Математика
Русский язык

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сведение тригонометрических уравнений к однородному уравнению

\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения второй степени: \[\large{I. \ a\sin^2 x+b\sin x\cos x+c\cos^2 x=0, \ \ \ a,c\ne 0}\] (если один из коэффициентов \(a\) или \(c\) равен нулю, то уравнение можно решить разложением на множители)

 

Способ решения: т.к. в данном уравнении ни \(\sin x=0\), ни \(\cos x=0\) не являются решением, то разделим правую и левую части уравнения на \(\sin^2x\) (или \(\cos^2 x\)). Тогда уравнение сведется к \[\large{a \mathrm{tg}^2\, x+b\mathrm{tg}\, x+c=0,}\]которое далее решается как квадратное.

 

Уравнение \[\large{I'. \ a\sin^2 x+b\sin x\cos x+c\cos^2 x=d, \ \ \ a,c,d\ne 0}\]сводится к уравнению \(I\) с помощью формулы \(d=d\cdot 1=d\cdot (\sin^2 x+\cos^2 x)\) и приведения подобных слагаемых.

 

\[\large{II. \ a \mathrm{tg}^n\, x+b+d \mathrm{ctg}^n\, x=0, \ \ \ a,d\ne 0}\] Способ решения: т.к. в данном уравнении ни \(\mathrm{tg}\, x=0\), ни \(\mathrm{ctg}\, x=0\) не являются решением, то умножим правую и левую части уравнения на \(\mathrm{tg}^n\, x\) (или \(\mathrm{ctg}^n\, x\)). Тогда уравнение в виду формулы \(\mathrm{tg}\, x\cdot \mathrm{ctg}\, x=1\) сведется к \[\large{a \mathrm{tg}^{2n}\, x+b\mathrm{tg}^n\, x+d=0,}\]которое далее решается как квадратное после замены \(\mathrm{tg}^n\, x=t\).

 

\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения первой степени: \[\large{III. \ a\sin x+b\cos x=0, \ \ \ a,b\ne 0}\] Способ решения: т.к. в данном уравнении ни \(\cos x=0\), ни \(\sin x=0\) не являются решениями, то можно поделить правую и левую части уравнения на \(\cos x\) (или \(\sin x\)). Тогда уравнение примет вид: \[a\mathrm{tg}\, x+b=0 \Rightarrow \mathrm{tg}\,x=-\dfrac ba\]

Уравнение \[\large{III'. \ a\sin x+b\cos x=c, \ \ \ a,b,c\ne 0}\] можно решить двумя разными способами:

 

1 способ при помощи формул   \(\sin x=2\sin{\dfrac x2}\cos{\dfrac x2}\), \(\cos x=\cos^2 {\dfrac x2}-\sin^2 {\dfrac x2}\),\(c=c\cdot \Big(\sin^2 {\dfrac x2}+\cos^2 {\dfrac x2}\Big)\)   уравнение сведется к уравнению \(I\).

 

2 способ при помощи формул выражения функций через тангенс половинного угла: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin{\alpha}=\dfrac{2\mathrm{tg}\, \dfrac{\alpha}2}{1+\mathrm{tg}^2\, \dfrac{\alpha}2} &&& \cos{\alpha}=\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\, \dfrac{\alpha}2}{1+\mathrm{tg}^2\, \dfrac{\alpha}2}\\&&&\\ \hline \end{array}\] уравнение сведется к квадратному уравнению относительно \(\mathrm{tg}\, \dfrac x2\)

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \(\sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x=0\).

 

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[-\pi;\dfrac{\pi}2\right]\).

Добавить задание в избранное

а) Данное уравнение является однородным и решается путем деления правой и левой частей уравнения на \(\sin^2x\) или на \(\cos^2x\). Разделим на \(\cos^2x\):

\[\mathrm{tg}^2\,x-3\mathrm{tg}\,x+2=0 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\mathrm{tg}\,x=1\\ &\mathrm{tg}\,x=2 \end{aligned} \end{gathered} \right.\quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x_1=\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\mathrm{arctg}\,2+\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

б) Отберем корни.

\[-\pi\leqslant x_1\leqslant \frac{\pi}2 \quad \Rightarrow \quad -\frac54\leqslant n\leqslant \frac14\]

Таким образом, целые \(n\), удовлетворяющие этому неравенству, это \(n=-1;0\). При этих значениях \(n\) получаем корни: \(x=-\dfrac{3\pi}4; \dfrac{\pi}4\).

