Математика
Русский язык

Дифференцированный платеж

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Дифференцированный платеж – это такая система выплат, при которой сама сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц).
При этом платежи каждый год разные.

 

Таким образом, если кредит взят на \(n\) лет, то это значит, что сумму кредита \(A\) разделили на \(n\) равных частей и что каждый год после платежа сумма долга уменьшается на \(\dfrac1n A\) по сравнению с долгом на начало года.

 

Пример 1. Клиент взял в банке кредит на \(2\) года под \(15\%\) годовых. Выплачивать кредит он должен ежегодными платежами так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно. Какую сумму он взял в банке, если оказалось, что в итоге он заплатил банку \(490\,000\) рублей?

 

Пусть кредит составил \(A\) рублей. Т.к. кредит взят на \(2\) года, значит после первой выплаты долг должен составлять \(A-\frac12 A=\frac12 A\) рублей, после второй выплаты \(\frac12 A-\frac12 A=0\) рублей. Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Выплата}\\ &\text{до начисления}\ \%&\text{после начисления }\%&\text{после выплаты}&\\ \hline 1&A&A+0,15A&\frac12 A&0,15A+\frac12A\\ \hline 2&\frac12A&\frac12A+0,15\cdot\frac12A&0&0,15\cdot\frac12A+\frac12A\\ \hline \end{array}\] То, что клиент в итоге заплатил банку есть не что иное, как сумма всех выплат по кредиту.

 

Т.е. \(0,15A+\frac12A+0,15\cdot\frac12A+\frac12A=490\,000 \Rightarrow A=\dfrac{490\,000\cdot 2}{2,45}=400\,000\) рублей.

 

Пример 2. Александр взял в банке кредит на \(50\,000\) рублей на \(3\) месяца, причем выплачивать кредит он должен ежемесячными выплатами так, чтобы сумма долга каждый месяц уменьшалась на одну и ту же величину. Сколько рублей составит переплата Александра по кредиту, если процентная ставка в банке \(10\%\)?

 

Т.к. кредит взят на \(3\) месяца, то после первой выплаты долг должен составить \(A-\frac13A=\frac23 A\), после второй \(\frac23A-\frac13A=\frac13A\), а после третьей — \(0\) рублей. Составим таблицу, производя все вычисления в тыс. рублей: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Выплата}\\ &\text{до начисления}\ \%&\text{после начисления }\%&\text{после выплаты}&\\ \hline 1&50&50+0,1\cdot 50&\frac23\cdot 50&0,1\cdot 50+\frac13\cdot 50\\ \hline 2&\frac23\cdot 50&\frac23\cdot 50+0,1\cdot\frac23\cdot 50&\frac13\cdot 50&0,1\cdot \frac23\cdot 50+\frac13\cdot50\\ \hline 3&\frac13\cdot 50&\frac13\cdot 50+0,1\cdot \frac13\cdot 50&0&0,1\cdot \frac13\cdot 50+\frac13\cdot 50\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, всего Александр заплатил банку \(\big(0,1\cdot 50+\dfrac13\cdot 50\big)+\big(0,1\cdot \dfrac23\cdot 50+\dfrac13\cdot50\big)+\big(0,1\cdot \dfrac13\cdot 50+\dfrac13\cdot 50\big)\) тыс.рублей.

 

Перегруппируем слагаемые и вынесем за скобки общие множители:

 

\(0,1\cdot 50 \left(1+\dfrac23+\dfrac13\right)+3\cdot \dfrac13\cdot 50=0,1\cdot 50\cdot 2+50\)

 

Для того, чтобы найти переплату по кредиту, необходимо из того, что он в итоге заплатил банку, отнять сумму кредита:

 

\(\big(0,1\cdot 50\cdot 2+50\big)-50=10\) тыс. рублей.
Таким образом, его переплата составила \(10\,000\) рублей.  

Заметим,

 

I. что каждая выплата состоит из двух частей:
первая часть — это сумма “набежавших” процентов на текущий долг (в первый год это \(0,1\cdot 50\), во второй — \(0,1\cdot \big(\frac23\cdot 50\big)\) и т.д.)
вторая часть всегда фиксирована — это та часть, на которую должен уменьшаться долг каждый год (в нашем примере это \(\frac13\cdot 50\)).

 

Действительно, когда клиент выплачивает “набежавшие” проценты, сумма его долга становится равна той, которая была до начисления процентов (например, в первый год становится равна \(A\)). А далее он еще вносит \(\frac 1n\) часть от этого долга. И таким образом сумма долга уменьшается на \(\frac 1n\) часть, что и подразумевает дифференцированная система платежей.

 

II. переплата по кредиту всегда равна сумме “набежавших” процентов на долг в первый год, во второй год, в третий год и т.д.

 

В нашем примере переплата как раз равна \(0,1\cdot 50+0,1\cdot \frac23\cdot 50+0,1\cdot \frac13\cdot 50\).

 

Пример 3. Банк предлагает клиентам кредит на \(1\) млн рублей на следующих условиях:
– каждый год банк начисляет на оставшуюся часть долга \(10\%\);
– после начисления процентов клиент обязан внести платеж;
– через \(5\) лет кредит должен быть выплачен полностью;
– система выплат дифференцированная.

 

Сколько процентов от первоначального долга составит переплата по такому кредиту?

 

Т.к. кредит выдается на \(5\) лет, это значит, что долг должен уменьшаться каждый год на \(\frac15\cdot 1\) млн рублей, то есть после первой выплаты долг составит \(1-\frac15\cdot 1=\frac45\) млн рублей, после второй \(\frac45-\frac15=\frac35\) млн рублей и т.д.

