Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сведение тригонометрических уравнений к однородному уравнению

\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения второй степени: \[\large{I. \ a\sin^2 x+b\sin x\cos x+c\cos^2 x=0, \ \ \ a,c\ne 0}\] (если один из коэффициентов \(a\) или \(c\) равен нулю, то уравнение можно решить разложением на множители)

 

Способ решения: т.к. в данном уравнении ни \(\sin x=0\), ни \(\cos x=0\) не являются решением, то разделим правую и левую части уравнения на \(\sin^2x\) (или \(\cos^2 x\)). Тогда уравнение сведется к \[\large{a \mathrm{tg}^2\, x+b\mathrm{tg}\, x+c=0,}\]которое далее решается как квадратное.

 

Уравнение \[\large{I'. \ a\sin^2 x+b\sin x\cos x+c\cos^2 x=d, \ \ \ a,c,d\ne 0}\]сводится к уравнению \(I\) с помощью формулы \(d=d\cdot 1=d\cdot (\sin^2 x+\cos^2 x)\) и приведения подобных слагаемых.

 

\[\large{II. \ a \mathrm{tg}^n\, x+b+d \mathrm{ctg}^n\, x=0, \ \ \ a,d\ne 0}\] Способ решения: т.к. в данном уравнении ни \(\mathrm{tg}\, x=0\), ни \(\mathrm{ctg}\, x=0\) не являются решением, то умножим правую и левую части уравнения на \(\mathrm{tg}^n\, x\) (или \(\mathrm{ctg}^n\, x\)). Тогда уравнение в виду формулы \(\mathrm{tg}\, x\cdot \mathrm{ctg}\, x=1\) сведется к \[\large{a \mathrm{tg}^{2n}\, x+b\mathrm{tg}^n\, x+d=0,}\]которое далее решается как квадратное после замены \(\mathrm{tg}^n\, x=t\).

 

\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения первой степени: \[\large{III. \ a\sin x+b\cos x=0, \ \ \ a,b\ne 0}\] Способ решения: т.к. в данном уравнении ни \(\cos x=0\), ни \(\sin x=0\) не являются решениями, то можно поделить правую и левую части уравнения на \(\cos x\) (или \(\sin x\)). Тогда уравнение примет вид: \[a\mathrm{tg}\, x+b=0 \Rightarrow \mathrm{tg}\,x=-\dfrac ba\]

Уравнение \[\large{III'. \ a\sin x+b\cos x=c, \ \ \ a,b,c\ne 0}\] можно решить двумя разными способами:

 

1 способ при помощи формул   \(\sin x=2\sin{\dfrac x2}\cos{\dfrac x2}\), \(\cos x=\cos^2 {\dfrac x2}-\sin^2 {\dfrac x2}\),\(c=c\cdot \Big(\sin^2 {\dfrac x2}+\cos^2 {\dfrac x2}\Big)\)   уравнение сведется к уравнению \(I\).

 

2 способ при помощи формул выражения функций через тангенс половинного угла: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin{\alpha}=\dfrac{2\mathrm{tg}\, \dfrac{\alpha}2}{1+\mathrm{tg}^2\, \dfrac{\alpha}2} &&& \cos{\alpha}=\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\, \dfrac{\alpha}2}{1+\mathrm{tg}^2\, \dfrac{\alpha}2}\\&&&\\ \hline \end{array}\] уравнение сведется к квадратному уравнению относительно \(\mathrm{tg}\, \dfrac x2\)

Задание 1 #2294
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \(\sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x=0\).

 

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[-\pi;\dfrac{\pi}2\right]\).

а) Данное уравнение является однородным и решается путем деления правой и левой частей уравнения на \(\sin^2x\) или на \(\cos^2x\). Разделим на \(\cos^2x\):

\[\mathrm{tg}^2\,x-3\mathrm{tg}\,x+2=0 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\mathrm{tg}\,x=1\\ &\mathrm{tg}\,x=2 \end{aligned} \end{gathered} \right.\quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x_1=\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\mathrm{arctg}\,2+\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

б) Отберем корни.

\[-\pi\leqslant x_1\leqslant \frac{\pi}2 \quad \Rightarrow \quad -\frac54\leqslant n\leqslant \frac14\]

Таким образом, целые \(n\), удовлетворяющие этому неравенству, это \(n=-1;0\). При этих значениях \(n\) получаем корни: \(x=-\dfrac{3\pi}4; \dfrac{\pi}4\).

