Математика
Русский язык

Тренировочные варианты. Первая часть.

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты "Школково". Тренировочный вариант №5

Задание 1

Женя доехал из пункта А в пункт В на велосипеде за \(140\) минут. Известно, что посреди пути он делал привал. Найдите среднюю скорость Жени на пути из А в В, если расстояние между А и В равно \(21\) км. Ответ дайте в км/ч.

Средняя скорость есть отношение всего пути к затраченному на него времени. На путь из А в В Женя затратил \(140\) минут, что составляет \(\dfrac{140}{60} =\dfrac{7}{3}\) часа, тогда средняя скорость Жени на пути из А в В равна \[21 : \dfrac{7}{3} = 9\, \text{км/ч}\,.\]

Ответ: 9

Задание 2

На плоскости \(Oxv\) показана взаимосвязь скорости \(v\) материальной точки и её положения \(x\). Определите наибольшую скорость, с которой точка может пройти положение \(x = 3\).

Для ответа на поставленный вопрос надо найти на данной кривой точку, у которой \(x = 3\). Такая точка одна: \(P(3; 3)\).



При этом скорость в точке \(P\) равна \(3\).

Ответ: 3

Задание 3

Миша решает задачу по геометрии. У него получилось, что треугольник \(T_1\) подобен треугольнику \(T_2\), причём коэффициент подобия этих треугольников \(k_{1,2} = 4\). Кроме того, треугольник \(T_1\) оказался подобен треугольнику \(T_3\), причём коэффициент подобия этих треугольников \(k_{1,3} = 8\). Известно, что периметр треугольника \(T_1\) больше, чем периметр любого из треугольников \(T_2\) и \(T_3\). Во сколько раз площадь треугольника \(T_1\) больше, чем сумма площадей треугольников \(T_2\) и \(T_3\)?

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту их подобия, тогда \[\dfrac{P_{T_1}}{P_{T_2}} = 4,\qquad\qquad \dfrac{P_{T_1}}{P_{T_3}} = 8\,.\]

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия, тогда \[\dfrac{S_{T_1}}{S_{T_2}} = 4^2 = 16,\qquad\qquad \dfrac{S_{T_1}}{S_{T_3}} = 8^2 = 64\,,\] откуда получаем \[S_{T_2} = \dfrac{S_{T_1}}{16},\qquad\qquad S_{T_3} = \dfrac{S_{T_1}}{64}\,,\] следовательно, \[\dfrac{S_{T_1}}{S_{T_2} + S_{T_3}} = S_{T_1} : \left(\dfrac{S_{T_1}}{16} + \dfrac{S_{T_1}}{64}\right) = \dfrac{64}{5} = 12,8\]

Ответ: 12,8

Задание 4

Таня заметила, что в казино “Подкинем” используют неправильную игральную кость (т.е. не у всех граней вероятности выпадения одинаковы). При этом она установила, что вероятность выпадения чётного числа равна \(0,6\); вероятность выпадения числа, делящегося на \(3\), равна \(0,3\); вероятность того, что выпадет \(1\) или \(5\), равна \(0,22\). Найдите вероятность того, что на этой игральной кости выпадет число \(3\). Ответ округлите до сотых.

Вероятность выпадения числа \(n\) обозначим через \(P(\{n\})\), вероятность выпадения одного из чисел \(m\) и \(n\) обозначим через \(P(\{m; n\})\), а вероятность выпадения одного из чисел \(m\), \(n\) и \(k\) обозначим через \(P(\{m; n; k\})\). Тогда \[P(\{2; 4; 6\}) = 0,6\qquad\Leftrightarrow\qquad P(\{1; 3; 5\}) = 1 - 0,6 = 0,4\]

При этом \(P(\{1; 5\}) = 0,22\), но ведь \(P(\{1; 3; 5\}) - P(\{1; 5\}) = P(\{3\})\), следовательно, \[P(\{3\}) = 0,4 - 0,22 = 0,18\,.\]

Ответ: 0,18

Задание 5

Решите уравнение \[- 2^{(2^x)} - 2 = -2^{2\cdot (2^x)}\,.\] Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите наименьший из них.

Сделаем замену \(t = 2^{(2^x)}\), \(t > 0\).

Так как при любом \(a\in\mathbb{R}\) выполнено \(2^{2a} = (2^a)^2\), то \(2^{2\cdot (2^x)} = \left(2^{(2^x)}\right)^2\), следовательно, уравнение примет вид \[t^2 - t - 2 = 0\]

Корни этого уравнения \(t_1 = -1\), \(t_2 = 2\), но \(t > 0\), следовательно, \(t_1\) – не подходит.

