Математика
Русский язык

Реальные варианты ЕГЭ 2017

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты «Школково». Официальный пробный ЕГЭ. 21 апреля 2017

Задание 1

В магазине вся мебель продается в разобранном виде. Покупатель может заказать сборку мебели на дому, стоимость которой составляет \(20\%\) от стоимости купленной мебели. Шкаф стоит 4100 рублей. Во сколько рублей обойдется покупка этого шкафа вместе со сборкой?

Найдем стоимость сборки: \(4100\cdot 20:100=820\) рублей. Следовательно, за шкаф и сборку покупатель заплатит \(4100+820=4920\) рублей.

Ответ: 4920

Задание 2

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, в каком месяце среднемесячная температура впервые превысила \(14^\circ C\). В ответе запишите номер месяца. (Например, ответ 1 обозначает январь.)

По диаграмме видно, что впервые температура превысила \(14^\circ C\) в мае:



Это 5-ый по счету месяц.

Ответ: 5

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображен треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.

По теореме синусов отношение длины стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности: \[\dfrac a{\sin\alpha}=2R\] Возьмем за угол \(\alpha\) угол \(A\), тогда \(a=BC\). Заметим, что \(\alpha=45^\circ\), так как \(\triangle B'AC'\) прямоугольный и равнобедренный. Следовательно, \(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt2}2\).



Найдем из прямоугольного \(\triangle BHC\) по теореме Пифагора \(BC\): \[BC=\sqrt{1^2+7^2}=5\sqrt2\] Следовательно, \[R=\dfrac{5\sqrt2}{\sqrt2}=5\]

Ответ: 5

Задание 4

В магазине три продавца. Каждый из них занят обслуживанием клиента с вероятностью 0,7 независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты.

Событие “все три продавца одновременно заняты” равно событию “занят первый продавец И занят второй продавец И занят третий продавец”. Так как каждый продавец занят с вероятностью 0,7 независимо от других, то вероятность этого события равна произведению вероятностей событий “занят первый продавец” , “занят второй продавец” и “занят третий продавец”: \[0,7\cdot 0,7\cdot 0,7=0,343.\]

Ответ: 0,343

Задание 5

Найдите корень уравнения \[\log_{\frac14}(9-5x)=-3\]

ОДЗ данного уравнения: \(9-5x>0\). Решим на ОДЗ: \[\log_{\frac14}(9-5x)=-3 \quad\Rightarrow\quad 9-5x=\left(\dfrac14\right)^{-3} \quad\Leftrightarrow\quad 9-5x=64 \quad\Leftrightarrow\quad x=-11.\] Данный ответ подходит по ОДЗ.

Ответ: -11

Задание 6

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AB\) боковая сторона равна \(16\sqrt7\), \(\sin\angle BAC=0,75\). Найдите длину высоты \(AH\).

Рассмотрим рисунок:



Проведем \(CK\perp AB\). Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный, то \(\angle BAC=\angle ABC\), следовательно, \(\sin \angle ABC=0,75=\frac34\).
Тогда из \(\triangle CKB\): \[\dfrac34=\dfrac{CK}{CB} \quad\Rightarrow\quad CK=12\sqrt7.\] Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle CKB\): \[KB=\sqrt{16^2\cdot 7-12^2\cdot 7}=\sqrt{4^2\cdot 7\cdot (4-3)(4+3)}= 4\cdot 7=28.\] Следовательно, так как \(CK\) также является и медианой, то есть \(AK=KB\), имеем: \(AB=2KB=56\).
Тогда из \(\triangle AHB\): \[\dfrac34=\dfrac{AH}{AB} \quad\Rightarrow\quad AH=42.\]

Ответ: 42

Задание 7

На рисунке изображен график функции \(y=f'(x)\) – производной функции \(f(x)\). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции \(y=f(x)\) параллельна прямой \(y=10-7x\) или совпадает с ней.

Необходимо найти \(x_0\), в которой к \(f(x)\) проведена касательная, причем эта касательная параллельна или совпадает с \(y=10-7x\).
Пусть уравнение касательной: \(y=kx+b\). Так как она параллельна или совпадает с \(y=10-7x\), то их угловые коэффициенты равны, то есть \(k=-7\).
Угловой коэффициент касательной к \(f(x)\) равен значению \(f'(x)\) в точке касания \(x_0\), то есть \(k=-7=f'(x_0)\).