 

\[-\pi\leqslant x_2\leqslant \frac{\pi}2 \quad \Rightarrow \quad -1-\frac{\mathrm{arctg}\,2}{\pi}\leqslant k\leqslant \frac12-\frac{\mathrm{arctg}\,2}{\pi}\]

Заметим, что \(\frac{\pi}4<\mathrm{arctg}\,2<\frac{\pi}2\). Следовательно, \(\frac14<\frac{\mathrm{arctg}\,2}{\pi}<\frac12\). Таким образом,

 

\(-1\frac12<-1-\frac{\mathrm{arctg}\,2}{\pi}<-1\frac14\);

 

\(0<\frac12-\frac{\mathrm{arctg}\,2}{\pi}<\frac14\).

 

Значит, целые \(k\), подходящие в полученное неравенство, это \(k=-1;0\). При этих значениях \(k\) получаем корни \(x=\mathrm{arctg}\,2-\pi; \ \mathrm{arctg}\,2\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}4+\pi n; \mathrm{arctg}\,2+\pi k; n,k\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{3\pi}4; \mathrm{arctg}\,2-\pi; \dfrac{\pi}4; \mathrm{arctg}\,2\)

Задание 2 #1323
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin\dfrac{\pi x}2-\sqrt3\cos \dfrac{\pi x}2=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((2;2\pi)\).

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Сделаем замену \(\dfrac{\pi x}2 =y\) для удобства. Тогда уравнение примет вид:

\[\sin y-\sqrt 3\cos y=0\]

Это однородное уравнение первой степени, разделим обе части равенства на \(\cos y\):

\[\mathrm{tg}\,y=\sqrt3 \Rightarrow y=\dfrac{\pi}3+\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

Сделаем обратную замену:

\[\dfrac{\pi x}2=\dfrac{\pi}3+\pi n \Rightarrow x=\dfrac23 +2n, n\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни:

\[2<\dfrac23 +2n<2\pi \Rightarrow \dfrac23<n<\pi-\dfrac13\]

Т.к. \(\pi\sim 3,14 \Rightarrow \pi<3,15 \Rightarrow 2<\pi-\dfrac13<3\).

 

Таким образом, целые \(n\), удовлетворяющие неравенству, это \(n=1;2\). Значит, \(x=\dfrac83; \dfrac{14}3\).

Ответ:

а) \(\dfrac23 +2n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac83; \dfrac{14}3\)

Задание 3 #1308
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin^23x=10\sin3x\cos3x-9\cos^23x\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{\pi}6;\dfrac{\pi}6\right]\).

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим уравнение на ОДЗ.

Перенесем все слагаемые в левую часть и разделим обе части уравнения на \(\cos^23x\) (т.к. данное уравнение является однородным): \[\mathrm{tg}^2\,3x-10\mathrm{tg}\,3x+9=0\] Сделаем замену \(t=\mathrm{tg}\,3x, \ t\in\mathbb{R}\): \[t^2-10t+9=0\]

По теореме Виета можно найти корни данного уравнения: \(t_1=9, t_2=1\). Сделаем обратную замену: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\mathrm{tg}\,3x=1\\ &\mathrm{tg}\,3x=9 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &3x=\dfrac{\pi}4+\pi k, k\in\mathbb{Z}\\ &3x=\mathrm{arctg}\,9 +\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}3 k, k\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\dfrac13\mathrm{arctg}\,9 +\dfrac{\pi}3 n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow\]

б) Отберем корни: \[-\dfrac{\pi}6\leqslant x_1\leqslant \dfrac{\pi}6 \ \Rightarrow -2\pi\leqslant \pi+4\pi k\leqslant 2\pi \Rightarrow -\dfrac34 \leqslant k\leqslant \dfrac14\]

Целые \(k\), удовлетворяющие этому неравенству, \(k=0\). Следовательно, \(x_1=\dfrac{\pi}{12}\)

 

Обозначим \(\mathrm{arctg}\,9=\alpha\): \[-\dfrac{\pi}6\leqslant x_2\leqslant \dfrac{\pi}6 \ \Rightarrow -\dfrac12-\dfrac{\alpha}{\pi}\leqslant n\leqslant \dfrac12-\dfrac{\alpha}{\pi}\]