Так как \[2^a = 2\qquad\Leftrightarrow\qquad a = 1\,,\] то \[2^{(2^x)} = 2\qquad\Leftrightarrow\qquad (2^x) = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\]

Ответ: 0

Задание 6

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB = 2BC\), \(\angle BAC = 30^\circ\). Найдите \(\dfrac{AC^2}{BC^2}\). Если задача допускает несколько ответов – запишите полусумму наименьшего и наибольшего из них.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы. В данном случае известно, что в треугольнике \(ABC\) сторона, лежащая против угла в \(30^\circ\), равна половине другой стороны. Значит ли это, что треугольник \(ABC\) обязательно прямоугольный? Подобного рода умозаключения в общем случае очень опасны, так как часто попросту неверны.

 

Но в данном конкретном случае нам повезло: докажем, что треугольник \(ABC\) – прямоугольный. В самом деле, если опустить перпендикуляр \(BH\) из точки \(B\) на прямую, содержащую \(AC\), то окажется, что \(BH = 0,5AB = BC\).


 

Но если при этом \(BH\) и \(BC\) не совпадают, то \(HBC\) – прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза \(BC\) равна катету \(BH\), чего быть не может, следовательно, \(BH\) и \(BC\) совпадают и треугольник \(ABC\) – прямоугольный.

По теореме Пифагора в треугольнике \(ABC\): \[AB^2 = BC^2 + AC^2\quad\Leftrightarrow\quad 4BC^2 = BC^2 + AC^2\quad\Leftrightarrow\quad AC^2 = 3BC^2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{AC^2}{BC^2} = 3\,.\]

Ответ: 3

Задание 7

Какой наибольший угол может составлять касательная к графику функции \(y = 2\sin \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)\) с графиком функции \(y = 0\)? Ответ дайте в градусах.

Обозначим угол между касательной к графику функции \(y = 2\sin \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)\) в точке с абсциссой \(x_0\) и прямой \(y = 0\) через \(\alpha(x_0)\), а угол наклона касательной к графику этой же функции в той же точке через \(\beta(x_0)\). Тогда \(\alpha(x_0) = \) меньшему из углов \(\beta(x_0)\) и \(180^\circ - \beta(x_0)\), следовательно,

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\mathrm{tg}\,(\alpha(x_0)) = \mathrm{tg}\,(\beta(x_0))\\ &\mathrm{tg}\,(\alpha(x_0)) = \mathrm{tg}\,(180^\circ - \beta(x_0)) = -\mathrm{tg}\,(\beta(x_0)) \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Но \(\alpha(x_0)\in[0; 90^\circ]\), тогда \(\mathrm{tg}\,(\alpha(x_0))\geqslant 0\) и чем больше \(\mathrm{tg}\,(\alpha(x_0))\), тем больше \(\alpha(x_0)\).

Так как \(f'(x_0)\) – тангенс угла наклона касательной к графику функции \(y = f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\), то \[\mathrm{tg}\,(\beta(x_0)) = y'(x_0) = \sqrt{3}\cdot \cos \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}x_0\right)\]

Если \(\mathrm{tg}\,(\alpha(x_0)) = \mathrm{tg}\,(\beta(x_0))\), то наибольшее значение \(\mathrm{tg}\,(\alpha(x_0))\) равно \(\sqrt{3}\). Если \(\mathrm{tg}\,(\alpha(x_0)) = -\mathrm{tg}\,(\beta(x_0))\), то наибольшее значение \(\mathrm{tg}\,(\alpha(x_0))\) тоже равно \(\sqrt{3}\). Тогда наибольшее значение \(\alpha\) равно \(\mathrm{arctg}\, \sqrt{3}\).

Таким образом, искомый ответ: \(60^\circ\).

Ответ: 60

Задание 8

Точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат в плоскости \(\pi\). Прямая \(l\) образует с плоскостью \(\pi\) угол в \(45^\circ\) и проходит через точку \(B\) так, что \(\angle(l; AB) = \angle(l; BC)\). Через \(l'\) обозначим проекцию \(l\) на \(\pi\). Найдите \(\angle(l'; AB)\), если \(\angle ABC = 80^\circ\). Ответ дайте в градусах.

Докажем, что \(l'\) содержит биссектрису угла \(ABC\). Выберем на \(AB\) точку \(A'\), а на \(BC\) точку \(C'\) так, чтобы \(A'B = BC'\). Построим прямую, проходящую через точку \(B\) и точку \(H\) – середину \(A'C'\).

Отметим на \(l\) точку \(M\). Треугольник \(A'BC'\) – равнобедренный, тогда \(BH\) – высота.

Рассмотрим треугольники \(A'BM\) и \(C'BM\): они равны по двум сторонам и углу между ними, тогда \(MA' = MC'\) и треугольник \(A'MC'\) – равнобедренный, тогда \(MH\) – его высота.