Так как на графике как раз дана производная, то необходимо найти такую точку с абсциссой \(x_0\), у которой значение ординаты \(y_0=f'(x_0)\) равно \(-7\). Из рисунка видно, что на графике есть только одна точка с ординатой -7 – это точка \((-2;-7).\)

Ответ: -2

Задание 8

Даны два цилиндра. Объем первого цилиндра равен \(8\). У второго цилиндра высота в 4 раза меньше, а радиус основания в 3 раза больше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра.

Объем цилиндра с высотой \(h\) и радиусом основания \(R\) вычисляется по формуле \[V=\pi R^2\cdot h\] Следовательно, для первого цилиндра имеем равенство: \[8=\pi R^2\cdot h\] У второго цилиндра высота равна \(\frac14h\), а радиус основания равен \(3R\). Следовательно, его объем: \[V_2=\pi (3R)^2\cdot \dfrac14h=\dfrac94\cdot \pi R^2\cdot h=\dfrac94\cdot 8 =18.\]

Ответ: 18

Задание 9

Найдите значение выражения \[\dfrac{\sqrt{5,6}\cdot \sqrt{1,4}}{\sqrt{0,16}}\]

Занесем все под один корень: \[\sqrt{\dfrac{5,6\cdot 1,4}{0,16}}= \sqrt{\dfrac{56\cdot 14}{16}}=\sqrt{\dfrac{14\cdot 14}{4}}=\dfrac{14}2=7.\]

Ответ: 7

Задание 10

Автомобиль, масса которого равна \(m=2000\) кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение \(t\) секунд остается неизменным, и проходит за это время путь \(S=1000\) метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю (тяга двигателя), равно \(F=\dfrac{2mS}{t^2}\).

 

Определите время после начала движения автомобиля, за которое он пройдет указанный путь, если известно, что сила \(F\), приложенная к автомобилю, равна \(1600 H\). Ответ выразите в секундах.

Подставим значения в формулу: \[1600=\dfrac{2\cdot 2000\cdot 1000}{t^2} \quad\Rightarrow\quad t^2=\dfrac{2\cdot 2\cdot 1000\cdot 1000}{1600} \quad\Rightarrow\quad t=\dfrac{2\cdot 1000}{400}=50,\] так как \(t>0\) – время.

Ответ: 50

Задание 11

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 900 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте 3 секундам. Ответ дайте в метрах.

Фраза “пассажирский поезд прошел мимо товарного” означает, что в начале наблюдения нос пассажирского находился напротив хвоста товарного, а в конце – хвост пассажирского находился напротив носа товарного:


 

Зафиксируем две точки: нос пассажирского и хвост товарного. Тогда в начале наблюдения расстояние между ними было равно 0 м, а в конце наблюдения расстояние между ними было равно длине товарного поезда плюс длина пассажирского.
Заметим, что нос пассажирского поезда удаляется от хвоста товарного на \(90-30=60\) км за каждый час. Следовательно, скорость удаления равна \[v_{\text{удал.}}=60 \ \dfrac{{\small{\text{км}}}}{{\small{\text{ч}}}}= \dfrac{60\cdot 1000}{3600} \ \dfrac{{\small{\text{м}}}}{{\small{\text{с}}}}=\dfrac{50}3 \ \dfrac{{\small{\text{м}}}}{{\small{\text{с}}}}\]

Пусть \(l\) м – длина пассажирского поезда. 1 минута 3 секунды равна 63 секундам, следовательно: \[l+900=63\cdot \frac{50}3 \quad\Rightarrow\quad l=150 \ ({\small{\text{м}}})\]

Ответ: 150

Задание 12

Найдите точку минимума функции \(y=x^3-4x^2-3x-13.\)

Найдем производную: \[y'=3x^2-8x-3\] Найдем нули производной: \[3x^2-8x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=-\dfrac13 \quad {\small{\text{и}}} \quad x_2=3.\] Найдем знаки производной на промежутках:



Точка минимума – это точка, в которой производная меняет свой знак с минуса на плюс, следовательно, \(x_{min}=3\).

