Математика
Русский язык

Иррациональные неравенства

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Стандартное иррациональное неравенство (\(\lor\) - один из знаков \(\geqslant,>,\leqslant,<\)):

 

\[{\Large{I. \ \sqrt{f(x)}\lor a}},\quad a\ -\ \text{число.}\] Для того, чтобы решить данное неравенство, нужно посмотреть на знак числа \(a\), на знак неравенства, а также помнить, что \(\sqrt{f(x)}\) всегда неотрицателен и \(f(x)\geqslant 0\). Если обе части неравенства неотрицательны, то можно возводить их в квадрат.

 

Например:

 

1) \(\sqrt{f(x)}\geqslant 5\). Корень из числа будет \(\geqslant 5\) тогда и только тогда, когда само число \(\geqslant 25\). В этом случае ОДЗ (\(f(x)\geqslant 0\)) учитывается автоматически, следовательно, данное неравенство равносильно неравенству
\(f(x)\geqslant 25\).

 

2) \(\sqrt{f(x)}>-2\). Т.к. по определению квадратного корня \(\sqrt{f(x)}\geqslant 0\) всегда, то данное неравенство выполняется при всех \(x\), при которых выполнено ОДЗ. Значит, решением данного неравенства является только ОДЗ: \(f(x)\geqslant 0\).

 

3) \(\sqrt{f(x)}<-2\). Т.к. по определению квадратного корня \(\sqrt{f(x)}\geqslant 0\) всегда, то данное неравенство не выполняется ни при каких \(x\). Следовательно, решением неравенства является пустое множество: \(x\in \varnothing\).

\[{\Large{II. \ \sqrt{f(x)}\lor g(x)}}\] В данном неравенстве справа стоит уже функция \(g(x)\), которая может быть как отрицательной, так и неотрицательной. Таким образом, в данном неравенстве необходимо рассматривать отдельно эти два случая, а также не забыть про ОДЗ.

 

Например:

 

1) \(\sqrt{f(x)}\leqslant g(x)\). При условии \(f(x)\geqslant 0\) : если \(g(x)\geqslant 0\), то можно возвести в квадрат; если \(g(x)<0\), то в силу определения квадратного корня данное неравенство никогда не может быть выполнено.
Таким образом, данное неравенство равносильно совокупности: \[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} & \begin{cases} g\geqslant 0\\ 0\leqslant f\leqslant g^2\end{cases}\\ & \begin{cases} g<0\\ x\in \varnothing \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \begin{cases} g\geqslant 0\\ 0\leqslant f\leqslant g^2\end{cases}\]

2) \(\sqrt{f(x)}> g(x)\). При условии \(f(x)\geqslant 0\) : если \(g(x)\geqslant 0\), то можно возвести в квадрат; если \(g(x)<0\), то в силу определения квадратного корня данное неравенство всегда выполняется.
Таким образом, данное неравенство равносильно совокупности: \[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} & \begin{cases} g\geqslant 0\\ f> g^2\\f\geqslant 0\end{cases}\\ & \begin{cases} g<0\\ f\geqslant 0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} & \begin{cases} g\geqslant 0\\ f> g^2\end{cases}\\ & \begin{cases} g<0\\ f\geqslant 0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]