Математика
Русский язык

Пробные ЕГЭ центра "Школково"

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Площадь кругового сектора

Задание 1

В квартире, где проживает Мария, установлен прибор учета расхода холодной воды (счетчик). 1 января счетчик показывал расход 107 куб. м. воды, а 1 февраля – 123 куб. м. Какую сумму должна заплатить Мария за холодную воду за январь, если цена 1 куб. м. холодной воды составляет 21 руб. 70 коп.? Ответ дайте в рублях.

Можем найти, сколько куб. м. воды израсходовала Мария за январь: \(123-107=16\) куб. м. Так как цена за 1 куб. м. составляет 21 руб. 70 коп., или, что то же самое, 21,7 руб., то Марии следует заплатить \[16\cdot 21,7=347,2 \ {\small{\text{руб.}}}\]

Ответ: 347,2

Задание 2

На графике изображена зависимость температуры газа от времени, отсчитываемого с момента начала его нагревания. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат – температура в градусах Цельсия. Давление \(P\) этого газа (в паскалях) выражается формулой \(P = 0,4 \cdot T\), где \(T\) – температура в градусах Цельсия. Какое наименьшее значение должно принять давление (в Па), чтобы можно было утверждать, что с начала нагревания газа прошло от 3 до 4 минут?

Для данного газа давление возрастает с ростом температуры, следовательно, необходимо найти на временном отрезке от 3 до 4 минут наименьшее значение температуры. Это значение достигается через 3 минуты после начала нагревания и равно \(35 \ \mathrm{C}^0\). При этом давление станет \(0,4 \cdot 35 = 14\) Па.

Ответ: 14

Задание 3

На клетчатой бумаге нарисован круг площадью \(2,8\). Найдите площадь закрашенного сектора.

Заметим, что закрашенная фигура состоит из двух непересекающихся частей, равных \(\frac14\) и \(\frac12\) от \(\frac14\) круга:


 

Таким образом, ее площадь равна \[\dfrac14S+\dfrac12\cdot \left(\dfrac14S\right)=\dfrac38S=\dfrac38\cdot 2,8=1,05.\]

Ответ: 1,05

Задание 4

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 8 спортсменов из Аргентины, 6 спортсменов из Бразилии, 5 спортсменов из Парагвая и 6 – из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Аргентины.

Заметим, что вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Аргентины, такая же, как вероятность, что он будет выступать первым, вторым, третьим и т.п.
Всего претендентов на последнее место: \(8+6+5+6=25\) спортсменов. Нам удовлетворяют лишь 8 из Аргентины. Следовательно, вероятность равна отношению количества удовлетворяющих исходов к количеству всех: \[\dfrac{8}{25}=0,32.\]

Ответ: 0,32

Задание 5

Найдите корень уравнения \(\log_4(10+2x)=3\).

ОДЗ уравнения: \(10+2x>0\).
Решим на ОДЗ. \[\log_4(10+2x)=\log_4{4^3} \quad\Leftrightarrow\quad 10+2x=64 \quad\Leftrightarrow\quad x=27.\] Полученное число удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 27

Задание 6

В треугольнике \(ABC\): высота \(CH\) равна \(2\sqrt6\), косинус угла \(A\) равен \(0,2\). Найдите \(AC\).

Рассмотрим \(\triangle ABC\):


 

Так как косинус угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, то в \(\triangle AHC:\) \[\cos A=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac15\] Следовательно, можно принять \(AH=x\), \(AC=5x\). Тогда по теореме Пифагора из этого же треугольника: \[AC^2=AH^2+CH^2 \quad\Rightarrow\quad 25x^2=x^2+24 \quad\Leftrightarrow\quad x=\pm 1.\] Так как длина отрезка – неотрицательное число, то \(x=1\) и \(AC=5x=5.\)

Ответ: 5

Задание 7

На рисунке изображен график функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-2,4; 8,7)\). Найдите сумму точек экстремума этой функции на отрезке \([1;6]\).

