Обозначим угол между касательной к графику функции \(y = 2\sin \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)\) в точке с абсциссой \(x_0\) и прямой \(y = 0\) через \(\alpha(x_0)\), а угол наклона касательной к графику этой же функции в той же точке через \(\beta(x_0)\). Тогда \(\alpha(x_0) = \) меньшему из углов \(\beta(x_0)\) и \(180^\circ - \beta(x_0)\), следовательно,
\[\left[
\begin{gathered}
\begin{aligned}
&\mathrm{tg}\,(\alpha(x_0)) = \mathrm{tg}\,(\beta(x_0))\\
&\mathrm{tg}\,(\alpha(x_0)) = \mathrm{tg}\,(180^\circ - \beta(x_0)) = -\mathrm{tg}\,(\beta(x_0))
\end{aligned}
\end{gathered}
\right.\]
Но \(\alpha(x_0)\in[0; 90^\circ]\), тогда \(\mathrm{tg}\,(\alpha(x_0))\geqslant 0\) и чем больше \(\mathrm{tg}\,(\alpha(x_0))\), тем больше \(\alpha(x_0)\).
Так как \(f'(x_0)\) – тангенс угла наклона касательной к графику функции \(y = f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\), то \[\mathrm{tg}\,(\beta(x_0)) = y'(x_0) = \sqrt{3}\cdot \cos \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}x_0\right)\]
Если \(\mathrm{tg}\,(\alpha(x_0)) = \mathrm{tg}\,(\beta(x_0))\), то наибольшее значение \(\mathrm{tg}\,(\alpha(x_0))\) равно \(\sqrt{3}\). Если \(\mathrm{tg}\,(\alpha(x_0)) = -\mathrm{tg}\,(\beta(x_0))\), то наибольшее значение \(\mathrm{tg}\,(\alpha(x_0))\) тоже равно \(\sqrt{3}\). Тогда наибольшее значение \(\alpha\) равно \(\mathrm{arctg}\, \sqrt{3}\).
Таким образом, искомый ответ: \(60^\circ\).
Ответ: 60