Ответ: 3

Задание 13

а) Решите уравнение \[\dfrac1{\sin^2x}-\dfrac3{\cos \left(\dfrac{11\pi}2+x\right)}=-2\]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}2\right].\)

а) По формуле приведения \(\cos \left(\dfrac{11\pi}2+x\right)=\sin x\), следовательно, уравнение примет вид: \[\dfrac1{\sin^2x}-\dfrac3{\sin x}+2=0\]

Сделаем замену \(t=\dfrac1{\sin x}\), тогда \[t^2-3t+2=0 \quad\Rightarrow\quad t_1=1 \quad {\small{\text{и}}} \quad t_2=2.\] Следовательно, \(\sin x=1\), что равносильно \(x=\dfrac{\pi}2+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\);

 

\(\sin x=\dfrac12\), что равносильно \(x=\dfrac{\pi}6+2\pi k\) и \(x=\dfrac{5\pi}6+2\pi n\), \(k,n\in\mathbb{Z}\).

 

б) Отберем корни.

 

\(-2\pi \leqslant \dfrac{\pi}6+2\pi k\leqslant -\dfrac{\pi}2 \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{13}{12}\leqslant k\leqslant -\dfrac13\). Так как \(k\) – целое, то \(k=-1\), следовательно, \(x=-\dfrac{11\pi}6\).  

\(-2\pi \leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi n\leqslant -\dfrac{\pi}2 \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{17}{12}\leqslant n\leqslant -\dfrac23\). Так как \(n\) – целое, то \(n=-1\), следовательно, \(x=-\dfrac{7\pi}6\).  

\(-2\pi \leqslant \dfrac{\pi}2+2\pi m\leqslant -\dfrac{\pi}2\quad\Rightarrow\quad -\dfrac54\leqslant m\leqslant -\dfrac12\). Так как \(m\) – целое, то \(m=-1\), следовательно, \(x=-\dfrac{3\pi}2.\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}6+2\pi k; \dfrac{5\pi}6+2\pi n; \dfrac{\pi}2+2\pi m; \ k,n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{11\pi}6; -\dfrac{3\pi}2; -\dfrac{7\pi}6\)

Задание 14

В основании пирамиды \(SABCD\) лежит прямоугольник \(ABCD\) со стороной \(AB=5\) и диагональю \(BD=9\). Все боковые ребра пирамиды равны \(5\). На диагонали \(BD\) основания \(ABCD\) отмечена точка \(E\), а на ребре \(AS\) – точка \(F\) так, что \(SF=BE=4\).

а) Докажите, что плоскость \(CEF\) параллельна ребру \(SB\).

б) Плоскость \(CEF\) пересекает ребро \(SD\) в точке \(Q\). Найдите расстояние от точки \(Q\) до плоскости \(ABC\).

а) Продлим \(CE\) до пересечения с \(AB\) в точке \(K\). Получим отрезок \(FK\), по которому плоскость \(CEF\) пересекает грань \(SAB\). Рассмотрим основание пирамиды:



\(DE=9-4=5=DC\), следовательно, \(\triangle DEC\) равнобедренный. Тогда \(\angle DCE=\angle DEC=\angle BEK=\angle BKE\), следовательно, \(\triangle BEK\) тоже равнобедренный и \(BE=BK=4\). Тогда \(AK=5-4=1\).

 

Заметим, что боковые грани \(ASB\) и \(CSD\) представляют собой равносторонние треугольники со стороной \(5\). Таким образом, в \(\triangle AFK\) \(AF=AK=1\) и \(\angle FAK=60^\circ\), следовательно, он также равносторонний, то есть \(FK\parallel SB\) (\(\angle AKF=\angle ABS=60^\circ\) как соответственные при секущей \(AB\)). Таким образом, в плоскости \(CEF\) есть прямая \(FK\), параллельная \(SB\). Следовательно, по признаку плоскость \(CEF\) параллельна \(SB\).