Так как на рисунке изображен график функции, то точки экстремума – это точки на графике, в которых функция меняется с возрастания на убывание или наоборот. Эти точки: \(x=-1; \ 0; \ 2; \ 4; \ 5; \ 8.\) Из них на отрезке \([1;6]\) лежат только точки \(2; \ 4; \ 5\), следовательно, их сумма равна \(2+4+5=11.\)

Ответ: 11

Задание 8

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Заметим, что можно разбить данный многогранник на два непересекающихся прямоугольных параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) и \(DCEFD_2C_2E_1F_1\):


 

Тогда объем первого параллелепипеда будет равен \(1\cdot 3\cdot 4=12\), а объем второго \(1\cdot 3\cdot 2=6\). Следовательно, объем всего многогранника будет равен \(12+6=18\).

Ответ: 18

Задание 9

Найдите значение выражения \[\dfrac{24}{\sin^2127^\circ+1+\sin^2217^\circ}\]

Заметим, что \(217^\circ=90^\circ+127^\circ\). Так как по формуле приведения \(\sin(90^\circ+\alpha)=\cos \alpha\), то \[\sin 217^\circ=\sin (90^\circ+127^\circ)=\cos 127^\circ\] Следовательно, выражение можно переписать в виде: \[\dfrac{24}{\sin^2127^\circ+\cos^2127^\circ+1}=\dfrac{24}{1+1}=12,\] так как по основному тригонометрическому тождеству \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) для любого угла \(\alpha\).

Ответ: 12

Задание 10

Рейтинг \(R\) интернет-магазина вычисляется по формуле \[{\large{R=r_{\text{пок}}-\dfrac{r_{\text{пок}}-r_{\text{экс}}}{(K+1)\cdot \frac{0,02K}{r_{\text{пок}}+0,1}} \ ,}}\]

где \(r_{\text{пок}}\) – средняя оценка магазина покупателями (от \(0\) до \(1\)), \(r_{\text{экс}}\) – оценка магазина экспертами (от \(0\) до \(0,7\)) и \(K\) – число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина “Альфа”, если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно \(10\), их средняя оценка равна \(0,45\), а оценка экспертов равна \(0,67\).

Перепишем формулу следующим образом, чтобы избавиться от “трехэтажных” дробей: \[{\large{R=r_{\text{пок}}- \dfrac{(r_{\text{пок}}-r_{\text{экс}})\cdot (r_{\text{пок}}+0,1)}{(K+1)\cdot 0,02K}}}\]

Из условия задачи следует, что \(K=10\), \(r_{\text{пок}}=0,45\), \(r_{\text{экс}}=0,67\). Подставим эти значения в формулу: \[R=0,45-\dfrac{(0,45-0,67)(0,45+0,1)}{(10+1)\cdot 0,02\cdot 10}= 0,45+\dfrac{0,22\cdot 0,55}{11\cdot 0,02\cdot 10}\] Домножим числитель и знаменатель дроби на \(100\cdot 100\), чтобы избавиться от десятичных дробей: \[R=0,45+\dfrac{22\cdot 55}{11\cdot 2\cdot 10\cdot 100}= 0,45+\dfrac{5\cdot 11}{1000}=0,45+0,055=0,505.\]

Ответ: 0,505

Задание 11

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно \(117\) км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на \(4\) км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на \(4\) часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Изобразим в виде схемы движение велосипедиста:


 