 

Составим таблицу, причем все вычисления будем производить в млн рублей: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Выплата}\\ &\text{до начисления}\ \%&\text{после начисления }\%&\text{после выплаты}&\\ \hline 1&1&1+0,1&\frac45&0,1+\frac15\\ \hline 2&\frac45&\frac45+0,1\cdot\frac45&\frac35&0,1\cdot \frac45+\frac15\\ \hline 3&\frac35&\frac35+0,1\cdot\frac35&\frac25&0,1\cdot \frac35+\frac15\\ \hline 4&\frac25&\frac25+0,1\cdot\frac25&\frac15&0,1\cdot \frac25+\frac15\\ \hline 5&\frac15&\frac15+0,1\cdot\frac15&0&0,1\cdot \frac15+\frac15\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, переплата по кредиту составила:

\(\big(0,1+\frac15\big)+\big(0,1\cdot \frac45+\frac15\big)+\big(0,1\cdot \frac35+\frac15\big)+\big(0,1\cdot \frac25+\frac15\big)+\big(0,1\cdot \frac15+\frac15\big)-1=\dfrac3{10}\) млн рублей.

 

Для того, чтобы посчитать, сколько процентов составила переплата относительно кредита, необходимо переплату разделить на сумму кредита и умножить на \(100\%\):

 

\(\dfrac{\frac3{10}}{1}\cdot 100\%=30\%\)  

Выведем несколько формул:

 

Вывод формулы для выплаты по кредиту:

 

Пусть взят кредит на \(A\) рублей, на \(n\) лет, годовая ставка \(r\%\).

 

Значит, каждый год долг должен уменьшаться на \(\frac1n A\) рублей. К тому же, например, в первый год после начисления процентов долг составит \(A+\frac r{100}A\), поэтому обозначим для удобства \(\frac r{100}=y\) и составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Выплата}\\ &\text{до начисления}\ \%&\text{после начисления }\%&\text{после выплаты}&\\[1ex] \hline 1&A&A+yA&\dfrac {n-1}n A& yA+\dfrac 1n A\\[1ex] \hline 2&\dfrac{n-1}n A&\dfrac{n-1}n A+y\cdot \dfrac{n-1}n A&\dfrac{n-2}n A&y\cdot \dfrac{n-1}n A+\dfrac 1n A\\[1ex] \hline 3&\dfrac{n-2}n A&\dfrac{n-2}n A+y\cdot \dfrac{n-2}n A&\dfrac{n-3}n A&y\cdot \dfrac{n-2}n A+\dfrac 1nA\\[1ex] \hline 4&\dfrac{n-3}n A&\dfrac{n-3}n A+y\cdot \dfrac{n-3}n A&\dfrac{n-4}n A&y\cdot \dfrac{n-3}n A+\dfrac 1nA\\ \hline \dots&\dots&\dots&\dots&\dots\\ \hline n-1& \dfrac 2nA&\dfrac 2nA+y\cdot \dfrac 2nA&\dfrac 1nA&y\cdot \dfrac 2nA+\dfrac 1nA\\[1ex] \hline n&\dfrac 1nA&\dfrac 1nA+y\cdot \dfrac 1nA&0&y\cdot \dfrac 1nA+\dfrac 1nA\\[1ex] \hline \end{array}\]

Таким образом, если \(i\) — номер года, то выплата в \(i\)-ый год будет равна:
\(x_i=y\cdot \dfrac{n-(i-1)}nA+\dfrac 1nA\) или: \[{\large{x_i=\dfrac{r}{100}\cdot \dfrac{n-i+1}{n}A+\dfrac1n A}}\]

 

Вывод формулы для переплаты по кредиту:

 

Для того, чтобы посчитать переплату, необходимо просто сложить все данные из последнего столбца и отнять \(A\):

\(\big(yA+\frac 1n A\big)+\big(y\cdot \frac{n-1}n A+\frac 1n A\big)+\big(y\cdot \frac{n-2}n A+\frac 1nA\big)+\big(y\cdot \frac{n-3}n A+\frac 1nA\big)+\dots+\big(y\cdot \frac 2nA+\frac 1nA\big)+\)

\(+\big(y\cdot \frac 1nA+\frac 1nA\big)-A=\big(yA+y\cdot \frac{n-1}nA+y\cdot \frac{n-2}nA+y\cdot \frac{n-3}nA+\dots+y\cdot \frac 2nA+y\cdot \frac 1nA\big)+\)

\(+\big(\frac 1nA+\frac1nA+\frac1nA+\frac1nA+\dots+\frac1nA+\frac1nA\big)-A=yA\big(1+\frac{n-1}n+\frac{n-2}n+\frac{n-3}n+\dots+\frac 2n+\frac 1n\big)+\)

\(+n\cdot \frac 1n A-A=yA\big(1+\frac{n-1}n+\frac{n-2}n+\frac{n-3}n+\dots+\frac 2n+\frac 1n\big)\)

 

В скобках находится арифметическая прогрессия, первый член которой \(a_1=1\), последний \(a_n=\dfrac 1n\), разность \(d=\dfrac 1n\), а количество членов равно \(n\). Сумма такой прогрессии равна:

 

\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\dfrac{1+\frac1n}{2}\cdot n=\dfrac{n+1}2\)

 

Значит, вся переплата равна \(yA\cdot \dfrac{n+1}2\)  или \[{\large{P=\dfrac r{100}\cdot \dfrac{n+1}2A}}\]