Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

18. Задачи с параметром

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Монотонность функций

\(\blacktriangleright\) Функция \(f(x)\) называется возрастающей на промежутке \(X\), если для любых \(x_1, x_2\in X\), таких что \(x_1<x_2\), выполнено \(f(x_1)<f(x_2)\).



Функция называется неубывающей на промежутке \(X\), если для любых \(x_1, x_2\in X\), таких что \(x_1<x_2\), выполнено \(f(x_1)\leq f(x_2)\).



\(\blacktriangleright\) Функция \(f(x)\) называется убывающей на промежутке \(X\), если для любых \(x_1, x_2\in X\), таких что \(x_1<x_2\), выполнено \(f(x_1)>f(x_2)\).



Функция называется невозрастающей на промежутке \(X\), если для любых \(x_1, x_2\in X\), таких что \(x_1<x_2\), выполнено \(f(x_1)\geq f(x_2)\).



\(\blacktriangleright\) Возрастающие и убывающие функции называют строго монотонными, а невозрастающие и неубывающие — просто монотонными.

\(\blacktriangleright\) Основные свойства:

I. Если функция \(f(x)\) — строго монотонна на \(X\), то из равенства \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\)) следует \(f(x_1)=f(x_2)\), и наоборот.

Пример: функция \(f(x)=\sqrt x\) является строго возрастающей при всех \(x\in [0;+\infty)\), поэтому из равенства \(\sqrt x=\sqrt 4\) следует \(x=4\).

II. Если функция \(f(x)\) — строго монотонна на \(X\), то уравнение \(f(x)=c\), где \(c\) — некоторое число, всегда имеет не более одного решения на \(X\).

Пример: функция \(f(x)=x^2\) является строго убывающей при всех \(x\in (-\infty;0]\), поэтому уравнение \(x^2=9\) имеет на этом промежутке не более одного решения, а точнее одно: \(x=-3\).

функция \(f(x)=-\dfrac 1{x+1}\) является строго возрастающей при всех \(x\in (-1;+\infty)\), поэтому уравнение \(-\dfrac 1{x+1}=0\) имеет на этом промежутке не более одного решения, а точнее ни одного, т.к. числитель левой части никогда не может быть равен нулю.

III. Если функция \(f(x)\) — неубывает (невозрастает) и непрерывна на отрезке \([a;b]\), причем на концах отрезка она принимает значения \(f(a)=A, f(b)=B\), то при \(C\in [A;B]\) (\(C\in [B;A]\)) уравнение \(f(x)=C\) всегда имеет хотя бы одно решение.

Пример: функция \(f(x)=x^3\) является строго возрастающей (то есть строго монотонной) и непрерывной при всех \(x\in\mathbb{R}\), поэтому при любом \(C\in (-\infty;+\infty)\) уравнение \(x^3=C\) имеет ровно одно решение: \(x=\sqrt[3]{C}\).

Задание 1 #3153
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[27x^6+(a-x)^3+3x^2=x-a\]

имеет ровно два корня.

Добавить задание в избранное

Перепишем уравнение в виде: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\] Рассмотрим функцию \(f(t)=t^3+t\). Тогда уравнение перепишется в виде: \[f(3x^2)=f(x-a)\] Исследуем функцию \(f(t)\). \[f'(t)=3t^2+1>0\] Следовательно, функция \(f(t)\) возрастает при всех \(t\). Значит, каждому значению функции \(f(t)\) соответствует ровно одно значение аргумента \(t\). Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно: \[3x^2=x-a \quad\Leftrightarrow\quad 3x^2-x+a=0\] Чтобы полученное уравнение имело два корня, нужно, чтобы его дискриминант был положительным: \[D=1-12a>0 \quad\Rightarrow\quad a<\dfrac1{12}\]

Ответ:

\(\left(-\infty;\dfrac1{12}\right)\)

Задание 2 #2653
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \[7^{ax^2-2x}-7^{x^2-1}=\sqrt[7]{2x-ax^2}-\sqrt[7]{1-x^2}\]

имеет два корня.

 

(Задача от подписчиков.)