Т.к. тангенс в первой четверти возрастает, то \(\dfrac{\pi}3<\alpha<\dfrac{\pi}2\), значит, \(-\dfrac12<-\dfrac{\alpha}{\pi}<-\dfrac13 \Rightarrow -1<-\dfrac12-\dfrac{\alpha}{\pi}<-\dfrac56\)

 

Аналогично, \(0<\dfrac12-\dfrac{\alpha}{\pi}<\dfrac16\)

 

Таким образом, целые \(n\), удовлетворяющие неравенству, это \(n=0\). Следовательно, \(x_2=\dfrac13\mathrm{arctg}\,9\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}3 k, \dfrac13\mathrm{arctg}\,9 +\dfrac{\pi}3 n, k,n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{\pi}{12},\dfrac13\mathrm{arctg}\,9\)

Задание 4 #1303
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \sin(2x) - 2\sqrt{3}\cos^2x-4\sin x + 4\sqrt{3}\cos x = 0. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]\).

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное.
По формуле синуса двойного угла: \[2\sin x\cdot\cos x - 2\sqrt{3}\cos^2x-4\sin x + 4\sqrt{3}\cos x = 0.\] Сгруппируем первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое:

\[\begin{aligned} 2\sin x(\cos x - 2) - 2\sqrt{3}\cos x(\cos x - 2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (\cos x - 2)(\sin x - \sqrt{3}\cos x) = 0. \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл: \[\cos x = 2\qquad \text{или}\qquad \sin x - \sqrt{3}\cos x = 0.\] Так как \(-1 \leq\cos x\leq 1\), то \(\cos x = 2\) не подходит.
\[\sin x - \sqrt{3}\cos x = 0.\] Так как те \(x\), при которых \(\cos x = 0\) не могут быть решениями, то на \(\cos x\) можно разделить: \[\mathrm{tg}\, x = \sqrt{3}.\]

Решения уравнения \(\mathrm{tg}\, x = a\) имеют вид \(x = \mathrm{arctg}\, a + \pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно,   решения уравнения \(\mathrm{tg}\, x = \sqrt{3}\) имеют вид \(x = \dfrac{\pi}{3} + \pi k, k\in\mathbb{Z}\).

б) \[\pi \leq \dfrac{\pi}{3} + \pi k \leq \dfrac{5\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{2}{3} \leq k \leq \dfrac{13}{6},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда подходят \(x\) при \(k = 1\) и \(k = 2\): \(x = \dfrac{4\pi}{3}\) и \(x = \dfrac{7\pi}{3}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{3} + \pi k, k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\dfrac{4\pi}{3}\), \(\dfrac{7\pi}{3}\).

Задание 5 #1311
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[10\sin x+3\cos x=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие полуинтервалу \([-\pi;\pi)\).

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Заметим, что данное уравнение является однородным первой степени. Поделим правую и левую части уравнения на \(\cos x\): \[10\mathrm{tg}\,x+3=0 \Rightarrow \mathrm{tg}\, x=-0,3 \Rightarrow x=\mathrm{arctg}\,(-0,3)+\pi k, k\in\mathbb{Z} \Rightarrow x=-\mathrm{arctg}\,0,3+\pi k, k\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни. Обозначим \(\mathrm{arctg}\,0,3=\alpha\): \[-\pi\leqslant -\alpha+\pi k<\pi \Rightarrow -1+\dfrac{\alpha}{\pi}\leqslant k<1+\dfrac{\alpha}{\pi}\]

Т.к. тангенс в первой четверти возрастает и \(0,3<\dfrac{\sqrt3}3\), то \(0<\alpha<\dfrac{\pi}6 \Rightarrow -1<-1+\dfrac{\alpha}{\pi}<-\dfrac56 \ \) и \( \ 1<1+\dfrac{\alpha}{\pi}<1\dfrac16\)

 

Условно можно записать, что \(-0,...\leqslant k<1,...\)
Следовательно, целые \(k\), удовлетворяющие неравенству, это \(k=0; 1\). Им соответствуют углы \(-\mathrm{arctg}\,0,3\) и \(-\mathrm{arctg}\,0,3+\pi\).

Ответ:

а) \(-\mathrm{arctg}\,0,3+\pi k, k\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\mathrm{arctg}\,0,3; \pi-\mathrm{arctg}\,0,3\)

Задание 6 #1321
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[(\sin x+2\cos x)(3\sin x+\cos x)=\sin 2x\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие \(\left[-\dfrac{\pi}2;\dfrac{\pi}2\right]\).