В итоге \(A'C'\perp BH\) и \(A'C'\perp MH\), следовательно, \(A'C'\perp (MBH)\). Если предположить, что \(M'\) – проекция точки \(M\) на \((A'BC')\), не попадает на прямую, содержащую \(BH\), то получим, что \(A'C'\perp M'M\) и \(A'C'\perp MH\), откуда следует, что \(A'C'\perp (MM'H)\). Но тогда плоскости \((MM'H)\) и \((MBH)\) перпендикулярны к одной прямой, пересекаются, но не совпадают, чего быть не может.

Таким образом, \(M'\) лежит на прямой, содержащей \(BH\), но тогда \(l'\) совпадает с прямой, содержащей \(BH\). В итоге, \(\angle(l'; AB) = 0,5\angle ABC = 40^\circ\).

Ответ: 40

Задание 9

Найдите значение выражения \(a^4 + a^2b^2 + b^4\), если \(a\) и \(b\) – различные корни уравнения \(x^2 - \sqrt[4]{7}x - 3\sqrt{7} = 0\).

Выражение \(a^4 + a^2b^2 + b^4\) представляет собой неполный квадрат суммы \(a^2\) и \(b^2\). Тогда \[a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - a^2b^2\,.\] При этом \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\), тогда \[a^4 + a^2b^2 + b^4 = ((a + b)^2 - 2ab)^2 - a^2b^2\,.\]

По теореме Виета: \(a + b = \sqrt[4]{7}\), \(ab = -3\sqrt{7}\), тогда \[a^4 + a^2b^2 + b^4 = \bigl((\sqrt[4]{7})^2 - 2\cdot(-3\sqrt{7})\bigr)^2 - (-3\sqrt{7})^2 = (7\sqrt{7})^2 - (-3\sqrt{7})^2 = 280\,.\]

Ответ: 280

Задание 10

Материальная точка \(P\) движется по прямой так, что её скорость в каждый момент времени \(t\) может быть найдена по формуле \(\vec{v}(t) = (x^2(t) + x(t) + t)\vec{e}_x\), где \(x(t)\) – координата точки \(P\). Известно, что при \(t\in(-1; 0)\) точка двигалась в направлении \(\vec{e}_x\), а при \(t\in(0; 1)\) – в противоположную сторону. Найдите \(x(0)\), если известно, что через положение \(x = 0\) точка не проходила.

Так как при \(t\in(-1; 0)\) точка двигалась в направлении \(\vec{e}_x\), а при \(t\in(0; 1)\) – в противоположную сторону, то в момент \(t = 0\) скорость точки должна быть равной \(0\), откуда \[x^2(0) + x(0) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x(0) = 0\\ x(0) = -1\,, \end{gathered} \right.\] но положение \(x = 0\) точка не проходила, следовательно, ответ: \(x(0) = -1\).

Ответ: -1

Задание 11

Бегун Вася установил рекорд на дистанции \(L\) метров, пробежав её с постоянной скоростью \(v\) км/ч (его время наименьшее за всю историю человечества). Илья хочет повторить результат Васи или побить его рекорд. Он знает, что в течение некоторого времени он сможет поддерживать скорость \(1,2v\) км/ч, а потом его скорость упадёт до \(0,8v\) км/ч и сохранится такой до конца дистанции. Какую часть дистанции Илья должен поддерживать скорость \(1,2v\) км/ч, чтобы результат его устроил? Если в задаче возможны несколько ответов – выберите наименьший.

Обозначим через \(l\) км длину первого участка (где скорость Ильи равна \(1,2v\) км/ч), тогда суммарное время Ильи на всей дистанции равно \[\dfrac{l}{1,2v} + \dfrac{L - l}{0,8v}\]

Так как Илью устроит любое время, не большее, чем у Васи, то \[\dfrac{l}{1,2v} + \dfrac{L - l}{0,8v}\leqslant \dfrac{L}{v}\,,\] что равносильно \[0,8l + 1,2(L - l)\leqslant 0,96L\qquad\Leftrightarrow\qquad l\geqslant 0,6L\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{l}{L}\geqslant 0,6\,.\]

Таким образом, наименьший ответ равен \(0,6\).

Ответ: 0,6

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции \(y = -x^4 + 4x^3 - x^2 + 2x + 11\) на отрезке \([0; 2]\).

\[y' = -4x^3 + 12x^2 - 2x + 2 = (-4x^3 + 11x^2) + (x^2 - 2x + 1) + 1 = x^2(11 - 4x) + (x - 1)^2 + 1\]

На отрезке \([0; 2]\) все слагаемые в полученной выше сумме неотрицательны, а последнее слагаемое даже положительно, следовательно, \(y' > 0\) на отрезке \([0; 2]\).

Таким образом, \(y\) возрастает на отрезке \([0; 2]\), следовательно, наибольшее на отрезке \([0; 2]\) значение рассматриваемая функция принимает при \(x = 2\): \[y(2) = -16 + 32 - 4 + 4 + 11 = 27\,.\]

Ответ: 27