Математика
Русский язык

Тренировочные варианты. Первая часть.

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты "Школково". Тренировочный вариант №2

Задание 1

Таксисты компании Buber готовы одновременно сажать в машину не более четырёх пассажиров. Какое минимальное количество машин такси придётся заказать компании из \(27\) человек, если все они едут из пункта А в пункт Б?

По условию задачи надо найти число, которое будет результатом от деления \(27\) на \(4\), округлённым в большую сторону. Это число равно \(7\).

Ответ: 7

Задание 2

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в городе \(M\) за каждый месяц \(2200\) года. По вертикали указывается температура в градусах Цельсия, по горизонтали – месяцы. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура не превышала \(4\) градуса Цельсия.



Среднемесячная температура не превышала \(4\) градуса Цельсия в \(1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 11, 12\) месяцы (всего \(9\) месяцев).

Ответ: 9

Задание 3

Найдите площадь треугольника \(ABC\), если размеры клеток \(1\) \(\text{см}^2\). Ответ дайте в \(\text{см}^2\).

Рассмотрим прямоугольник \(CDEF\).



\[S_{ABC} = S_{CDEF} - S_{ACD} - S_{BCF} - S_{ABE} = 12 - 4 - 1,5 - 1,5 = 5\,.\]

Ответ: 5

Задание 4

Артур считает вероятность наступления некоторого события \(A\) в случае, если он подбросит правильную игральную кость дважды. У него получилось, что вероятность наступления события \(A\) равна \(0,01\). Известно, что Артур ошибся, но его ошибка наименьшая из возможных при данных условиях. Насколько ошибся Артур? Ответ округлите до сотых.

При подбрасывании правильной игральной кости дважды можно получить \(6\cdot 6 = 36\) различных исходов. Так как вероятность – это отношение числа подходящих исходов к числу всевозможных исходов, то результат Артура мог быть либо \(0\), либо его можно было представить в виде дроби \[\dfrac{N}{36}\,,\] где \(N\in\mathbb{N}\) – число подходящих исходов.

Таким образом, в случае, если \(P(A)\neq 0\), то минимальное значение, которое могла принять \(P(A)\), составляет \[\dfrac{1}{36} > \dfrac{1}{50} = 0,02\,.\]

Таким образом, ответ Артура ближе к \(0\), чем к любому числу вида \(\dfrac{N}{36}\,,\) где \(N\in\mathbb{N}\), следовательно, чтобы ошибка Артура была минимальной, необходимо, чтобы было выполнено \(P(A) = 0\). Тогда ошибка Артура составит \(0,01\).

При этом такое действительно возможно, если, например, \(A =\) “В сумме за два подбрасывания выпадет \(13\)”. В итоге, ответ: \(0,01\).

Ответ: 0,01

Задание 5

Сколько корней имеет данное уравнение? \[\sqrt{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1} + \sqrt{x^3 + 3x^2 + x + 1} = 0\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \geqslant 0\\ x^3 + 3x^2 + x + 1\geqslant 0 \end{cases} \end{aligned}\]

Так как при любом \(a\geqslant 0\) имеем \(\sqrt{a} \geqslant 0\), то сумма двух корней на ОДЗ равна нулю тогда и только тогда, когда оба корня равны нулю, откуда

\[\begin{aligned} \begin{cases} \sqrt{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1} = 0\\ \sqrt{x^3 + 3x^2 + x + 1} = 0\,, \end{cases} \end{aligned}\]

что равносильно

\[\begin{aligned} \begin{cases} x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0\\ x^3 + 3x^2 + x + 1 = 0\,. \end{cases} \end{aligned}\]

Из второго уравнения получаем: \[x^3 + x^2 + 3x^2 + x + 1 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^3 + x^2 + x + 1 = -2x^2\,.\]

Подставляя это в первое уравнение, находим: \[x^4 - 2x^2 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0\]

Таким образом, корнями исходного уравнения могут быть только числа \(0,\ \sqrt{2},\ -\sqrt{2}\).

Прямой подстановкой в полученную систему убеждаемся, что ни одно из них не является корнем первого уравнения системы. Например, при \(x = -\sqrt{2}\):

\[\begin{aligned} x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 4 - 2\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} + 1 = 7 - 3\sqrt{2}\neq 0 \end{aligned}\]

В итоге, ответ: \(0\).

Ответ: 0

Задание 6

\(AB\) – хорда окружности с центром в точке \(O\). При этом \(AB = 10\). Какую наименьшую длину может иметь радиус \(R\) такой окружности, если известно, что \(AB > 1,5R\)?

Докажем, что диаметр – это хорда наибольшей длины. Пусть \(MN\) – произвольная хорда, не являющаяся диаметром, а \(MK\) – диаметр. Тогда треугольник \(MNK\) прямоугольный, \(MK\) – гипотенуза, \(MN\) – катет, следовательно, \(MK > MN\), то есть диаметр больше любой хорды.