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Применим формулу синуса двойного угла \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:

\[3\sin^2x+5\sin x\cos x+2\cos^2x=0\]

Разделим правую и левую части равенства на \(\cos^2x\), сделаем замену \(\mathrm{tg}x=t,t\in\mathbb{R}\) и получим: \[3t^2+5t+2=0 \Rightarrow t_1=-1; t_2=-\dfrac23\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\mathrm{tg}\,x=-1\\ &\mathrm{tg}\,x-\dfrac23 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=-\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x_2=-\mathrm{arctg}\,\dfrac23+\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни:

\[-\dfrac{\pi}2\leqslant x_1\leqslant \dfrac{\pi}2 \Rightarrow -\dfrac14\leqslant n\leqslant \dfrac34 \Rightarrow n=0\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}4\]

Обозначим \(\mathrm{tg}\,\dfrac23=\alpha\), тогда:

\[-\dfrac{\pi}2\leqslant x_2\leqslant \dfrac{\pi}2 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{\pi}-\dfrac12\leqslant m \leqslant \dfrac{\alpha}{\pi}+\dfrac12\]

Т.к. в первой четверти тангенс возрастает и \(\dfrac23<1 \Rightarrow 0<\alpha<\dfrac{\pi}4 \Rightarrow 0<\dfrac{\alpha}{\pi}<\dfrac14 \Rightarrow\) целое \(m\), удовлетворяющее неравенству, это \(m=0\). Ему соответствует угол \(x=-\mathrm{arctg}\,\dfrac23\).

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}4+\pi n,-\mathrm{arctg}\,\dfrac23+\pi m, \ n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{\pi}4; -\mathrm{arctg}\,\dfrac23\)

Задание 7 #3481
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin^22x+\sin4x+\cos4x=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие интервалу \((-1;0)\).

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Воспользуемся формулами двойного угла для синуса \(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\) и косинуса \(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\):  

\(\sin^22x+2\sin2x\cos2x+\cos^22x-\sin^22x=0 \Rightarrow \cos^22x+2\sin2x\cos2x=0 \Rightarrow \)  

\(\cos2x(\cos2x+2\sin2x)=0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\cos2x=0\\ &\cos2x+2\sin2x=0 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow\)  

\(\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &2x=\dfrac{\pi}2+\pi n,n\in\mathbb{Z}\\ &\mathrm{ctg}\,2x=-2 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}2 n, n\in\mathbb{Z}\\ &x_2=-\dfrac12 \mathrm{arcctg}\,2+\dfrac{\pi}2 m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right. \)  

б) Отберем корни:

1) \(-1<x_1<0 \Rightarrow -\dfrac2{\pi}-\dfrac12<n<-\dfrac12\).

 

Т.к. \(\pi<\dfrac 72 \Rightarrow \dfrac2{\pi}>\dfrac47 \Rightarrow -\dfrac2{\pi}-\dfrac12<-\dfrac{15}{14} \Rightarrow n=-1 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}4\)

 

2) Обозначим \(\mathrm{arcctg}\,2=\alpha\), тогда \(-1<x_2<0 \Rightarrow -\dfrac2{\pi}+\dfrac{\alpha}{\pi}<m<\dfrac{\alpha}{\pi}\).

 

Т.к. \(3<\pi<4 \Rightarrow \dfrac14<\dfrac1{\pi}<\dfrac13\Rightarrow -\dfrac23<-\dfrac2{\pi}<-\dfrac12\)

 

Т.к. в первой четверти котангенс убывает и \(2>1\), то \(\alpha<\dfrac{\pi}4 \Rightarrow 0<\dfrac{\alpha}{\pi}<\dfrac14\)

 

Следовательно, \(-\dfrac23<-\dfrac2{\pi}+\dfrac{\alpha}{\pi}<-\dfrac14\)

 

Условно можно записать, что \(-0,...<m<0,... \Rightarrow m=0 \Rightarrow x=-\dfrac12 \mathrm{arcctg}\,2\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}2 n, -\dfrac12 \mathrm{arcctg}\,2+ \dfrac{\pi}2 m, \ n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{\pi}4; -\dfrac12 \mathrm{arcctg}\,2\)