Математика ЕГЭ Профиль
Русский язык ЕГЭ

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи про банковский кредит: дифференцированный платеж (страница 3)

Дифференцированный платеж – это такая система выплат, при которой сама сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц).
При этом платежи каждый год разные.

 

Таким образом, если кредит взят на \(n\) лет, то это значит, что сумму кредита \(A\) разделили на \(n\) равных частей и что каждый год после платежа сумма долга уменьшается на \(\dfrac1n A\) по сравнению с долгом на начало года.

 

Пример: Александр взял в банке кредит на \(50\,000\) рублей на \(3\) месяца, причем выплачивать кредит он должен ежемесячными выплатами так, чтобы сумма долга каждый месяц уменьшалась на одну и ту же величину. Сколько рублей составит переплата Александра по кредиту, если процентная ставка в банке \(10\%\)?

 

Т.к. кредит взят на \(3\) месяца, то после первой выплаты долг должен составить \(A-\frac13A=\frac23 A\), после второй \(\frac23A-\frac13A=\frac13A\), а после третьей — \(\frac13A-\frac13A=0\) рублей. Составим таблицу, производя все вычисления в тыс. рублей: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Выплата}\\ &\text{до начисления}\ \%&\text{после начисления }\%&\text{после выплаты}&\\ \hline 1&50&50+0,1\cdot 50&\frac23\cdot 50&0,1\cdot 50+\frac13\cdot 50\\ \hline 2&\frac23\cdot 50&\frac23\cdot 50+0,1\cdot\frac23\cdot 50&\frac13\cdot 50&0,1\cdot \frac23\cdot 50+\frac13\cdot50\\ \hline 3&\frac13\cdot 50&\frac13\cdot 50+0,1\cdot \frac13\cdot 50&0&0,1\cdot \frac13\cdot 50+\frac13\cdot 50\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, всего Александр заплатил банку \(\big(0,1\cdot 50+\dfrac13\cdot 50\big)+\big(0,1\cdot \dfrac23\cdot 50+\dfrac13\cdot50\big)+\big(0,1\cdot \dfrac13\cdot 50+\dfrac13\cdot 50\big)\) тыс.рублей.

 

Перегруппируем слагаемые и вынесем за скобки общие множители:

 

\(0,1\cdot 50 \left(1+\dfrac23+\dfrac13\right)+3\cdot \dfrac13\cdot 50=0,1\cdot 50\cdot 2+50\)

 

Для того, чтобы найти переплату по кредиту, необходимо из того, что он в итоге заплатил банку, отнять сумму кредита:

 

\(\big(0,1\cdot 50\cdot 2+50\big)-50=10\) тыс. рублей.
Таким образом, его переплата составила \(10\,000\) рублей.  

Заметим,

 

I. что каждая выплата состоит из двух частей:
первая часть — это сумма “набежавших” процентов на текущий долг (в первый год это \(0,1\cdot 50\), во второй — \(0,1\cdot \big(\frac23\cdot 50\big)\) и т.д.)
вторая часть всегда фиксирована — это та часть, на которую должен уменьшаться долг каждый год (в нашем примере это \(\frac13\cdot 50\)).

 

Действительно, когда клиент выплачивает “набежавшие” проценты, сумма его долга становится равна той, которая была до начисления процентов (например, в первый год становится равна \(A\)). А далее он еще вносит \(\frac 1n\) часть от этого долга. И таким образом сумма долга уменьшается на \(\frac 1n\) часть, что и подразумевает дифференцированная система платежей.

 

II. переплата по кредиту всегда равна сумме “набежавших” процентов на долг в первый год, во второй год, в третий год и т.д.

 

В нашем примере переплата как раз равна \(0,1\cdot 50+0,1\cdot \frac23\cdot 50+0,1\cdot \frac13\cdot 50\).

 

Формула для выплаты в \(i\)-ый год: \[{\Large{x_i=\dfrac{r}{100}\cdot \dfrac{n-i+1}{n}A+\dfrac1n A}}\] где \(n\) – количество лет, на которое взят кредит, \(A\) – сумма кредита, \(r\%\) – процентная ставка.

Задание 15 #3893
Уровень задания: Равен ЕГЭ

15 января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-ого числа каждого месяца долг возрастает на \(r\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на \(13\%\) больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите \(r\).

