а) Предположим, что выполняется равенство \[\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac7{23}\] Тогда \(a+c=7k\), \(b+d=23k\), где \(k\) – натуральное число. Так как \(a,
c\) – двузначные числа, то наименьшее значение \(a+c\geqslant
10+11=21\), следовательно, \(7k\geqslant 21 \quad\Rightarrow\quad
k\geqslant 3\).
Возьмем \(k=3\). Тогда \(a+c=21\), \(b+d=69\). Следовательно, можно взять, например, \(a=10\), \(c=11\), \(b=16\), \(d=53\).
Ответ: да.
б) Предположим, что может быть \[12\cdot \dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac ab+ \dfrac cd\] Перепишем это равенство в другом виде: \[12\cdot \dfrac a{b+d}+12\cdot \dfrac c{b+d} = \dfrac ab+\dfrac cd\] Докажем, что \[12\cdot \dfrac a{b+d}>\dfrac ab \quad
{\small{\text{и}}} \quad 12\cdot \dfrac c{b+d}>\dfrac cd\] Из этого будет следовать, что предположение неверно и такое равенство невозможно. Рассмотрим первое неравенство. \[12\cdot \dfrac a{b+d}>\dfrac ab \quad\Leftrightarrow\quad
\dfrac a{b+d}>\dfrac a{12b}=\dfrac a{b+11b}\] Так как все числа двузначные, то \(11b \geqslant 11\cdot 10=110\). Следовательно, \(d<11b\), а значит и левая дробь всегда строго больше правой.
Аналогично доказывается второе неравенство.
Следовательно, ответ: нет.
в) Так как все числа натуральные, то из \(a>4b\) можно сделать вывод, что \(a\geqslant 4b+1\). Аналогично \(c\geqslant 7d+1\). Подставим: \[\dfrac{a+c}{b+d} \geqslant \dfrac{4b+1+7d+1}{b+d}=4+\dfrac{3d+2}{b+d}\] Таким образом, наименьшее значение выражение будет принимать при наименьшем значении выражения \(\dfrac{3d+2}{b+d}\). Так как дробь тем меньше, чем больше ее знаменатель (при фиксированном числителе), то максимизируем знаменатель (то есть максимизируем \(b\)).
Так как \(a\) – двузначное, то максимальное значение для \(a\) – это 99, следовательно, \(4b+1\leqslant 99\), следовательно, \(b\leqslant
24\). Таким образом, получаем: \[\dfrac{a+c}{b+d} \geqslant 4+\dfrac{3d+2}{24+d}=4+\dfrac{3(d+24)+2-72}{d+24}
=4+3-\dfrac{70}{d+24}\]
Теперь для того, чтобы полученное справа выражение было как можно меньше, нужно сделать как можно больше \(\dfrac{70}{d+24}\), то есть сделать как можно меньше \(d\).
Наименьшее значение для \(d\) – это \(10\). Следовательно: \[\dfrac{a+c}{b+d} \geqslant4+3-\dfrac{70}{10+24}=4\frac{16}{17}\] Таким образом, если наименьшее значение \(4\frac{16}{17}\) достигается, то \(b=24\), \(d=10\), \(a= 4\cdot 24+1=97\), \(c= 7\cdot
10+1=71\).
Ответ:
а) да
б) нет
в) \(4\frac{16}{17}\)