Время в часах, которое он затратил на дорогу из A в B, равно \[t_{AB}=\dfrac{117}x\] Время в часах, которое он затратил на дорогу из В в А, учитывая остановку, равно \[t_{BA}=4+\dfrac{117}{x+4}\] Так как \(t_{AB}=t_{BA}\), то получаем уравнение: \[\dfrac{117}x=4+\dfrac{117}{x+4}\] Домножим обе части уравнения на \(x(x+4)\), так как \(x\ne 0, \ x+4\ne 0\) – скорости. \[117(x+4)=4x(x+4)+117x \quad\Leftrightarrow\quad 117x+117\cdot 4=4(x^2+4x)+117x \quad\Leftrightarrow\quad 4(x^2+4x)-117\cdot 4=0 \quad\Leftrightarrow\quad x^2+4x-117=0\] Дискриминант \(D=4^2+117\cdot 4=4(4+117)=4\cdot 121=(2\cdot 11)^2\), следовательно, корни уравнения \(x_1=-13\) и \(x_2=9.\) Так как скорость не может быть отрицательной, то \(x=9\). Тогда скорость велосипедиста на пути из В в А равна \(x+4=13\).

Ответ: 13

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции \[y=59x-56\sin x+42\]

на отрезке \(\left[-\dfrac{\pi}2;0\right]\).

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции, определим, как схематично выглядит ее график.
Для этого найдем ее производную: \[y'=59-56\cos x\] Заметим, что \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), следовательно, \(-56\leqslant -56\cos x\leqslant 56\). Следовательно, \(3\leqslant y'\leqslant 115\), то есть производная всегда положительна. Значит, функция всегда возрастает, в том числе на отрезке \(\left[-\dfrac{\pi}2;0\right]\). Значит, ее график выглядит так:


 

Отсюда видно, что наибольшее значение на этом отрезке функция принимает в точке \(x=0\) и оно равно \(y(0)=42\).

Ответ: 42

Задание 13

а) Решите уравнение \[2\sin \left(\dfrac{7\pi}2+x\right)\cdot \sin x=\sqrt3\cos x\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([-7\pi;-6\pi]\).

а) По формуле приведения \(\sin\left(\dfrac{7\pi}2+x\right)=-\cos x\), следовательно, уравнение примет вид \[-2\cos x\cdot \sin x=\sqrt3\cos x \quad\Leftrightarrow\quad \cos x(2\sin x+\sqrt3)=0\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\cos x=0\\[2ex] &\sin x=-\dfrac{\sqrt3}2 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решением первого уравнения совокупности будут \(x=\dfrac{\pi}2+\pi k, k\in\mathbb{Z}\).

Решением второго уравнения будут \(x=-\dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\) и \(x=-\dfrac{2\pi}3+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\).

б) Отберем корни.

\(-7\pi \leqslant \dfrac{\pi}2+\pi k\leqslant -6\pi \quad\Leftrightarrow\quad -7,5\leqslant k\leqslant -6,5\). Так как \(k\) – целое, то подходит только \(k=-7\), при котором получаем корень \(x=-\dfrac{13\pi}2\).

\(-7\pi\leqslant -\dfrac{\pi}3+2\pi n\leqslant -6\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{10}3\leqslant n\leqslant -\dfrac{17}6\). Так как \(n\) – целое, то подходит только \(n=-3\), при котором получаем корень \(x=-\dfrac{19\pi}3\).

\(-7\pi \leqslant -\dfrac{2\pi}3+2\pi m\leqslant -6\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{19}6\leqslant m\leqslant -\dfrac83\). Так как \(m\) – целое, то подходит только \(m=-3\), при котором получаем корень \(x=-\dfrac{20\pi}3\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2+\pi k; \ -\dfrac{\pi}3+2\pi n; \ -\dfrac{2\pi}3+2\pi m; \ k,n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{20\pi}3; \ -\dfrac{13\pi}2; \ -\dfrac{19\pi}3\)

Задание 14

В правильной треугольной пирамиде \(MABC\) с основанием \(ABC\) стороны основания равны \(6\), а боковые ребра \(8\). На ребре \(AC\) находится точка \(D\), на ребре \(AB\) находится точка \(E\), а на ребре \(AM\) – точка \(L\). Известно, что \(CD=BE=LM=2\). Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки \(E\), \(D\), \(L\).

