждый год. Уметь справляться с ними должны школьники, сдающие как базовый уровень экзамена, так и профильный. Научившись безошибочно находить максимум и минимум элементарной функции в задачах ЕГЭ, выпускники смогут выполнить задание и получить конкурентные баллы.

Восполнить пробелы в знаниях и лучше усвоить информацию вам поможет образовательный проект «Школково». Чтобы учащимся было легче справляться с задачами ЕГЭ, в которых необходимо найти минимум и максимум элементарной функции, мы предлагаем прежде всего повторить определения и основные правила. Эту информацию мы разместили в разделе «Теоретическая справка». Здесь собран материал, подготовленный нашими специалистами для выпускников средних школ.

Чтобы закрепить усвоенную информацию и научиться справляться с задачами в ЕГЭ, выполните упражнения, в которых требуется найти точки экстремума у элементарных функций. Богатая подборка задач представлена в разделе «Каталог». Задания здесь регулярно обновляются и дополняются. Выполнить упражнения на нахождение точек экстремума у элементарных функций, которые встречаются в ЕГЭ, можно в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России.