а) Решите уравнение \(\sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x=0\).
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[-\pi;\dfrac{\pi}2\right]\).
а) Данное уравнение является однородным и решается путем деления правой и левой частей уравнения на \(\sin^2x\) или на \(\cos^2x\). Разделим на \(\cos^2x\):
\[\mathrm{tg}^2\,x-3\mathrm{tg}\,x+2=0 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\mathrm{tg}\,x=1\\ &\mathrm{tg}\,x=2 \end{aligned} \end{gathered} \right.\quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x_1=\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\mathrm{arctg}\,2+\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]
б) Отберем корни.
\[-\pi\leqslant x_1\leqslant \frac{\pi}2 \quad \Rightarrow \quad -\frac54\leqslant n\leqslant \frac14\]
Таким образом, целые \(n\), удовлетворяющие этому неравенству, это \(n=-1;0\). При этих значениях \(n\) получаем корни: \(x=-\dfrac{3\pi}4; \dfrac{\pi}4\).
\[-\pi\leqslant x_2\leqslant \frac{\pi}2 \quad \Rightarrow \quad -1-\frac{\mathrm{arctg}\,2}{\pi}\leqslant k\leqslant \frac12-\frac{\mathrm{arctg}\,2}{\pi}\]
Заметим, что \(\frac{\pi}4<\mathrm{arctg}\,2<\frac{\pi}2\). Следовательно, \(\frac14<\frac{\mathrm{arctg}\,2}{\pi}<\frac12\). Таким образом,
\(-1\frac12<-1-\frac{\mathrm{arctg}\,2}{\pi}<-1\frac14\);
\(0<\frac12-\frac{\mathrm{arctg}\,2}{\pi}<\frac14\).
Значит, целые \(k\), подходящие в полученное неравенство, это \(k=-1;0\). При этих значениях \(k\) получаем корни \(x=\mathrm{arctg}\,2-\pi; \ \mathrm{arctg}\,2\).
Ответ:
а) \(\dfrac{\pi}4+\pi n; \mathrm{arctg}\,2+\pi k; n,k\in\mathbb{Z}\)
б) \(-\dfrac{3\pi}4; \mathrm{arctg}\,2-\pi; \dfrac{\pi}4; \mathrm{arctg}\,2\)