Чтобы радиус исходной окружности был наименьшим, необходимо, чтобы хорда \(AB\) была наибольшей, то есть чтобы \(AB\) была диаметром окружности. При этом \(AB = 2R > 1,5 R\), то есть условие выполнено.

Таким образом, наименьшее возможное значение \(R\) равно \(AB : 2 = 10 : 2 = 5\).

Ответ: 5

Задание 7

Известно, что уравнение прямой, касающейся графика функции \(y = 4x^3 + 6x^2 - x - 1\), имеет вид \(y = -x + c\). Найдите \(|c|\).

Уравнение касательной к графику функции \(y = f(x)\) в точке \((x_0; y_0)\) имеет вид: \(y = y'(x_0)(x - x_0) + y(x_0)\), откуда следует, что \(y'(x_0) = -1\), то есть \[12x_0^2 + 12x_0 - 1 = -1\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x_0 = 0\\ x_0 = -1 \end{gathered} \right.\]

При \(x_0 = 0\) уравнение касательной будет \(y = -x - 1\). При \(x_0 = -1\) уравнение касательной будет \(y = -x + 1\). Тогда подходят \(c = -1\) и \(c = 1\), но в любом случае \(|c| = 1\).

Ответ: 1

Задание 8

Имеются две сферы \(S_1\) и \(S_2\), про которые известно, что радиус первой сферы в \(2\) раза больше, чем радиус второй сферы. Кроме того, сфера \(S_2\) целиком находится внутри сферы \(S_1\). Пусть объём шара, ограниченного второй сферой, равен \(V_2\), а объём тела, заключённого между сферами, равен \(V\). Найдите \(V : V_2\).

Пусть \(V_1\) – объём шара, ограниченного первой сферой. Так как радиус \(S_1\) в два раза больше, чем радиус \(S_2\), то \(V_1 : V_2 = 8\).



\[V = V_1 - V_2 = 8V_2 - V_2 = 7V_2\,,\] следовательно, \(V : V_2 = 7\).

Ответ: 7

Задание 9

Найдите значение выражения \[(\cos^22x - \sin^22x)\cdot\cos 4x + 2\cdot\sin 2x\cdot\sin 4x\cdot\cos 2x\]

\[(\cos^22x - \sin^22x) = \cos 4x,\qquad 2\cdot\sin 2x\cdot\sin 4x\cdot\cos 2x = 2\cdot\sin 2x\cdot\cos 2x\cdot\sin 4x = \sin^2 4x\,,\] тогда \[(\cos^22x - \sin^22x)\cdot\cos 4x + 2\cdot\sin 2x\cdot\sin 4x\cdot\cos 2x = \cos^24x + \sin^24x = 1\,.\]

Ответ: 1

Задание 10

Путь материальной точки, движущейся по прямой, имеет вид \(x(t) = t^3 + 2t^2 - t + 1\). Известно, что при \(t = t_0\) ускорение этой точки было равно \(7\). Найдите \(t_0\).

Ускорение в момент времени \(t\): \[x''(t) = (t^3 + 2t^2 - t + 1)'' = (3t^2 + 4t - 1)' = 6t + 4\,.\]

Тогда \(6t_0 + 4 = 7\), откуда \(t_0 = 0,5\).

Ответ: 0,5

Задание 11

Два спортсмена стартуют в одном направлении из диаметрально противоположных точек круговой дорожки. Они бегут с разными непостоянными скоростями. Известно, что в тот момент, когда спортсмены впервые поравнялись, они прекратили тренировку. На сколько кругов больше пробежал спортсмен с большей средней скоростью, чем другой спортсмен?

Назовём спортсмена с большей средней скоростью первым. Сначала первому спортсмену нужно было пробежать полкруга, чтобы достичь места старта второго спортсмена. После этого ему предстояло пробежать столько же, сколько пробежал второй спортсмен (грубо говоря, после того, как первый спортсмен пробежал полкруга, ему до встречи надо было пробежать каждый метр дорожки, который пробежал второй спортсмен, причём столько же раз, сколько этот метр пробежал второй).

Таким образом, первый спортсмен пробежал на \(0,5\) круга больше.

Ответ: 0,5

Задание 12

Найдите точку локального максимума функции \(y = \sin(\cos \pi x)\), лежащую на отрезке \([-2,5; -1,8]\).

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = \cos(\cos\pi x)\cdot \pi\cdot (-\sin \pi x)\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\cos(\cos\pi x)\cdot \pi\cdot (-\sin \pi x) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} \pi x = \pi n, \quad n\in\mathbb{Z}\\ \cos \pi x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k,\quad k\in\mathbb{Z} \end{gathered} \right.\] Второе уравнение последней совокупности не имеет решений ни при каких \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, производная равна \(0\) только при \(x = n, \ n\in\mathbb{Z}\). Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) (здесь бесконечно много промежутков, знаки производной в которых чередуются):


 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на \([-2,5; -1,8]\):


 

3) Эскиз графика \(y\) на \([-2,5; -1,8]\):


 

Таким образом, \(x = -2\) – точка локального максимума функции \(y\) на отрезке \([-2,5; -1,8]\).

Ответ: -2