 

б) Так как плоскость \(CEF\parallel SB\), то она пересечет плоскость \(BSD\) по прямой \(EQ\), параллельной \(SB\) (в противном случае \(EQ\) будет пересекать \(SB\), следовательно, и плоскость \(CEF\) будет пересекать \(SB\)). Рассмотрим \(\triangle BSD\):

 

Заметим, что так как все боковые ребра пирамиды равны, то высота \(SO\) упадет в точку пересечения диагоналей основания (все треугольники \(SAO\), \(SBO\), \(SCO\) и \(SDO\) будут равны как прямоугольные по катету и гипотенузе, следовательно, \(AO=BO=CO=DO\), следовательно, \(O\) – точка пересечения диагоналей).
Проведем \(QH\parallel SO\). Так как \(SO\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), то и \(QH\perp (ABC)\). Таким образом, необходимо найти \(QH\).
Так как \(EQ\parallel SB\), то по теореме Фалеса: \[\dfrac54=\dfrac{DE}{EB}=\dfrac{DQ}{QS} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{DQ}{DS}=\dfrac59\] Так как \(\triangle DQH\sim \triangle DSO\) (по двум углам), то \[\dfrac{DQ}{DS}=\dfrac{QH}{SO} \quad\Rightarrow\quad QH=\dfrac59SO\] Таким образом, необходимо найти \(SO\).
Из прямоугольного \(\triangle SOB\): \[SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=\sqrt{5^2-4,5^2}=\dfrac{\sqrt{19}}2\] Следовательно, \[QH=\dfrac{5\sqrt{19}}{18}.\]

Ответ:

б) \(\dfrac{5\sqrt{19}}{18}\)

Задание 15

Решите неравенство \[\dfrac{\log_3(9x)\cdot \log_4(64x)}{5x^2-|x|}\leqslant 0\]

Найдем ОДЗ логарифмов: \[\begin{cases} 9x>0\\ 64x>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x>0\] Заметим, что на этом ОДЗ \(|x|=x\). Тогда на ОДЗ по методу рационализации неравенство равносильно: \[\dfrac{(3-1)(9x-1)(4-1)(64x-1)}{x(5x-1)}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(9x-1)(64x-1)}{x(5x-1)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:



Следовательно, решением будут \(x\in \left(0;\dfrac1{64}\right]\cup\left[\dfrac19;\dfrac15\right)\).
Пересекая данный ответ с ОДЗ \(x>0\), получаем окончательный ответ: \[x\in \left(0;\dfrac1{64}\right]\cup\left[\dfrac19;\dfrac15\right)\]

Ответ:

\(\left(0;\dfrac1{64}\right]\cup\left[\dfrac19;\dfrac15\right)\)

Задание 16

Прямая, проходящая через середину \(M\) гипотенузы \(AB\) прямоугольного треугольника \(ABC\), перпендикулярна \(CM\) и пересекает катет \(AC\) в точке \(K\). При этом \(AK:KC=1:2\).

а) Докажите, что \(\angle BAC=30^\circ\).

б) Пусть прямые \(MK\) и \(BC\) пересекаются в точке \(P\), а прямые \(AP\) и \(BK\) – в точке \(Q\). Найдите \(KQ\), если \(BC=2\sqrt3\).

а) Пусть \(AK=x, \ KC=2x\). Проведем \(BL\parallel MK\). Тогда по теореме Фалеса \[\dfrac{BM}{MA}=\dfrac11=\dfrac{LK}{KA} \quad\Rightarrow\quad LK=KA=x \quad\Rightarrow \quad CL=x.\]


Тогда также по теореме Фалеса: \[\dfrac{CL}{LK}=\dfrac11=\dfrac{CO}{OM} \quad\Rightarrow\quad CO=OM.\] Следовательно, \(BO\) – медиана и высота (\(MK\perp CM, \ BO\parallel MK \quad\Rightarrow\quad BO\perp CM\)), следовательно, \(\triangle CBM\) равнобедренный и \(CB=BM\). Следовательно, \(CB=\frac12BA\). Так как катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла в \(30^\circ\), то \(\angle BAC=30^\circ\).

