Математика
Русский язык

12. Исследование функций с помощью производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Поиск точек экстремума у элементарных функций (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Простейшие элементарные функции (ПЭФ) и их производные: \[\begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{1} & c & 0\\&&\\ \textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\ \textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\ \textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\ \textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf{8} & \cos x & -\sin x\\[1ex] \hline \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\ \textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\ \textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\ \textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[0.5ex] \hline \end{array}\]

 

\(\blacktriangleright\) Элементарные функции (ЭФ) — любые линейные комбинации простейших элементарных функций (то есть их сумма, разность, умножение на число).

 

Пример: \(f(x)=4\cos x +\dfrac{x^3}2\)

 

\(\blacktriangleright\) Основные формулы поиска производной (\(f=f(x), g=g(x)\) – функции):

 

1. Умножение функции на число: \[(c\cdot f)'=c\cdot f'\]

 

2. Сумма или разность двух функций: \[(f\pm g)'=f'\pm g'\]

 

\(\blacktriangleright\) Хитрости, упрощающие поиск производной:

 

I. Т.к. \(\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac mn}\), то производную этой функции можно искать по формуле (2).

 

Частный случай: \(\sqrt x =x^{\frac12}\): \[(\sqrt x)'=\dfrac1{2\sqrt x}\]

 

II. Т.к. \(\dfrac1{x^a}=x^{-a}\), то производную этой функции можно также искать по формуле (2): \[\left(\dfrac1{x^a}\right)'=-\dfrac a{x^{a+1}}\]

 

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти точки экстремума, необходимо схематично изобразить график функции.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f'>0\)) и убывания (\(f'<0\)) функции, критические точки (где \(f'=0\) или \(f'\) не существует).

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального минимума функции \(y = x^{1,25} - 5x + 12\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \geq 0\). Решим на ОДЗ:

1) \(y' = 1,25x^{0,25} - 5\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):

\[1,25x^{0,25} - 5 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 1,25x^{0,25} = 5.\] Возводя последнее уравнение в 4 степень, находим \(x = 256\). Проверкой убеждаемся, что \(x = 256\) – корень уравнения \(1,25x^{0,25} - 5 = 0\).

Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика \(y\):


 

Таким образом, \(x = 256\) – точка локального минимума функции \(y\).

Ответ: 256

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите точку минимума функции

\(y = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x - 1\).

Добавить задание в избранное

1) \(y' = 4x^3 + 12x^2 + 12x + 4 = 4(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = 4(x + 1)^3\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):

\[4(x + 1)^3 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x + 1)^3 = 0,\] откуда находим \(x = -1\). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика \(y\):


 

Таким образом, \(x = -1\) – точка минимума функции \(y\).

Ответ: -1