Добавить задание в избранное

Сделаем замену: \(ax^2-2x=t\), \(x^2-1=u\). Тогда уравнение примет вид: \[7^t-7^u=\sqrt[7]{-t}-\sqrt[7]{-u} \quad\Leftrightarrow\quad 7^t+\sqrt[7]t=7^u+\sqrt[7]u\] Рассмотрим функцию \(f(w)=7^w+\sqrt[7]w\). Тогда наше уравнение примет вид: \[f(t)=f(u).\]

Найдем производную \[f'(w)=7^w\ln7+\dfrac1{7\cdot \sqrt[7]{w^6}}.\] Заметим, что при всех \(w\ne 0\) производная \(f'(w)>0\), т.к. \(7^w>0\), \(w^6>0\). Заметим также, что сама функция \(f(w)\) определена при всех \(w\). Т.к. к тому же \(f(w)\) непрерывна, то мы можем сделать вывод, что \(f(w)\) возрастает на всем \(\mathbb{R}\).
Значит, равенство \(f(t)=f(u)\) возможно тогда и только тогда, когда \(t=u\). Вернемся к изначальным переменным и решим полученное уравнение:

\[ax^2-2x=x^2-1\quad\Leftrightarrow\quad (a-1)x^2-2x+1=0\] Для того, чтобы данное уравнение имело два корня, оно должно быть квадратным и его дискриминант должен быть положительным:

\[\begin{cases} a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Ответ:

\((-\infty;1)\cup(1;2)\)

Задание 3 #3921
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все положительные значения параметра \(a\), при которых уравнение

\[5((ax-2)^3-(x^2-2)^3+3e^{ax}-3e^{x^2})=\\ =6e^{x^2}\cdot \ \sin{2x^2} - 6e^{ax}\cdot \ \sin{2ax} + 3e^{x^2}\cdot \ \cos{2x^2} - 3e^{ax}\cdot \ \cos{2ax}\]

имеет как минимум \(2\) решения.

Добавить задание в избранное

Перенесем все слагаемые, содержащие \(ax\), влево, а содержащие \(x^2\) – вправо, и рассмотрим функцию
\[f(t)=5(t-2)^3+15e^t+6e^t\cdot \sin{2t} +3e^t\cdot \cos{2t}\]

Тогда исходное уравнение примет вид:
\[f(ax)=f(x^2)\]

Найдем производную:
\[f'(t)=15(t-2)^2+15e^t\cdot (1+\cos{2t})\]

Т.к. \((t-2)^2 \geqslant 0, \ e^t>0, \ 1+\cos{2t} \geqslant 0\), то \(f'(t)\geqslant 0\) при любых \(t\in \mathbb{R}\).

Причем \(f'(t)=0\), если \((t-2)^2=0\) и \(1+\cos{2t}=0\) одновременно, что не выполняется ни при каких \(t\). Следовательно, \(f'(t)> 0\) при любых \(t\in \mathbb{R}\).

 

Таким образом, функция \(f(t)\) строго возрастает при всех \(t\in \mathbb{R}\).

Значит, уравнение \(f(ax)=f(x^2)\) равносильно уравнению \(ax=x^2\).

 

Уравнение \(x^2-ax=0\) при \(a=0\) имеет один корень \(x=0\), а при \(a\ne 0\) имеет два различных корня \(x_1=0\) и \(x_2=a\).
Нам нужно найти значения \(a\), при которых уравнение будет иметь не менее двух корней, учитывая также то, что \(a>0\).
Следовательно, ответ: \(a\in (0;+\infty)\).

Ответ:

\((0;+\infty)\).

Задание 4 #1232
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[2^{ax-\sqrt{x+1}}\cdot \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{ax+2}}+\log_9{(\sqrt{x+1}+2)}=0\]

имеет единственное решение.

Добавить задание в избранное

Домножим правую и левую части уравнения на \(2^{\sqrt{x+1}}\) (т.к. \(2^{\sqrt{x+1}}>0\)) и перепишем уравнение в виде: \[2^{ax}\cdot \log_{\frac{1}{9}}{(ax+2)}=2^{\sqrt{x+1}}\cdot \log_{\frac{1}{9}}{(\sqrt{x+1}+2)}\]

Рассмотрим функцию \(y=2^t\cdot \log_{\frac{1}{9}}{(t+2)}\) при \(t\geqslant 0\) (т.к. \(\sqrt{x+1}\geqslant 0\)).

Производная \(y'=\left( -2^t\cdot \log_9{(t+2)}\right)'=-\dfrac{2^t}{\ln9}\cdot \left( \ln 2\cdot \ln{(t+2)}+\dfrac{1}{t+2}\right)\).

