Математика
Русский язык

18. Задачи с параметром

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Монотонность функций

\(\blacktriangleright\) Функция \(f(x)\) называется возрастающей на промежутке \(X\), если для любых \(x_1, x_2\in X\), таких что \(x_1<x_2\), выполнено \(f(x_1)<f(x_2)\).



Функция называется неубывающей на промежутке \(X\), если для любых \(x_1, x_2\in X\), таких что \(x_1<x_2\), выполнено \(f(x_1)\leq f(x_2)\).



\(\blacktriangleright\) Функция \(f(x)\) называется убывающей на промежутке \(X\), если для любых \(x_1, x_2\in X\), таких что \(x_1<x_2\), выполнено \(f(x_1)>f(x_2)\).



Функция называется невозрастающей на промежутке \(X\), если для любых \(x_1, x_2\in X\), таких что \(x_1<x_2\), выполнено \(f(x_1)\geq f(x_2)\).



\(\blacktriangleright\) Возрастающие и убывающие функции называют строго монотонными, а невозрастающие и неубывающие — просто монотонными.

\(\blacktriangleright\) Основные свойства:

I. Если функция \(f(x)\) — строго монотонна на \(X\), то из равенства \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\)) следует \(f(x_1)=f(x_2)\), и наоборот.

Пример: функция \(f(x)=\sqrt x\) является строго возрастающей при всех \(x\in [0;+\infty)\), поэтому из равенства \(\sqrt x=\sqrt 4\) следует \(x=4\).

II. Если функция \(f(x)\) — строго монотонна на \(X\), то уравнение \(f(x)=c\), где \(c\) — некоторое число, всегда имеет не более одного решения на \(X\).

Пример: функция \(f(x)=x^2\) является строго убывающей при всех \(x\in (-\infty;0]\), поэтому уравнение \(x^2=9\) имеет на этом промежутке не более одного решения, а точнее одно: \(x=-3\).

функция \(f(x)=-\dfrac 1{x+1}\) является строго возрастающей при всех \(x\in (-1;+\infty)\), поэтому уравнение \(-\dfrac 1{x+1}=0\) имеет на этом промежутке не более одного решения, а точнее ни одного, т.к. числитель левой части никогда не может быть равен нулю.

III. Если функция \(f(x)\) — неубывает (невозрастает) и непрерывна на отрезке \([a;b]\), причем на концах отрезка она принимает значения \(f(a)=A, f(b)=B\), то при \(C\in [A;B]\) (\(C\in [B;A]\)) уравнение \(f(x)=C\) всегда имеет хотя бы одно решение.

Пример: функция \(f(x)=x^3\) является строго возрастающей (то есть строго монотонной) и непрерывной при всех \(x\in\mathbb{R}\), поэтому при любом \(C\in (-\infty;+\infty)\) уравнение \(x^3=C\) имеет ровно одно решение: \(x=\sqrt[3]{C}\).

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[27x^6+(a-x)^3+3x^2=x-a\]

имеет ровно два корня.

Добавить задание в избранное

Перепишем уравнение в виде: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\] Рассмотрим функцию \(f(t)=t^3+t\). Тогда уравнение перепишется в виде: \[f(3x^2)=f(x-a)\] Исследуем функцию \(f(t)\). \[f'(t)=3t^2+1>0\] Следовательно, функция \(f(t)\) возрастает при всех \(t\). Значит, каждому значению функции \(f(t)\) соответствует ровно одно значение аргумента \(t\). Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно: \[3x^2=x-a \quad\Leftrightarrow\quad 3x^2-x+a=0\] Чтобы полученное уравнение имело два корня, нужно, чтобы его дискриминант был положительным: \[D=1-12a>0 \quad\Rightarrow\quad a<\dfrac1{12}\]

Ответ:

\(\left(-\infty;\dfrac1{12}\right)\)

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \[7^{ax^2-2x}-7^{x^2-1}=\sqrt[7]{2x-ax^2}-\sqrt[7]{1-x^2}\]

имеет два корня.

 

(Задача от подписчиков.)

Добавить задание в избранное

Сделаем замену: \(ax^2-2x=t\), \(x^2-1=u\). Тогда уравнение примет вид: \[7^t-7^u=\sqrt[7]{-t}-\sqrt[7]{-u} \quad\Leftrightarrow\quad 7^t+\sqrt[7]t=7^u+\sqrt[7]u\] Рассмотрим функцию \(f(w)=7^w+\sqrt[7]w\). Тогда наше уравнение примет вид: \[f(t)=f(u).\]