Добавить задание в избранное

Фраза “15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца” означает, что кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами. Следовательно, можно составить таблицу, взяв за \(A\) сумму кредита: \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления } \% & \text{Платеж} \\ \hline 1 &A &A+\frac r{100}A &\frac1{25}A+\frac r{100}A\\ \hline 2 & \frac{24}{25}A& \frac{24}{25}A+\frac r{100}\cdot \frac{24}{25}A& \frac1{25}A+\frac r{100}\cdot \frac{24}{25}A\\ \hline ... & ...&... &...\\ \hline 25 & \frac1{25}A& \frac1{25}A+\frac r{100}\cdot \frac1{25}A& \frac1{25}A+\frac r{100}\cdot \frac1{25}A\\ \hline \end{array}\] Таким образом, как и должно быть при дифференцированных платежах, все платежи состоят из двух частей, причем первые части одинаковы и равны \(\frac1{25}A\).
Так как сумма всех платежей и есть сумма, уплаченная банку за время кредитования, то \[25\cdot \frac1{25}A+\dfrac r{100}\cdot \dfrac1{25}\cdot A\cdot \left( 25+24+\dots+1\right)=1,13A\quad\Rightarrow\quad r=1\]

Ответ: 1

Задание 16 #3897
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 3 млн. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на \(10\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Найдите общую сумму выплат по такому кредиту, если он был взят на 4 года.

Добавить задание в избранное

Из условия следует, что платежи дифференцированные. Следовательно, каждый платеж состоит из двух частей:
1) первая часть – это \(\dfrac14\cdot 3\) (млн. рублей), так как кредит взят на 4 года;
2) вторая часть в \(n\)-ый год – это “набежавшие проценты” на долг в \(n\)-ый год, то есть в первый год это \(0,1\cdot 3\) (млн. руб.), во второй – это \(0,1\cdot \frac34\cdot 3\) (млн. руб.), в третий год это \(0,1\cdot \frac24\cdot 3\) (млн. руб.), в четвертый – это \(0,1\cdot \frac14\cdot 3\) (млн. руб.).

 

Таким образом, общая сумма выплат равна сумме платежей и равна \[\begin{aligned} &\left(\dfrac14\cdot 3+0,1\cdot 3\right)+ \left(\dfrac14\cdot 3+0,1\cdot \dfrac34\cdot 3\right)+\left(\dfrac14\cdot 3+0,1\cdot \dfrac24\cdot 3\right)+\left(\dfrac14\cdot 3+0,1\cdot \dfrac14\cdot 3\right)=\\[2ex] &=4\cdot \dfrac14\cdot 3+0,1\cdot 3\cdot \left(1+\dfrac34+\dfrac24+\dfrac14\right)=3+0,75=3,75\end{aligned}\]

Ответ:

3,75 млн. рублей

Задание 17 #1198
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Константин решил взять в одном из двух банков кредит на покупку машины при условии, что он будет выплачивать кредит дифференцированными платежами. Первый банк предлагает Константину кредит на \(6\) лет с \(\frac{32}{7}\%\) годовых, а второй банк – на \(5\) лет с \(12,5\%\) годовых. В каком банке ему выгодней взять кредит и сколько процентов от стоимости машины составляет эта выгода?

Добавить задание в избранное

Составим таблицу для обоих банков, обозначив за \(A\) руб. сумму кредита.

 

Первый банк: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг в руб.} & \text{Долг в руб.} & \text{Ежегодная выплата}\\ & \text{до начисления} & \text{после начисления} & \text{в руб.} \\ & \text{процентов} & \text{процентов} & \\ \hline & & &\\ 1&A &A+\dfrac{32}{700}A &\dfrac{1}{6}A+\dfrac{32}{700}A \\ & & &\\ \hline & & &\\ 2&\dfrac{5}{6}A &\dfrac{5}{6}A+\dfrac{32}{700}\cdot \dfrac{5}{6}A &\dfrac{1}{6}A+\dfrac{32}{700}\cdot \dfrac{5}{6}A \\ & & &\\ \hline & & &\\ ... &... &... &... \\ & & &\\ \hline & & &\\ 6&\dfrac{1}{6}A &\dfrac{1}{6}A+\dfrac{32}{700}\cdot \dfrac{1}{6}A &\dfrac{1}{6}A+\dfrac{32}{700}\cdot \dfrac{1}{6}A \\ & & &\\ \hline \end{array}\]