Т.к. \(2^t>0, \ \dfrac{1}{t+2}>0, \ \ln{(t+2)}>0\) при всех \(t\geqslant 0\), то \(y'<0\) при всех \(t\geqslant 0\).

 

Следовательно, при \(t\geqslant 0\) функция \(y\) монотонно убывает.

 

Уравнение можно рассматривать в виде \(y(t)=y(z)\), где \(z=ax, t=\sqrt{x+1}\). Из монотонности функции следует, что равенство возможно только в том случае, если \(t=z\).

Значит, уравнение равносильно уравнению: \(ax=\sqrt{x+1}\), которое в свою очередь равносильно системе: \[\begin{cases} a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end{cases}\]

При \(a=0\) система имеет одно решение \(x=-1\), которое удовлетворяет условию \(ax\geqslant 0\).

 

Рассмотрим случай \(a\ne 0\). Дискриминант первого уравнения системы \(D=1+4a^2>0\) при всех \(a\). Следовательно, уравнение всегда имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), причем они разных знаков (т.к. по теореме Виета \(x_1\cdot x_2=-\dfrac{1}{a^2}<0\)).

Это значит, что при \(a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) условию подходит положительный корень. Следовательно, система всегда имеет единственное решение.

Значит, \(a\in \mathbb{R}\).

Ответ:

\(a\in \mathbb{R}\).

Задание 5 #1234
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3=0\]

имеет хотя бы один корень из отрезка \([-1;0]\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим функцию \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\) при некотором фиксированном \(a\). Найдем ее производную: \(f'(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2+(x-1)^2)\).

 

Заметим, что \(f'(x)\geqslant 0\) при всех значениях \(x\) и \(a\), причем равна \(0\) только при \(x=a=1\). Но при \(a=1\):
\(f'(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\) уравнение \(2(x-1)^3=0\) имеет единственный корень \(x=1\), не удовлетворяющий условию. Следовательно, \(a\) не может быть равно \(1\).

 

Значит, при всех \(a\ne 1\) функция \(f(x)\) является строго возрастающей, следовательно, уравнение \(f(x)=0\) может иметь не более одного корня. Учитывая свойства кубической функции, график \(f(x)\) при некотором фиксированном \(a\) будет выглядеть следующим образом:


 

Значит, для того, чтобы уравнение имело корень из отрезка \([-1;0]\), необходимо: \[\begin{cases} f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a(a^2+3)\leqslant 0\\ (a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end{cases} \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Таким образом, \(a\in [-2;0]\).

Ответ:

\(a\in [-2;0]\).

Задание 6 #2949
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2})=0\]

имеет корни.

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

ОДЗ уравнения: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in [0;1]\). Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно, чтобы хотя бы одно из уравнений \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad {\small{\text{или}}}\quad \sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2}=0\] имело решения на ОДЗ.

 

1) Рассмотрим первое уравнение \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=2a+2\\ &\sin x=3\\ \end{aligned} \end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\] Данное уравнение должно иметь корни на \([0;1]\). Рассмотрим окружность:

 

Таким образом, мы видим, что для любых \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) уравнение будет иметь одно решение, а для всех остальных – не будет иметь решений. Следовательно, при \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\) уравнение имеет решения.

 

2) Рассмотрим второе уравнение \[\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2}=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt{x-x^2}=-a\]

Рассмотрим функцию \(f(x)=8x\sqrt{x-x^2}\). Найдем ее производную: \[f'(x)=-4\cdot \dfrac{x(4x-3)}{\sqrt{x-x^2}}\] На ОДЗ производная имеет один ноль: \(x=\frac34\), который к тому же является точкой максимума функции \(f(x)\).
Заметим, что \(f(0)=f(1)=0\). Значит, схематично график \(f(x)\) выглядит так:

 

Следовательно, для того, чтобы уравнение имело решения, нужно, чтобы график \(f(x)\) пересекался с прямой \(y=-a\) (на рисунке изображен один из подходящих вариантов). То есть нужно, чтобы \[0\leqslant -a\leqslant f\left(\dfrac34\right) \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{3\sqrt3}2\leqslant a\leqslant 0\]

3) Таким образом, изначальное уравнение будет иметь решения при \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\) или \(a\in \left[-\dfrac{3\sqrt3}2;0\right]\). Объединяя эти решения, получим \[a\in \left[-\dfrac{3\sqrt3}2;0\right].\]

Ответ:

\(a\in \left[-\dfrac{3\sqrt3}2;0\right]\)

Задание 7 #2704
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[\sqrt{x-1}+5x^2-9x+3a+8=\dfrac{a^2}{x}\]

имеет ровно одно решение.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим семейства функций \(f_a(x)=\sqrt{x-1}+5x^2-9x+3a+8, \ \ g_a(x)=\dfrac{a^2}{x}\).

ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\). При этих \(x\):

 

Функция \(y_1=\sqrt{x-1}\) является строго возрастающей. Графиком функции \(y_2=5x^2-9x\) является парабола, вершина которой находится в точке \(x=\dfrac{9}{10}\). Следовательно, при всех \(x\geqslant 1\) функция \(y_2\) также строго возрастает (правая ветвь параболы). Т.к. сумма строго возрастающих функций есть строго возрастающая, то \(f_a(x)\) – строго возрастает (константа \(3a+8\) не влияет на монотонность функции).

 

Функция \(g_a(x)=\dfrac{a^2}{x}\) при всех \(x\geqslant 1\) представляет собой часть правой ветви гиперболы и является строго убывающей.

 

Решить уравнение \(f_a(x)=g_a(x)\) — значит найти точки пересечения функций \(f\) и \(g\). Из их противоположной монотонности следует, что уравнение может иметь не более одного корня.

 

При \(x\geqslant 1\)   \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0<g_a(x)\leqslant a^2\). Следовательно, уравнение будет иметь единственное решение в том случае, если:


 

\[3a+4\leqslant a^2 \Rightarrow a\in (-\infty;-1]\cup[4;+\infty)\]

Ответ:

\(a\in (-\infty;-1]\cup[4;+\infty)\).

Подготовка к Единому государственному экзамену по математике зачастую вызывает особые затруднения у выпускников. Есть множество сложных заданий, которым уделяется недостаточно внимания в общеобразовательной программе. В их числе нахождение интервалов монотонности функций и точек экстремума. Как показывает практика последних лет, многие выпускники сталкиваются с проблемами в решении подобных заданий. Поэтому стоит сделать акцент на их повторении, чтобы легко справляться даже с задачами повышенного уровня сложности. В этом вам поможет наш онлайн-сервис.

Подготовка к экзаменационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха!

Наш образовательный портал позволит вам быстро и эффективно подготовиться к предстоящему итоговому тестированию по математике. Наши преподаватели собрали, систематизировали и оформили информацию по тематике в максимально простой и понятной форме. Поэтому ученики смогут быстро воспринимать материалы. Благодаря особому методу они уже через несколько дней будут решать даже те задания, которые казались невыполнимыми.

Начните с повторения правил и формул, которые могут понадобиться при исследовании монотонности функций. Для этого перейдите в раздел «Теоретическая справка». Вы вспомните виды и свойства функций, как определить знак производной, найти критические точки и многое другое. В каталогах представлены как типовые примеры по тематике, так и задания повышенного уровня сложности, которые могут встретиться в ЕГЭ. Их список постоянно обновляется и дополняется, поэтому выпускники будут ежедневно получать новые задания без повторений. Дети научатся находить количество значений необходимых параметров, работать с различными видами тригонометрических функций, а также справляться с уравнениями, в которых встречаются корни различной степени и логарифмы.

Если у школьника возникнут сложности с решением примера, он может добавить задание в «Избранное» и вернуться к нему позже.

Для того чтобы занятия проходили максимально результативно, советуем начать с самых простых заданий, где нужно указать промежутки монотонности функций y=f(x), и постепенно переходить к более трудным. Так ученики смогут выявить свои самые слабые стороны и сделать упор на решении конкретных типов упражнений.

Чтобы получить большие результаты, рекомендуем обращаться к нашему порталу ежедневно. Начните подготовку к итоговому тестированию уже сегодня вместе с онлайн-сервисом «Школково»!

Обучающие материалы доступны всем желающим подтянуть знания по математике. Вы можете сохранить результаты и отслеживать свой прогресс. Для этого зарегистрируйтесь в системе на нашем официальном сайте shkolkovo.net.