 

б) Рассмотрим \(\triangle PMC\): \(\angle PMC=90^\circ\). Так как \(BM=BC\), то \(BM=BC=BP\), то есть \(B\) – середина \(CP\) (\(\angle BCM=\angle BMC=60^\circ\), следовательно, \(\angle CPM=30^\circ=\angle PMB\), следовательно, \(BP=BM\)).
Проведем \(BS\parallel AP\). Тогда \(BS\) – средняя линия треугольника \(APC\). Значит, \(CS=SA\).



Из прямоугольного \(\triangle ABC\): \[\mathrm{tg}\,30^\circ=\dfrac{BC}{AC} \quad\Rightarrow\quad AC= BC\cdot \sqrt3=6.\] Следовательно, \(CS=SA=3\), а так как \(CK:KA=2:1\), то \(KA=2\) и \(SK=1\).
Заметим, что \(\triangle BKS\sim \triangle QKA\) по двум углам (\(\angle BKS=\angle QKA\) как вертикальные, \(\angle BSK=\angle QAK\) как накрест лежащие при \(AQ\parallel BS\) и \(SA\) секущей). Следовательно, \[\dfrac{SK}{AK}=\dfrac12=\dfrac{BK}{KQ} \quad\Rightarrow\quad KQ=2BK.\] Найдем \(BK\).
По теореме Пифагора из \(\triangle BKC\): \[BK=\sqrt{BC^2+KC^2}=\sqrt{(2\sqrt3)^2+4^2}=2\sqrt{7}\] Следовательно, \[KQ=4\sqrt7.\]

Ответ:

б) \(4\sqrt7\)

Задание 17

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн. рублей на срок 10 лет. Условия его возврата таковы:

 

— каждый январь долг возрастает на \(r\%\) по сравнению с долгом на конец предыдущего года;

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

 

Найдите наименьшую возможную ставку \(r\), если известно, что последний платеж будет не менее 0,92 млн. рублей.

Фраза “на начало июля каждого года долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем” означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами.
Составим таблицу (ведя вычисления в млн. рублей), обозначив величину \(\dfrac{r}{100}=0,01r=t\): \[\begin{array}{|l|c|c|l|} \hline \text{Год} & \text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления }\% & \text{Платеж}\\ \hline 1 & 8 & 8+t\cdot 8 & \frac1{10}\cdot 8+t\cdot 8\\ \hline 2 & \frac9{10}\cdot 8 & \frac9{10}\cdot 8+t\cdot \frac9{10}\cdot 8 & \frac1{10}\cdot 8 + t\cdot \frac9{10}\cdot 8\\ \hline ... & ... & ... & ...\\ \hline 10 & \frac1{10}\cdot 8 & \frac1{10}\cdot 8+t\cdot \frac1{10}\cdot 8 & \frac1{10}\cdot 8+t\cdot \frac1{10}\cdot 8\\ \hline \end{array}\] Таким образом, последний платеж равен \(\frac1{10}\cdot 8+t\cdot \frac1{10}\cdot 8\). Следовательно, из условия получаем: \[\frac1{10}\cdot 8+t\cdot \frac1{10}\cdot 8\geqslant 0,92 \quad\Leftrightarrow\quad t\geqslant \dfrac3{20} \quad\Rightarrow\quad r\geqslant \dfrac{15}{100}\] Значит, наименьшая процентная ставка равна \(15\%\).

Ответ: 15

Задание 18

Найдите все значения \(a\), для каждого из которых уравнение \[25^x-(a+6)\cdot 5^x=(5+3|a|)\cdot 5^x-(a+6)(3|a|+5)\]

имеет единственное решение.

Сделаем замену \(t=5^x, t>0\) и перенесем все слагаемые в одну часть: \[t^2-\bigg((a+6)+(5+3|a|)\bigg)\cdot t+(a+6)(3|a|+5)=0\] Получили квадратное уравнение, корнями которого по теореме Виета являются \(t_1=a+6\) и \(t_2=5+3|a|\). Для того, чтобы исходное уравнение имело один корень, достаточно, чтобы полученное уравнение с \(t\) тоже имело один (положительный!) корень.
Заметим сразу, что \(t_2\) при всех \(a\) будет положительным. Таким образом, получаем два случая:

 

1) \(t_1=t_2\): \[a+6=5+3|a| \quad\Leftrightarrow\quad 3|a|=a+1 \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} & 3a=a+1\\ &3a=-a-1 \end{aligned} \end{gathered} \right. \\ a+1\geqslant 0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} & a=\dfrac12\\[2ex] &a=-\dfrac14 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

2) Так как \(t_2\) всегда положителен, то \(t_1\) должен быть \(\leqslant 0\): \[a+6\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad a\leqslant -6.\]

Ответ:

\((-\infty;-6]\cup\left\{-\frac14;\frac12\right\}\)

Задание 19

Известно, что \(a, b, c, d\) – попарно различные положительные двузначные числа.

