Математика
Русский язык

Логарифмические уравнения. Примеры.

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Логарифм положительного числа \(b\) по положительному и отличному от 1 основанию \(a\) – показатель степени, в которую нужно возвести число \(a\), чтобы получить число \(b\).

Обозначение: \(\log_a b\).

 

Определение можно переписать в виде: при \(0 < a\neq 1\), \(b > 0\) \(\quad \log_a b\) – это число, такое что \(a^{\log_a b} = b\).

 

Таким образом, следующие две записи эквивалентны (при \(a>0, a\ne 1, b>0\)): \[a^x=b \Leftrightarrow x=\log_ab\]

Свойства логарифма

При \(0 < a \neq 1\), \(b > 0\), \(c > 0\):

\[\begin{aligned} &\log_a bc = \log_a b + \log_a c,\\ &\log_a \dfrac{b}{c} = \log_a b - \log_a c,\\ &\log_a b^c = c\cdot\log_a b,\\ &\log_{a^c} b = \dfrac{1}{c}\cdot\log_a b.\\ \end{aligned}\]

При \(0 < a \neq 1\), \(bc > 0\):

\[\begin{aligned} &\log_a bc = \log_a |b| + \log_a |c|,\\ &\log_a \dfrac{b}{c} = \log_a |b| - \log_a |c|,\\ \end{aligned}\]

При \(0 < a \neq 1\), \(b \neq 0\), \(n\) – целом:

\[\begin{aligned} &\log_a b^{2n} = 2n\cdot\log_a |b|,\\ \end{aligned}\]

При \(0 \neq a \neq 1\), \(b > 0\), \(n\) – целом:

\[\begin{aligned} &\log_{a^{2n}} b = \dfrac{1}{2n}\cdot\log_{|a|} b.\\ \end{aligned}\]

Определение

Логарифмическое уравнение – уравнение вида \(\log_a f(x) = \log_a g(x)\), где \(0 < a \neq 1\) или уравнение, сводящееся к этому виду.

 

Теорема

При выполненном ОДЗ: \(f(x) > 0\), \(g(x) > 0\), \(0 < a \neq 1\) уравнение \(\log_a f(x) = \log_a g(x)\) эквивалентно уравнению \(f(x) = g(x)\).

Пример

Решите уравнение

\[\begin{aligned} &\log_4 16 = \log_2 x \end{aligned}\]

Решение:
ОДЗ: \(x > 0\)

\[\begin{aligned} &\log_4 16 = \log_2 x\\ &\log_{2^2} 4^2 = \log_2 x\\ &\dfrac{1}{2}\cdot \log_2 4^2 = \log_2 x\\ &\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot \log_{|2|} |4| = \log_2 x\\ &\log_2 4 = \log_2 x\\ &4 = x. \end{aligned}\]