Найдем сумму, которую составит переплата в этом случае: \[\dfrac{32}{700}A+\dfrac{32}{700}\cdot \dfrac{5}{6}A+ \cdots +\dfrac{32}{700}\cdot \dfrac{1}{6}A=0,16A \quad \text{, то есть }16\%\text{ от стоимости машины}\]

Второй банк (заметим, что \(\dfrac{12,5}{100}=\dfrac{1}{8}\)): \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг в руб.} & \text{Долг в руб.} & \text{Ежегодная выплата}\\ & \text{до начисления} & \text{после начисления} & \text{в руб.} \\ & \text{процентов} & \text{процентов} & \\ \hline & & &\\ 1&A &A+\dfrac{1}{8}A &\dfrac{1}{5}A+\dfrac{1}{8}A \\ & & &\\ \hline & & &\\ 2&\dfrac{4}{5}A &\dfrac{4}{5}A+\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{4}{5}A &\dfrac{1}{5}A+\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{4}{5}A \\ & & &\\ \hline & & &\\ ... &... &... &... \\ & & &\\ \hline & & &\\ 5&\dfrac{1}{5}A &\dfrac{1}{5}A+\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{1}{5}A &\dfrac{1}{5}A+\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{1}{5}A \\ & & &\\ \hline \end{array}\]

Найдем сумму, которую составит переплата в этом случае: \[\dfrac{1}{8}A+\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{4}{5}A+ \cdots +\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{1}{5}A=0,375A\quad \text{, то есть }37,5\% \text{ от стоимости машины}\]

Таким образом, Константину выгоднее взять кредит в первом банке и выгода при этом составит \(37,5\%-16\%=21,5\%\).

Ответ:

\(21,5\%\).

Задание 18 #2022
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Под какое наибольшее количество процентов годовых должен быть выдан кредит в банке сроком на 7 лет, чтобы переплата по такому кредиту составляла не более \(56\%\) от суммы кредита, а погашение кредита происходило ежегодными платежами так, чтобы долг каждый год уменьшался равномерно?

Добавить задание в избранное

Заметим, что фраза “долг уменьшался равномерно” означает, что выплаты происходят с помощью дифференцированных платежей.

Пусть в кредит было взято \(A\) рублей. Пусть также \(y\%\) – годовая ставка в банке. Тогда в первый год после начисления процентов долг увеличится на \(\frac y{100}\cdot A=0,01y\cdot A\) рублей, во второй — на \(\frac{y}{100}\cdot \frac67\cdot A=0,01y\cdot \frac67\cdot A\) рублей и т.д. Составим таблицу:

\[{\large{ \begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг после} & \text{Сумма} & \text{Долг после}\\ & \text{начисления }\% &\text{платежа} & \text{платежа} \\[3pt] \hline 1& A+0,01y\cdot A & 0,01y\cdot A+\frac17\cdot A & \frac67\cdot A\\[3pt] \hline 2& \frac67\cdot A+0,01y\cdot\frac67\cdot A & 0,01y\cdot\frac67\cdot A+\frac17\cdot A & \frac57\cdot A\\[3pt] \hline 3& \frac57\cdot A+0,01y\cdot\frac57\cdot A & 0,01y\cdot\frac57\cdot A+\frac17\cdot A & \frac47\cdot A\\[3pt] \hline 4& \frac47\cdot A+0,01y\cdot\frac47\cdot A & 0,01y\cdot\frac47\cdot A+\frac17\cdot A & \frac37\cdot A\\[3pt] \hline 5& \frac37\cdot A+0,01y\cdot\frac37\cdot A & 0,01y\cdot\frac37\cdot A+\frac17\cdot A & \frac27\cdot A\\[3pt] \hline 6& \frac27\cdot A+0,01y\cdot\frac27\cdot A & 0,01y\cdot\frac27\cdot A+\frac17\cdot A & \frac17\cdot A\\[3pt] \hline 7& \frac17\cdot A+0,01y\cdot\frac17\cdot A & 0,01y\cdot\frac17\cdot A+\frac17\cdot A & 0\\[3pt] \hline \end{array}}}\]

Таким образом, переплата (сумма всех платежей за вычетом суммы кредита) по кредиту составила

\[R=0,01y\cdot A\cdot \left(1+\dfrac67+\dfrac57+\dfrac47+\dfrac37+\dfrac27+\dfrac17\right)=0,04y\cdot A\]

Т.к. переплата не должна превышать \(56\%\) от суммы кредита, то \(R\leqslant 0,56A\). Таким образом, имеем следующее неравенство:

\[0,04y\cdot A\leqslant 0,56A \quad \Leftrightarrow \quad y\leqslant 14\]

Таким образом, наибольшая годовая ставка — это \(y=14\%\).