 

\[-\pi\leqslant x_2\leqslant \frac{\pi}2 \quad \Rightarrow \quad -1-\frac{\mathrm{arctg}\,2}{\pi}\leqslant k\leqslant \frac12-\frac{\mathrm{arctg}\,2}{\pi}\]

Заметим, что \(\frac{\pi}4<\mathrm{arctg}\,2<\frac{\pi}2\). Следовательно, \(\frac14<\frac{\mathrm{arctg}\,2}{\pi}<\frac12\). Таким образом,

 

\(-1\frac12<-1-\frac{\mathrm{arctg}\,2}{\pi}<-1\frac14\);

 

\(0<\frac12-\frac{\mathrm{arctg}\,2}{\pi}<\frac14\).

 

Значит, целые \(k\), подходящие в полученное неравенство, это \(k=-1;0\). При этих значениях \(k\) получаем корни \(x=\mathrm{arctg}\,2-\pi; \ \mathrm{arctg}\,2\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}4+\pi n; \mathrm{arctg}\,2+\pi k; n,k\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{3\pi}4; \mathrm{arctg}\,2-\pi; \dfrac{\pi}4; \mathrm{arctg}\,2\)

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin\dfrac{\pi x}2-\sqrt3\cos \dfrac{\pi x}2=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((2;2\pi)\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Сделаем замену \(\dfrac{\pi x}2 =y\) для удобства. Тогда уравнение примет вид:

\[\sin y-\sqrt 3\cos y=0\]

Это однородное уравнение первой степени, разделим обе части равенства на \(\cos y\):

\[\mathrm{tg}\,y=\sqrt3 \Rightarrow y=\dfrac{\pi}3+\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

Сделаем обратную замену:

\[\dfrac{\pi x}2=\dfrac{\pi}3+\pi n \Rightarrow x=\dfrac23 +2n, n\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни:

\[2<\dfrac23 +2n<2\pi \Rightarrow \dfrac23<n<\pi-\dfrac13\]

Т.к. \(\pi\sim 3,14 \Rightarrow \pi<3,15 \Rightarrow 2<\pi-\dfrac13<3\).

 

Таким образом, целые \(n\), удовлетворяющие неравенству, это \(n=1;2\). Значит, \(x=\dfrac83; \dfrac{14}3\).

Ответ:

а) \(\dfrac23 +2n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac83; \dfrac{14}3\)

Задание 3
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin^23x=10\sin3x\cos3x-9\cos^23x\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{\pi}6;\dfrac{\pi}6\right]\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим уравнение на ОДЗ.

Перенесем все слагаемые в левую часть и разделим обе части уравнения на \(\cos^23x\) (т.к. данное уравнение является однородным): \[\mathrm{tg}^2\,3x-10\mathrm{tg}\,3x+9=0\] Сделаем замену \(t=\mathrm{tg}\,3x, \ t\in\mathbb{R}\): \[t^2-10t+9=0\]

По теореме Виета можно найти корни данного уравнения: \(t_1=9, t_2=1\). Сделаем обратную замену: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\mathrm{tg}\,3x=1\\ &\mathrm{tg}\,3x=9 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &3x=\dfrac{\pi}4+\pi k, k\in\mathbb{Z}\\ &3x=\mathrm{arctg}\,9 +\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}3 k, k\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\dfrac13\mathrm{arctg}\,9 +\dfrac{\pi}3 n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow\]

б) Отберем корни: \[-\dfrac{\pi}6\leqslant x_1\leqslant \dfrac{\pi}6 \ \Rightarrow -2\pi\leqslant \pi+4\pi k\leqslant 2\pi \Rightarrow -\dfrac34 \leqslant k\leqslant \dfrac14\]

Целые \(k\), удовлетворяющие этому неравенству, \(k=0\). Следовательно, \(x_1=\dfrac{\pi}{12}\)

 

Обозначим \(\mathrm{arctg}\,9=\alpha\): \[-\dfrac{\pi}6\leqslant x_2\leqslant \dfrac{\pi}6 \ \Rightarrow -\dfrac12-\dfrac{\alpha}{\pi}\leqslant n\leqslant \dfrac12-\dfrac{\alpha}{\pi}\]

