Математика
Русский язык

Тригонометрические формулы: синус, косинус, тангенс и котангенс двойного и тройного углов; понижения степени

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Факт 1.
\(\bullet\) Формулы двойного аргумента: \[\begin{array}{lc|cl} \sin {2\alpha}=2\sin \alpha\cos \alpha & \qquad &\qquad & \cos{2\alpha}=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\ \sin \alpha\cos \alpha =\dfrac12\sin {2\alpha} && & \cos{2\alpha}=2\cos^2\alpha -1\\ & & & \cos{2\alpha}=1-2\sin^2 \alpha\\ &&&\\ \hline &&&\\ \mathrm{tg}\, 2\alpha = \dfrac{2\mathrm{tg}\, \alpha}{1-\mathrm{tg}^2\, \alpha} && & \mathrm{ctg}\, 2\alpha = \dfrac{\mathrm{ctg}^2\, \alpha-1}{2\mathrm{ctg}\, \alpha}\\&&&\\ \cos\alpha\ne 0, \ \cos2\alpha\ne 0 &&& \sin\alpha\ne 0, \ \sin2\alpha\ne 0\\ \end{array}\]
\(\bullet\) Формулы тройного аргумента: \[\begin{aligned} &\sin {3\alpha}=3\sin \alpha -4\sin^3\alpha\\[2ex] &\cos{3\alpha}=4\cos^3\alpha -3\cos \alpha \end{aligned}\]

 

Факт 2.
\(\bullet\) Формулы понижения степени \[\begin{aligned} &\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos{2\alpha}}2 \\[3ex] &\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos{2\alpha}}2 \end{aligned}\]

 

Факт 3.
\(\bullet\) Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла: \[\begin{aligned} &\sin{2\alpha}= \dfrac{2\mathrm{tg}\, \alpha}{1+\mathrm{tg}^2\, \alpha} \qquad (\cos\alpha\ne 0) \\[3ex]\\ & \cos{2\alpha}=\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\, \alpha}{1+\mathrm{tg}^2\, \alpha} \qquad (\sin\alpha\ne 0)\end{aligned}\]