ОДЗ:
\[\begin{aligned}
\begin{cases}
x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \geqslant 0\\
x^3 + 3x^2 + x + 1\geqslant 0
\end{cases}
\end{aligned}\]
Так как при любом \(a\geqslant 0\) имеем \(\sqrt{a} \geqslant 0\), то сумма двух корней на ОДЗ равна нулю тогда и только тогда, когда оба корня равны нулю, откуда
\[\begin{aligned}
\begin{cases}
\sqrt{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1} = 0\\
\sqrt{x^3 + 3x^2 + x + 1} = 0\,,
\end{cases}
\end{aligned}\]
что равносильно
\[\begin{aligned}
\begin{cases}
x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0\\
x^3 + 3x^2 + x + 1 = 0\,.
\end{cases}
\end{aligned}\]
Из второго уравнения получаем: \[x^3 + x^2 + 3x^2 + x + 1 =
0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^3 + x^2 + x + 1 = -2x^2\,.\]
Подставляя это в первое уравнение, находим: \[x^4 - 2x^2 =
0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0\]
Таким образом, корнями исходного уравнения могут быть только числа \(0,\ \sqrt{2},\ -\sqrt{2}\).
Прямой подстановкой в полученную систему убеждаемся, что ни одно из них не является корнем первого уравнения системы. Например, при \(x =
-\sqrt{2}\):
\[\begin{aligned}
x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 4 - 2\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} + 1 = 7 -
3\sqrt{2}\neq 0
\end{aligned}\]
В итоге, ответ: \(0\).
Ответ: 0