Т.к. тангенс в первой четверти возрастает, то \(\dfrac{\pi}3<\alpha<\dfrac{\pi}2\), значит, \(-\dfrac12<-\dfrac{\alpha}{\pi}<-\dfrac13 \Rightarrow -1<-\dfrac12-\dfrac{\alpha}{\pi}<-\dfrac56\)

 

Аналогично, \(0<\dfrac12-\dfrac{\alpha}{\pi}<\dfrac16\)

 

Таким образом, целые \(n\), удовлетворяющие неравенству, это \(n=0\). Следовательно, \(x_2=\dfrac13\mathrm{arctg}\,9\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}3 k, \dfrac13\mathrm{arctg}\,9 +\dfrac{\pi}3 n, k,n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{\pi}{12},\dfrac13\mathrm{arctg}\,9\)

Задание 4
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \sin(2x) - 2\sqrt{3}\cos^2x-4\sin x + 4\sqrt{3}\cos x = 0. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное.
По формуле синуса двойного угла: \[2\sin x\cdot\cos x - 2\sqrt{3}\cos^2x-4\sin x + 4\sqrt{3}\cos x = 0.\] Сгруппируем первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое:

\[\begin{aligned} 2\sin x(\cos x - 2) - 2\sqrt{3}\cos x(\cos x - 2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (\cos x - 2)(\sin x - \sqrt{3}\cos x) = 0. \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл: \[\cos x = 2\qquad \text{или}\qquad \sin x - \sqrt{3}\cos x = 0.\] Так как \(-1 \leq\cos x\leq 1\), то \(\cos x = 2\) не подходит.
\[\sin x - \sqrt{3}\cos x = 0.\] Так как те \(x\), при которых \(\cos x = 0\) не могут быть решениями, то на \(\cos x\) можно разделить: \[\mathrm{tg}\, x = \sqrt{3}.\]

Решения уравнения \(\mathrm{tg}\, x = a\) имеют вид \(x = \mathrm{arctg}\, a + \pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно,   решения уравнения \(\mathrm{tg}\, x = \sqrt{3}\) имеют вид \(x = \dfrac{\pi}{3} + \pi k, k\in\mathbb{Z}\).

б) \[\pi \leq \dfrac{\pi}{3} + \pi k \leq \dfrac{5\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{2}{3} \leq k \leq \dfrac{13}{6},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда подходят \(x\) при \(k = 1\) и \(k = 2\): \(x = \dfrac{4\pi}{3}\) и \(x = \dfrac{7\pi}{3}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{3} + \pi k, k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\dfrac{4\pi}{3}\), \(\dfrac{7\pi}{3}\).

Задание 5
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[10\sin x+3\cos x=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие полуинтервалу \([-\pi;\pi)\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Заметим, что данное уравнение является однородным первой степени. Поделим правую и левую части уравнения на \(\cos x\): \[10\mathrm{tg}\,x+3=0 \Rightarrow \mathrm{tg}\, x=-0,3 \Rightarrow x=\mathrm{arctg}\,(-0,3)+\pi k, k\in\mathbb{Z} \Rightarrow x=-\mathrm{arctg}\,0,3+\pi k, k\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни. Обозначим \(\mathrm{arctg}\,0,3=\alpha\): \[-\pi\leqslant -\alpha+\pi k<\pi \Rightarrow -1+\dfrac{\alpha}{\pi}\leqslant k<1+\dfrac{\alpha}{\pi}\]

Т.к. тангенс в первой четверти возрастает и \(0,3<\dfrac{\sqrt3}3\), то \(0<\alpha<\dfrac{\pi}6 \Rightarrow -1<-1+\dfrac{\alpha}{\pi}<-\dfrac56 \ \) и \( \ 1<1+\dfrac{\alpha}{\pi}<1\dfrac16\)

 

Условно можно записать, что \(-0,...\leqslant k<1,...\)
Следовательно, целые \(k\), удовлетворяющие неравенству, это \(k=0; 1\). Им соответствуют углы \(-\mathrm{arctg}\,0,3\) и \(-\mathrm{arctg}\,0,3+\pi\).