Найдем производную \[f'(w)=7^w\ln7+\dfrac1{7\cdot \sqrt[7]{w^6}}.\] Заметим, что при всех \(w\ne 0\) производная \(f'(w)>0\), т.к. \(7^w>0\), \(w^6>0\). Заметим также, что сама функция \(f(w)\) определена при всех \(w\). Т.к. к тому же \(f(w)\) непрерывна, то мы можем сделать вывод, что \(f(w)\) возрастает на всем \(\mathbb{R}\).
Значит, равенство \(f(t)=f(u)\) возможно тогда и только тогда, когда \(t=u\). Вернемся к изначальным переменным и решим полученное уравнение:

\[ax^2-2x=x^2-1\quad\Leftrightarrow\quad (a-1)x^2-2x+1=0\] Для того, чтобы данное уравнение имело два корня, оно должно быть квадратным и его дискриминант должен быть положительным:

\[\begin{cases} a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Ответ:

\((-\infty;1)\cup(1;2)\)

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все положительные значения параметра \(a\), при которых уравнение

\[5((ax-2)^3-(x^2-2)^3+3e^{ax}-3e^{x^2})=\\ =6e^{x^2}\cdot \ \sin{2x^2} - 6e^{ax}\cdot \ \sin{2ax} + 3e^{x^2}\cdot \ \cos{2x^2} - 3e^{ax}\cdot \ \cos{2ax}\]

имеет как минимум \(2\) решения.

Добавить задание в избранное

Перенесем все слагаемые, содержащие \(ax\), влево, а содержащие \(x^2\) – вправо, и рассмотрим функцию
\[f(t)=5(t-2)^3+15e^t+6e^t\cdot \sin{2t} +3e^t\cdot \cos{2t}\]

Тогда исходное уравнение примет вид:
\[f(ax)=f(x^2)\]

Найдем производную:
\[f'(t)=15(t-2)^2+15e^t\cdot (1+\cos{2t})\]

Т.к. \((t-2)^2 \geqslant 0, \ e^t>0, \ 1+\cos{2t} \geqslant 0\), то \(f'(t)\geqslant 0\) при любых \(t\in \mathbb{R}\).

Причем \(f'(t)=0\), если \((t-2)^2=0\) и \(1+\cos{2t}=0\) одновременно, что не выполняется ни при каких \(t\). Следовательно, \(f'(t)> 0\) при любых \(t\in \mathbb{R}\).

 

Таким образом, функция \(f(t)\) строго возрастает при всех \(t\in \mathbb{R}\).

Значит, уравнение \(f(ax)=f(x^2)\) равносильно уравнению \(ax=x^2\).

 

Уравнение \(x^2-ax=0\) при \(a=0\) имеет один корень \(x=0\), а при \(a\ne 0\) имеет два различных корня \(x_1=0\) и \(x_2=a\).
Следовательно, ответ: \(a\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).

Ответ:

\((-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[2^{ax-\sqrt{x+1}}\cdot \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{ax+2}}+\log_9{(\sqrt{x+1}+2)}=0\]

имеет единственное решение.

Добавить задание в избранное

Домножим правую и левую части уравнения на \(2^{\sqrt{x+1}}\) (т.к. \(2^{\sqrt{x+1}}>0\)) и перепишем уравнение в виде: \[2^{ax}\cdot \log_{\frac{1}{9}}{(ax+2)}=2^{\sqrt{x+1}}\cdot \log_{\frac{1}{9}}{(\sqrt{x+1}+2)}\]

Рассмотрим функцию \(y=2^t\cdot \log_{\frac{1}{9}}{(t+2)}\) при \(t\geqslant 0\) (т.к. \(\sqrt{x+1}\geqslant 0\)).

Производная \(y'=\left( -2^t\cdot \log_9{(t+2)}\right)'=-\dfrac{2^t}{\ln9}\cdot \left( \ln 2\cdot \ln{(t+2)}+\dfrac{1}{t+2}\right)\).

Т.к. \(2^t>0, \ \dfrac{1}{t+2}>0, \ \ln{(t+2)}>0\) при всех \(t\geqslant 0\), то \(y'<0\) при всех \(t\geqslant 0\).

 

Следовательно, при \(t\geqslant 0\) функция \(y\) монотонно убывает.

 

Уравнение можно рассматривать в виде \(y(t)=y(z)\), где \(z=ax, t=\sqrt{x+1}\). Из монотонности функции следует, что равенство возможно только в том случае, если \(t=z\).

Значит, уравнение равносильно уравнению: \(ax=\sqrt{x+1}\), которое в свою очередь равносильно системе: \[\begin{cases} a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end{cases}\]

При \(a=0\) система имеет одно решение \(x=-1\), которое удовлетворяет условию \(ax\geqslant 0\).

 

Рассмотрим случай \(a\ne 0\). Дискриминант первого уравнения системы \(D=1+4a^2>0\) при всех \(a\). Следовательно, уравнение всегда имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), причем они разных знаков (т.к. по теореме Виета \(x_1\cdot x_2=-\dfrac{1}{a^2}<0\)).