Ответ:

\(14\%\)

Задание 19 #2020
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В феврале 2015 года Аркадий Петрович взял кредит в банке под \(13\%\) годовых, причем выплатить кредит он должен восемью платежами, вносимыми раз в год на счет после начисления процентов на оставшуюся сумму долга. Долг при этом должен уменьшаться каждый год равномерно. Сколько рублей составит переплата по кредиту, если больший платеж на \(91\,000\) рублей больше меньшего платежа?

Добавить задание в избранное

Фраза “долг при этом должен уменьшаться каждый год равномерно” означает, что кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами.

Пусть Аркадий Петрович взял в банке \(A\) рублей. Т.к. кредит должен быть выплачен восемью платежами, то он взят на 8 лет. Составим таблицу:

\[{\large{ \begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг после} & \text{Сумма} & \text{Долг после}\\ & \text{начисления }\% &\text{платежа} & \text{платежа} \\[3pt] \hline 1& A+0,13\cdot A & 0,13\cdot A+\frac18\cdot A & \frac78\cdot A\\[3pt] \hline 2& \frac78\cdot A+0,13\cdot\frac78\cdot A & 0,13\cdot\frac78\cdot A+\frac18\cdot A & \frac68\cdot A\\[3pt] \hline 3& \frac68\cdot A+0,13\cdot\frac68\cdot A & 0,13\cdot\frac68\cdot A+\frac18\cdot A & \frac58\cdot A\\[3pt] \hline 4& \frac58\cdot A+0,13\cdot\frac58\cdot A & 0,13\cdot\frac58\cdot A+\frac18\cdot A & \frac48\cdot A\\[3pt] \hline 5& \frac48\cdot A+0,13\cdot\frac48\cdot A & 0,13\cdot\frac48\cdot A+\frac18\cdot A & \frac38\cdot A\\[3pt] \hline 6& \frac38\cdot A+0,13\cdot\frac38\cdot A & 0,13\cdot\frac38\cdot A+\frac18\cdot A & \frac28\cdot A\\[3pt] \hline 7& \frac28\cdot A+0,13\cdot\frac28\cdot A & 0,13\cdot\frac28\cdot A+\frac18\cdot A & \frac18\cdot A\\[3pt] \hline 8& \frac18\cdot A+0,13\cdot\frac18\cdot A & 0,13\cdot\frac18\cdot A+\frac18\cdot A & 0\\[3pt] \hline \end{array}}}\]

Заметим, что все платежи состоят из двух частей: вторая часть одинакова \(\left(\frac18\cdot A\right)\), а первая часть меняется, причем в первом платеже первая часть – наибольшая, а в последнем – наименьшая. Значит и первый платеж – наибольший, а последний – наименьший. Таким образом, получаем следующее уравнение:

\(\left(0,13\cdot A+\frac18\cdot A\right)-\left(0,13\cdot\frac18\cdot A+\frac18\cdot A\right)=91\,000 \quad \Leftrightarrow \quad 0,13\cdot A\left(1-\frac18\right)=91\,000 \quad \Leftrightarrow\)  

\(\Leftrightarrow \quad A=800\,000\)

 

Тогда переплата по кредиту равна сумме всех платежей за вычетом суммы кредита:

\[R=0,13\cdot A\cdot\left(1+\dfrac78+\dfrac68+\dfrac58+\dfrac48+\dfrac38+\dfrac28+\dfrac18\right)=468\,000\]

Ответ:

\(468000\)

Задание 20 #2019
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Каков процент годовых в банке по кредиту, который выдается на 7 лет, если сумма, выплаченная банку за все годы кредитования, составляет \(144\%\) от суммы кредита, а погашение кредита происходит раз в год после начисления процентов платежами, уменьшающими долг равномерно?

Добавить задание в избранное

Фраза “погашение кредита происходит платежами, уменьшающими долг равномерно” означает, что кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами.