Рассмотрим картинку:


 

1) Заметим, что \(\triangle EDL\) есть сечение пирамиды плоскостью \(EDL\). Так как \(BE=CD=2\) и \(AB=AC=6\), то \(AE=AD=4\). Следовательно, \(\triangle AED\sim \triangle ABC\) по двум пропорциональным сторонам (\(AE:AB=AD:AC\)) и углу между ними. Следовательно, \(\triangle AED\) тоже равносторонний, откуда \(ED=AE=4\).

 

2) Заметим, что так как пирамида правильная, то \(\angle LAE=\angle LAD\) и \(\triangle LAE=\triangle LAD\). Следовательно, \(LE=LD\).

 

Рассмотрим грань \(AMB\). По теореме косинусов из \(\triangle AMB\): \[\cos \angle A=\dfrac{AM^2+AB^2-MB^2}{2\cdot AM\cdot AB}= \dfrac{64+36-64}{2\cdot 8\cdot 6}=\dfrac38\] По теореме косинусов из \(\triangle LAE\): \[LE^2=AL^2+AE^2-2\cdot AL\cdot AE\cdot \cos\angle A= 36+16-2\cdot 6\cdot 4\cdot \dfrac38=34.\]

3) Рассмотрим \(\triangle EDL\).



Он, как мы уже говорили, равнобедренный. Пусть \(LO\) – высота, опущенная к основанию. Тогда \[LO^2=LE^2-EO^2=34-4=30 \quad\Rightarrow\quad LO=\sqrt{30}\] Следовательно, площадь \[S_{\triangle EDL}=\dfrac12\cdot LO\cdot ED=2\sqrt{30}.\]

Ответ:

\(2\sqrt{30}\)

Задание 15

Решите систему неравенств \[\begin{cases} \log_{4-x}(x+4)\cdot \log_{x+5}(6-x)\leqslant 0\\ 25^{x^2-2x+10}-0,2^{2x^2-4x-80}\leqslant 0 \end{cases}\]

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Найдем ОДЗ: \[\begin{cases} 4-x>0\\ 4-x\ne 1\\ x+4>0\\ x+5>0\\ x+5\ne 1\\ 6-x>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-4;3)\cup(3;4).\]

На ОДЗ неравенство по методу рационализации равносильно \[(4-x-1)(x+4-1)(x+5-1)(6-x-1)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x-3)(x+3)(x+4)(x-5)\leqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим \(x\in [-4;-3]\cup[3;5].\)

 

Пересечем с ОДЗ и получим \(x\in (-4;-3]\cup(3;4)\).

 

2) Второе неравенство. Заметим, что \(0,2=\frac15=5^{-1}\). Тогда неравенство можно переписать как \[5^{2x^2-4x+20}-\left(5^{-1}\right)^{2x^2-4x-80}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad 5^{2x^2-4x+20}\leqslant 5^{-2x^2+4x+80}\] Так как основание степени больше единицы, то данное неравенство равносильно \[2x^2-4x+20\leqslant -2x^2+4x+80\quad\Leftrightarrow\quad x^2-2x-15\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x+3)(x-5)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in [-3;5]\]

3) Пересечем решения обоих неравенств и получим: \(x\in \{-3\}\cup(3;4).\)

Ответ:

\(\{-3\}\cup(3;4)\)

Задание 16

Высоты \(BB_1\) и \(CC_1\) остроугольного треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(H\).
а) Докажите, что \(\angle AHB_1=\angle ACB\).
б) Найдите \(BC\), если \(AH=4\) и \(\angle BAC=60^\circ\).

а)
Из прямоугольного \(\triangle AHB_1\): \[\angle HAB_1=90^\circ-\angle AHB_1.\] Из прямоугольного \(\triangle AA_1C\): \[\angle ACA_1=90^\circ-\angle CAA_1=90^\circ-\angle HAB_1= 90^\circ-(90^\circ-\angle AHB_1)=\angle AHB_1.\] Т.к. \(\angle ACA_1\) и \(\angle ACB\) – одно и то же, то отсюда следует утверждение пункта а).


