15 января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-ого числа каждого месяца долг возрастает на \(r\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на \(13\%\) больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите \(r\).
Фраза “15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца” означает, что кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами. Следовательно, можно составить таблицу, взяв за \(A\) сумму кредита: \[\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline \text{Месяц} & \text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления }
\% & \text{Платеж} \\
\hline 1 &A &A+\frac r{100}A &\frac1{25}A+\frac r{100}A\\
\hline 2 & \frac{24}{25}A& \frac{24}{25}A+\frac r{100}\cdot \frac{24}{25}A&
\frac1{25}A+\frac r{100}\cdot \frac{24}{25}A\\
\hline ... & ...&... &...\\
\hline 25 & \frac1{25}A& \frac1{25}A+\frac r{100}\cdot \frac1{25}A&
\frac1{25}A+\frac r{100}\cdot \frac1{25}A\\
\hline \end{array}\] Таким образом, как и должно быть при дифференцированных платежах, все платежи состоят из двух частей, причем первые части одинаковы и равны \(\frac1{25}A\).
Так как сумма всех платежей и есть сумма, уплаченная банку за время кредитования, то \[25\cdot \frac1{25}A+\dfrac r{100}\cdot \dfrac1{25}\cdot A\cdot \left(
25+24+\dots+1\right)=1,13A\quad\Rightarrow\quad r=1\]
Ответ: 1