Это значит, что при \(a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) условию подходит положительный корень. Следовательно, система всегда имеет единственное решение.

Значит, \(a\in \mathbb{R}\).

Ответ:

\(a\in \mathbb{R}\).

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3=0\]

имеет хотя бы один корень из отрезка \([-1;0]\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим функцию \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\) при некотором фиксированном \(a\). Найдем ее производную: \(f'(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2+(x-1)^2)\).

 

Заметим, что \(f'(x)\geqslant 0\) при всех значениях \(x\) и \(a\), причем равна \(0\) только при \(x=a=1\). Но при \(a=1\):
\(f'(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\) уравнение \(2(x-1)^3=0\) имеет единственный корень \(x=1\), не удовлетворяющий условию. Следовательно, \(a\) не может быть равно \(1\).

 

Значит, при всех \(a\ne 1\) функция \(f(x)\) является строго возрастающей, следовательно, уравнение \(f(x)=0\) может иметь не более одного корня. Учитывая свойства кубической функции, график \(f(x)\) при некотором фиксированном \(a\) будет выглядеть следующим образом:


 

Значит, для того, чтобы уравнение имело корень из отрезка \([-1;0]\), необходимо: \[\begin{cases} f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a(a^2+3)\leqslant 0\\ (a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end{cases} \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Таким образом, \(a\in [-2;0]\).

Ответ:

\(a\in [-2;0]\).

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2})=0\]

имеет корни.

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

ОДЗ уравнения: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in [0;1]\). Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно, чтобы хотя бы одно из уравнений \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad {\small{\text{или}}}\quad \sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2}=0\] имело решения на ОДЗ.

 

1) Рассмотрим первое уравнение \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=2a+2\\ &\sin x=3\\ \end{aligned} \end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\] Данное уравнение должно иметь корни на \([0;1]\). Рассмотрим окружность:

 

Таким образом, мы видим, что для любых \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) уравнение будет иметь одно решение, а для всех остальных – не будет иметь решений. Следовательно, при \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\) уравнение имеет решения.

 

2) Рассмотрим второе уравнение \[\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2}=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt{x-x^2}=-a\]

Рассмотрим функцию \(f(x)=8x\sqrt{x-x^2}\). Найдем ее производную: \[f'(x)=-4\cdot \dfrac{x(4x-3)}{\sqrt{x-x^2}}\] На ОДЗ производная имеет один ноль: \(x=\frac34\), который к тому же является точкой максимума функции \(f(x)\).
Заметим, что \(f(0)=f(1)=0\). Значит, схематично график \(f(x)\) выглядит так:

 

Следовательно, для того, чтобы уравнение имело решения, нужно, чтобы график \(f(x)\) пересекался с прямой \(y=-a\) (на рисунке изображен один из подходящих вариантов). То есть нужно, чтобы \[0\leqslant -a\leqslant f\left(\dfrac34\right) \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{3\sqrt3}2\leqslant a\leqslant 0\]

3) Таким образом, изначальное уравнение будет иметь решения при \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\) или \(a\in \left[-\dfrac{3\sqrt3}2;0\right]\). Объединяя эти решения, получим \[a\in \left[-\dfrac{3\sqrt3}2;0\right].\]

Ответ:

\(a\in \left[-\dfrac{3\sqrt3}2;0\right]\)

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[\sqrt{x-1}+5x^2-9x+3a+8=\dfrac{a^2}{x}\]

имеет ровно одно решение.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим семейства функций \(f_a(x)=\sqrt{x-1}+5x^2-9x+3a+8, \ \ g_a(x)=\dfrac{a^2}{x}\).

ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\). При этих \(x\):

 

Функция \(y_1=\sqrt{x-1}\) является строго возрастающей. Графиком функции \(y_2=5x^2-9x\) является парабола, вершина которой находится в точке \(x=\dfrac{9}{10}\). Следовательно, при всех \(x\geqslant 1\) функция \(y_2\) также строго возрастает (правая ветвь параболы). Т.к. сумма строго возрастающих функций есть строго возрастающая, то \(f_a(x)\) – строго возрастает (константа \(3a+8\) не влияет на монотонность функции).

 

Функция \(g_a(x)=\dfrac{a^2}{x}\) при всех \(x\geqslant 1\) представляет собой часть правой ветви гиперболы и является строго убывающей.

 

Решить уравнение \(f_a(x)=g_a(x)\) — значит найти точки пересечения функций \(f\) и \(g\). Из их противоположной монотонности следует, что уравнение может иметь не более одного корня.

 

При \(x\geqslant 1\)   \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0<g_a(x)\leqslant a^2\). Следовательно, уравнение будет иметь единственное решение в том случае, если:


 

\[3a+4\leqslant a^2 \Rightarrow a\in (-\infty;-1]\cup[4;+\infty)\]

Ответ:

\(a\in (-\infty;-1]\cup[4;+\infty)\).