 

б) Аналогично пункту а) можно доказать, что \(\angle B_1HC=\angle BAC=60^\circ\).
Тогда из прямоугольного \(\triangle B_1HC\):\[\mathrm{ctg}\,60^\circ=\dfrac{HB_1}{B_1C}.\] Заметим, что \(\triangle AHB_1\sim \triangle BCB_1\) по двум углам. Следовательно, \[\dfrac{AH}{BC}=\dfrac{HB_1}{B_1C}=\mathrm{ctg}\,60^\circ \quad \Rightarrow \quad BC=\dfrac{AH}{\mathrm{ctg}\,60^\circ}=\dfrac{4}{\frac{\sqrt3}3}=4\sqrt3.\]

Ответ:

б) \(4\sqrt3\)

Задание 17

В феврале женщина оформила в банке вклад на 4 года. Каждый год в ноябре банк начисляет на вклад \(8\%\). В декабре первого года пользования услугами данного банка женщина решила купить квартиру и сняла для этой цели со своего счета \(8\) млн. рублей. Ровно через два года она продала эту квартиру и сразу же вернула на счет в банке те же \(8\) млн. рублей. Определить, сколько рублей потеряла по истечении срока действия вклада из-за подобных действий эта женщина.

Пусть размер вклада составил \(A\) млн. рублей. Составим таблицу, описывающую действия, происходившие со вкладом: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Номер года}&\text{Сумма в феврале} &\text{Сумма в ноябре}&\text{Манипуляции}\\ \hline 1& A & 1,08A & -\,8\\ \hline 2& 1,08A-8 & 1,08 (1,08A-8) & \\ \hline 3& 1,08 (1,08A-8) & 1,08^2 (1,08A-8) & +\,8\\ \hline 4&1,08^2 (1,08A-8)+8 & 1,08(1,08^2 (1,08A-8)+8)&\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, спустя четыре года на счете у женщины было \[1,08(1,08^2 (1,08A-8)+8)=1,08^4A-8\cdot 1,08(1,08-1)(1,08+1) \quad {\small{\text{млн. рублей}}}\]

Если бы она не совершала данные манипуляции, то каждый год ее вклад увеличивался бы в \(1,08\) раз и к концу четвертого года составил бы \(1,08^4A\) млн. рублей. Следовательно, из-за подобных действий ее вклад уменьшился на \[8\cdot 1,08(1,08-1)(1,08+1)=8\cdot 1,08\cdot 0,08\cdot 2,08= 1,437696\quad {\small{\text{млн. рублей}}}\]

Ответ:

Ответ

\(1\,437\,696\) рублей

Задание 18

Найдите все значения \(a\), для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел \(x\) и \(y\), удовлетворяющих неравенству \[4|x+3|+3|x-a|\leqslant \sqrt{16-y^2}+2\]

Рассмотрим две функции \(f(x)=4|x+3|+3|x-a|\) и \(h(y)=\sqrt{16-y^2}+2\).

 

Заметим, что при \(x<-3\) модуль \(|x+3|=-x-3\), а при \(x>-3\) модуль \(|x+3|=x+3\). Следовательно, вне зависимости от того, как раскроется модуль \(|x-a|\), при \(x<-3\) коэффициент перед \(x\) у функции \(f(x)\) будет отрицательным (а именно -7 или -1), а при \(x>-3\) он будет положительным (а именно 1 или 7). Следовательно, \(f(x)\) имеет минимум в точке \(x=-3\). Это значит, что \(f(x)\geqslant f(-3)\) при всех \(x\).