Ответ:

а) \(-\mathrm{arctg}\,0,3+\pi k, k\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\mathrm{arctg}\,0,3; \pi-\mathrm{arctg}\,0,3\)

Задание 6
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[(\sin x+2\cos x)(3\sin x+\cos x)=\sin 2x\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие \(\left[-\dfrac{\pi}2;\dfrac{\pi}2\right]\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Применим формулу синуса двойного угла \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:

\[3\sin^2x+5\sin x\cos x+2\cos^2x=0\]

Разделим правую и левую части равенства на \(\cos^2x\), сделаем замену \(\mathrm{tg}x=t,t\in\mathbb{R}\) и получим: \[3t^2+5t+2=0 \Rightarrow t_1=-1; t_2=-\dfrac23\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\mathrm{tg}\,x=-1\\ &\mathrm{tg}\,x-\dfrac23 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=-\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x_2=-\mathrm{arctg}\,\dfrac23+\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни:

\[-\dfrac{\pi}2\leqslant x_1\leqslant \dfrac{\pi}2 \Rightarrow -\dfrac14\leqslant n\leqslant \dfrac34 \Rightarrow n=0\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}4\]

Обозначим \(\mathrm{tg}\,\dfrac23=\alpha\), тогда:

\[-\dfrac{\pi}2\leqslant x_2\leqslant \dfrac{\pi}2 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{\pi}-\dfrac12\leqslant m \leqslant \dfrac{\alpha}{\pi}+\dfrac12\]

Т.к. в первой четверти тангенс возрастает и \(\dfrac23<1 \Rightarrow 0<\alpha<\dfrac{\pi}4 \Rightarrow 0<\dfrac{\alpha}{\pi}<\dfrac14 \Rightarrow\) целое \(m\), удовлетворяющее неравенству, это \(m=0\). Ему соответствует угол \(x=-\mathrm{arctg}\,\dfrac23\).

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}4+\pi n,-\mathrm{arctg}\,\dfrac23+\pi m, \ n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{\pi}4; -\mathrm{arctg}\,\dfrac23\)

Задание 7
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin^22x+\sin4x+\cos4x=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие интервалу \((-1;0)\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Воспользуемся формулами двойного угла для синуса \(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\) и косинуса \(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\):  

\(\sin^22x+2\sin2x\cos2x+\cos^22x-\sin^22x=0 \Rightarrow \cos^22x+2\sin2x\cos2x=0 \Rightarrow \)  

\(\cos2x(\cos2x+2\sin2x)=0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\cos2x=0\\ &\cos2x+2\sin2x=0 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow\)  

\(\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &2x=\dfrac{\pi}2+\pi n,n\in\mathbb{Z}\\ &\mathrm{ctg}\,2x=-2 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}2 n, n\in\mathbb{Z}\\ &x_2=-\dfrac12 \mathrm{arcctg}\,2+\dfrac{\pi}2 m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right. \)  

б) Отберем корни:

1) \(-1<x_1<0 \Rightarrow -\dfrac2{\pi}-\dfrac12<n<-\dfrac12\).

 

Т.к. \(\pi<\dfrac 72 \Rightarrow \dfrac2{\pi}>\dfrac47 \Rightarrow -\dfrac2{\pi}-\dfrac12<-\dfrac{15}{14} \Rightarrow n=-1 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}4\)

 

2) Обозначим \(\mathrm{arcctg}\,2=\alpha\), тогда \(-1<x_2<0 \Rightarrow -\dfrac2{\pi}+\dfrac{\alpha}{\pi}<m<\dfrac{\alpha}{\pi}\).

 

Т.к. \(3<\pi<4 \Rightarrow \dfrac14<\dfrac1{\pi}<\dfrac13\Rightarrow -\dfrac23<-\dfrac2{\pi}<-\dfrac12\)

 

Т.к. в первой четверти котангенс убывает и \(2>1\), то \(\alpha<\dfrac{\pi}4 \Rightarrow 0<\dfrac{\alpha}{\pi}<\dfrac14\)

 

Следовательно, \(-\dfrac23<-\dfrac2{\pi}+\dfrac{\alpha}{\pi}<-\dfrac14\)

 

Условно можно записать, что \(-0,...<m<0,... \Rightarrow m=0 \Rightarrow x=-\dfrac12 \mathrm{arcctg}\,2\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}2 n, -\dfrac12 \mathrm{arcctg}\,2+ \dfrac{\pi}2 m, \ n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{\pi}4; -\dfrac12 \mathrm{arcctg}\,2\)