Пусть кредит выдается на сумму \(A\) рублей. Если \(y\%\) – процентная ставка в банке, то в первый год после начисления процентов долг увеличится на \(\frac y{100}\cdot A=0,01y\cdot A\) рублей, во второй — на \(\frac{y}{100}\cdot \frac67\cdot A=0,01y\cdot \frac67\cdot A\) рублей и т.д. Составим таблицу:

\[{\large{ \begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг после} & \text{Сумма} & \text{Долг после}\\ & \text{начисления }\% &\text{платежа} & \text{платежа} \\[3pt] \hline 1& A+0,01y\cdot A & 0,01y\cdot A+\frac17\cdot A & \frac67\cdot A\\[3pt] \hline 2& \frac67\cdot A+0,01y\cdot\frac67\cdot A & 0,01y\cdot\frac67\cdot A+\frac17\cdot A & \frac57\cdot A\\[3pt] \hline 3& \frac57\cdot A+0,01y\cdot\frac57\cdot A & 0,01y\cdot\frac57\cdot A+\frac17\cdot A & \frac47\cdot A\\[3pt] \hline 4& \frac47\cdot A+0,01y\cdot\frac47\cdot A & 0,01y\cdot\frac47\cdot A+\frac17\cdot A & \frac37\cdot A\\[3pt] \hline 5& \frac37\cdot A+0,01y\cdot\frac37\cdot A & 0,01y\cdot\frac37\cdot A+\frac17\cdot A & \frac27\cdot A\\[3pt] \hline 6& \frac27\cdot A+0,01y\cdot\frac27\cdot A & 0,01y\cdot\frac27\cdot A+\frac17\cdot A & \frac17\cdot A\\[3pt] \hline 7& \frac17\cdot A+0,01y\cdot\frac17\cdot A & 0,01y\cdot\frac17\cdot A+\frac17\cdot A & 0\\[3pt] \hline \end{array}}}\]

Сумма, выплаченная по этому кредиту за все годы кредитования, равна сумме всех платежей и равна

\[S=0,01y\cdot A\left(1+\dfrac67+\dfrac57+\dfrac47+\dfrac37+\dfrac27+\dfrac17\right)+7\cdot \dfrac17 \cdot A=0,04y\cdot A+A= A\cdot(1+0,04y)\]

Т.к. эта сумма составляет \(144\%\) от суммы кредита, то

\[S=1,44A \quad \Rightarrow \quad 1+0,04y=1,44 \quad \Leftrightarrow\quad y=11\%\]

Ответ:

\(11\%\)

Задание 21 #2891
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Под какой процент следует взять кредит в банке I, выдаваемый на 5 лет, чтобы переплата по такому кредиту была такой же, как в банке II, выдающему тот же кредит на 17 лет под \(10\%\) годовых, если выплачиваются оба кредита дифференцированными платежами?

Добавить задание в избранное

Так как система выплат дифференцированная, то переплата по кредиту равна сумме “набежавших” на долг процентов на начало каждого года.

 

1) Банк II предлагает кредит на 17 лет, следовательно, каждый год после платежа основной долг уменьшается на \(\frac1{17}\) часть. То есть если в начале 1-ого года долг равен \(A\), то в начале 2-ого — \(A-\frac1{17}A=\frac{16}{17}A\), в начале 3-его — \(\frac{15}{17}A\), в начале 4-ого — \(\frac{14}{17}A\) и т.д. Значит, “набежавшие” проценты в 1-ый год — это \(0,1\cdot A\), во 2-ой год — это \(0,1\cdot \frac{16}{17}A\), в 3-ий — это \(0,1\cdot \frac{15}{17}A\) и т.д. Следовательно, переплата: \[\begin{aligned}&Per_{II}=0,1\cdot A+0,1\cdot \frac{16}{17}A+\dots+ 0,1\cdot \frac2{17}A+0,1\cdot \frac1{17}A=\\[2ex] &=0,1A\cdot \left(1+\frac{16}{17}+\dots+\frac2{17}+\frac1{17}\right)=0,1A\cdot 9=0,9A\end{aligned}\]

2) Банк I предлагает кредит на 5 лет, следовательно, применяя те же рассуждения, получим (пусть \(y\%\) – его процентная ставка): \[Per_{I}=0,01y\cdot A\cdot \left(1+\frac45+\frac35+\frac25+\frac15\right)= 0,01y\cdot A\cdot 3=0,03yA\]

Так как переплаты должны быть равны, то получаем следующее уравнение: \[0,03yA=0,9A \quad\Leftrightarrow\quad y=30\%\]

Ответ: 30

1 2 3 4