 

Так как \(y^2\geqslant 0\) при всех \(y\) и по ОДЗ \(16-y^2\geqslant 0\), то \(\sqrt{0}\leqslant \sqrt{16-y^2}\leqslant \sqrt{16}\), значит, функция \(h(y)\in [2;6]\) при всех \(y\).
Таким образом, если \(f(-3)>6\), то неравенство \(f(x)\leqslant h(y)\) не имеет решений, так как левая часть больше \(6\), а правая – меньше или равна \(6\).
Следовательно, \(f(-3)\leqslant 6\). При этом нам подходит как минимум одна пара чисел: \(x=-3\) и \(y=0\) (Проверьте!).
Так как \(f(-3)=3|-3-a|=3|a+3|\), то получаем: \[3|a+3|\leqslant 6\quad\Leftrightarrow\quad a\in [-5;-1].\]

Ответ:

\([-5;-1]\)

Задание 19

Дано трехзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным \(20\)?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным \(81\)?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

а) Пусть число \(N=100a+10b+c\), где \(a,b,c\) – число сотен, десятков и единиц соответственно, следовательно, они могут принимать натуральные значения от \(0\) до \(9\) (только \(a\) не может быть равно \(0\)).

 

Предположим, что \[\dfrac{N}{a+b+c}=20 \quad\Rightarrow\quad 10(8a-b)=19c\] Пусть \(8a=b\), откуда, так как \(a,b\) – цифры, то \(a=1\) и \(b=8\). Тогда \(10(8a-b)=0\), следовательно, \(19c=0\), откуда \(c=0\). Таким образом, получили число \(180\).
Проверкой убеждаемся, что действительно \(180:(1+8+0)=20\).
Ответ: да.

б) Предположим, что \[\dfrac{N}{a+b+c}=81 \quad\Rightarrow\quad N=81(a+b+c)\] Следовательно, \(N\) делится на \(81\), следовательно, его можно представить в виде \(N=81\cdot k\), где \(k\) – некоторое натуральное число и \(k=a+b+c\). Заметим, что так как \(N\) – трехзначное число, то \(81\cdot k\leqslant 999\), откуда \(k\leqslant 12\).

 

Из того, что \(N\) делится на \(81\), можно сделать вывод, что \(N\) делится на \(9\). Следовательно, сумма его цифр должна делиться на \(9\). Но так как сумма его цифр равна \(k\), а \(k\leqslant 12\), то \(k=9\). Следовательно, \(N=9\cdot 81=729\). Но у числа \(729\) сумма цифр не равна \(9\), следовательно, \(729\) не подходит. Так как это был единственный возможной вариант, то ответ: нет.

 

в) Рассмотрим \(\dfrac{N}{a+b+c}\).

 

Попробуем поискать наименьшее трехзначное число с наибольшей суммой цифр. Значит, в нем должно быть мало сотен и много десятков и единиц. Возьмем \(198\). Сумма его цифр равна \(18\) и оно нацело делится на нее, в результате чего получаем \(11\).
Докажем, что \(11\) – наименьшее натуральное частное от деления числа на сумму его цифр.

 

Предположим противное. Пусть частное от деления \(N=100a+10b+c\) на \(a+b+c\) равно \(k\), где \(k\leqslant 10\) – натуральное число. Тогда: \[\dfrac{100a+10b+c}{a+b+c}=k \quad\Leftrightarrow\quad (100-k)a+(10-k)b=(k-1)c\]

Так как число сотен не может быть равно нулю, то \(a\geqslant 1\). Так как \(k\leqslant 10\), то \(100-k\geqslant 90\), следовательно, \((100-k)a\geqslant 90\). Так как \(b\geqslant 0\), то \((10-k)b\geqslant 0\), следовательно, вся левая часть равенства \(\geqslant 90\).

 

Так как число единиц не может быть больше \(9\), то есть \(c\leqslant 9\), и \(k-1\leqslant 9\), то \((k-1)c\leqslant 9\cdot 9=81\).

 

Следовательно, в нашем равенстве левая часть \(\geqslant 90\), а правая \(\leqslant 81\). Следовательно, равенство не имеет решений.
Значит, предположение неверно и \(11\) – наименьшее натуральное значение для частного трехзначного числа и суммы его цифр.

Ответ:

а) да

б) нет

в) 11