 

а) Может ли выполняться равенство \(\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac7{23} \ ?\)

 

б) Может ли дробь \(\dfrac{a+c}{b+d}\) быть в 12 раз меньше, чем сумма \(\dfrac ab+\dfrac cd \ ?\)

 

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь \(\dfrac{a+c}{b+d}\), если \(a>4b\) и \(c>7d \ ?\)

а) Предположим, что выполняется равенство \[\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac7{23}\] Тогда \(a+c=7k\), \(b+d=23k\), где \(k\) – натуральное число. Так как \(a, c\) – двузначные числа, то наименьшее значение \(a+c\geqslant 10+11=21\), следовательно, \(7k\geqslant 21 \quad\Rightarrow\quad k\geqslant 3\).
Возьмем \(k=3\). Тогда \(a+c=21\), \(b+d=69\). Следовательно, можно взять, например, \(a=10\), \(c=11\), \(b=16\), \(d=53\).
Ответ: да.

 

б) Предположим, что может быть \[12\cdot \dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac ab+ \dfrac cd\] Перепишем это равенство в другом виде: \[12\cdot \dfrac a{b+d}+12\cdot \dfrac c{b+d} = \dfrac ab+\dfrac cd\] Докажем, что \[12\cdot \dfrac a{b+d}>\dfrac ab \quad {\small{\text{и}}} \quad 12\cdot \dfrac c{b+d}>\dfrac cd\] Из этого будет следовать, что предположение неверно и такое равенство невозможно. Рассмотрим первое неравенство. \[12\cdot \dfrac a{b+d}>\dfrac ab \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac a{b+d}>\dfrac a{12b}=\dfrac a{b+11b}\] Так как все числа двузначные, то \(11b \geqslant 11\cdot 10=110\). Следовательно, \(d<11b\), а значит и левая дробь всегда строго больше правой.
Аналогично доказывается второе неравенство.
Следовательно, ответ: нет.

 

в) Так как все числа натуральные, то из \(a>4b\) можно сделать вывод, что \(a\geqslant 4b+1\). Аналогично \(c\geqslant 7d+1\). Подставим: \[\dfrac{a+c}{b+d} \geqslant \dfrac{4b+1+7d+1}{b+d}=4+\dfrac{3d+2}{b+d}\] Таким образом, наименьшее значение выражение будет принимать при наименьшем значении выражения \(\dfrac{3d+2}{b+d}\). Так как дробь тем меньше, чем больше ее знаменатель (при фиксированном числителе), то максимизируем знаменатель (то есть максимизируем \(b\)).
Так как \(a\) – двузначное, то максимальное значение для \(a\) – это 99, следовательно, \(4b+1\leqslant 99\), следовательно, \(b\leqslant 24\). Таким образом, получаем: \[\dfrac{a+c}{b+d} \geqslant 4+\dfrac{3d+2}{24+d}=4+\dfrac{3(d+24)+2-72}{d+24} =4+3-\dfrac{70}{d+24}\]

Теперь для того, чтобы полученное справа выражение было как можно меньше, нужно сделать как можно больше \(\dfrac{70}{d+24}\), то есть сделать как можно меньше \(d\).
Наименьшее значение для \(d\) – это \(10\). Следовательно: \[\dfrac{a+c}{b+d} \geqslant4+3-\dfrac{70}{10+24}=4\frac{16}{17}\] Таким образом, если наименьшее значение \(4\frac{16}{17}\) достигается, то \(b=24\), \(d=10\), \(a= 4\cdot 24+1=97\), \(c= 7\cdot 10+1=71\).

Ответ:

а) да

б) нет

в) \(4\frac{16}{17}\)