Математика
Русский язык

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи про банковский кредит: дифференцированный платеж (страница 3)

Дифференцированный платеж – это такая система выплат, при которой сама сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц).
При этом платежи каждый год разные.

 

Таким образом, если кредит взят на \(n\) лет, то это значит, что сумму кредита \(A\) разделили на \(n\) равных частей и что каждый год после платежа сумма долга уменьшается на \(\dfrac1n A\) по сравнению с долгом на начало года.

 

Пример: Александр взял в банке кредит на \(50\,000\) рублей на \(3\) месяца, причем выплачивать кредит он должен ежемесячными выплатами так, чтобы сумма долга каждый месяц уменьшалась на одну и ту же величину. Сколько рублей составит переплата Александра по кредиту, если процентная ставка в банке \(10\%\)?

 

Т.к. кредит взят на \(3\) месяца, то после первой выплаты долг должен составить \(A-\frac13A=\frac23 A\), после второй \(\frac23A-\frac13A=\frac13A\), а после третьей — \(\frac13A-\frac13A=0\) рублей. Составим таблицу, производя все вычисления в тыс. рублей: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Выплата}\\ &\text{до начисления}\ \%&\text{после начисления }\%&\text{после выплаты}&\\ \hline 1&50&50+0,1\cdot 50&\frac23\cdot 50&0,1\cdot 50+\frac13\cdot 50\\ \hline 2&\frac23\cdot 50&\frac23\cdot 50+0,1\cdot\frac23\cdot 50&\frac13\cdot 50&0,1\cdot \frac23\cdot 50+\frac13\cdot50\\ \hline 3&\frac13\cdot 50&\frac13\cdot 50+0,1\cdot \frac13\cdot 50&0&0,1\cdot \frac13\cdot 50+\frac13\cdot 50\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, всего Александр заплатил банку \(\big(0,1\cdot 50+\dfrac13\cdot 50\big)+\big(0,1\cdot \dfrac23\cdot 50+\dfrac13\cdot50\big)+\big(0,1\cdot \dfrac13\cdot 50+\dfrac13\cdot 50\big)\) тыс.рублей.

 

Перегруппируем слагаемые и вынесем за скобки общие множители:

 

\(0,1\cdot 50 \left(1+\dfrac23+\dfrac13\right)+3\cdot \dfrac13\cdot 50=0,1\cdot 50\cdot 2+50\)

 

Для того, чтобы найти переплату по кредиту, необходимо из того, что он в итоге заплатил банку, отнять сумму кредита:

 

\(\big(0,1\cdot 50\cdot 2+50\big)-50=10\) тыс. рублей.
Таким образом, его переплата составила \(10\,000\) рублей.  

Заметим,

 

I. что каждая выплата состоит из двух частей:
первая часть — это сумма “набежавших” процентов на текущий долг (в первый год это \(0,1\cdot 50\), во второй — \(0,1\cdot \big(\frac23\cdot 50\big)\) и т.д.)
вторая часть всегда фиксирована — это та часть, на которую должен уменьшаться долг каждый год (в нашем примере это \(\frac13\cdot 50\)).

 

Действительно, когда клиент выплачивает “набежавшие” проценты, сумма его долга становится равна той, которая была до начисления процентов (например, в первый год становится равна \(A\)). А далее он еще вносит \(\frac 1n\) часть от этого долга. И таким образом сумма долга уменьшается на \(\frac 1n\) часть, что и подразумевает дифференцированная система платежей.

 

II. переплата по кредиту всегда равна сумме “набежавших” процентов на долг в первый год, во второй год, в третий год и т.д.

 

В нашем примере переплата как раз равна \(0,1\cdot 50+0,1\cdot \frac23\cdot 50+0,1\cdot \frac13\cdot 50\).

 

Формула для выплаты в \(i\)-ый год: \[{\Large{x_i=\dfrac{r}{100}\cdot \dfrac{n-i+1}{n}A+\dfrac1n A}}\] где \(n\) – количество лет, на которое взят кредит, \(A\) – сумма кредита, \(r\%\) – процентная ставка.

Задание 15
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Под какое наибольшее количество процентов годовых должен быть выдан кредит в банке сроком на 7 лет, чтобы переплата по такому кредиту составляла не более \(56\%\) от суммы кредита, а погашение кредита происходило ежегодными платежами так, чтобы долг каждый год уменьшался равномерно?

Добавить задание в избранное

Заметим, что фраза “долг уменьшался равномерно” означает, что выплаты происходят с помощью дифференцированных платежей.

Пусть в кредит было взято \(A\) рублей. Пусть также \(y\%\) – годовая ставка в банке. Тогда в первый год после начисления процентов долг увеличится на \(\frac y{100}\cdot A=0,01y\cdot A\) рублей, во второй — на \(\frac{y}{100}\cdot \frac67\cdot A=0,01y\cdot \frac67\cdot A\) рублей и т.д. Составим таблицу:

\[{\large{ \begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг после} & \text{Сумма} & \text{Долг после}\\ & \text{начисления }\% &\text{платежа} & \text{платежа} \\[3pt] \hline 1& A+0,01y\cdot A & 0,01y\cdot A+\frac17\cdot A & \frac67\cdot A\\[3pt] \hline 2& \frac67\cdot A+0,01y\cdot\frac67\cdot A & 0,01y\cdot\frac67\cdot A+\frac17\cdot A & \frac57\cdot A\\[3pt] \hline 3& \frac57\cdot A+0,01y\cdot\frac57\cdot A & 0,01y\cdot\frac57\cdot A+\frac17\cdot A & \frac47\cdot A\\[3pt] \hline 4& \frac47\cdot A+0,01y\cdot\frac47\cdot A & 0,01y\cdot\frac47\cdot A+\frac17\cdot A & \frac37\cdot A\\[3pt] \hline 5& \frac37\cdot A+0,01y\cdot\frac37\cdot A & 0,01y\cdot\frac37\cdot A+\frac17\cdot A & \frac27\cdot A\\[3pt] \hline 6& \frac27\cdot A+0,01y\cdot\frac27\cdot A & 0,01y\cdot\frac27\cdot A+\frac17\cdot A & \frac17\cdot A\\[3pt] \hline 7& \frac17\cdot A+0,01y\cdot\frac17\cdot A & 0,01y\cdot\frac17\cdot A+\frac17\cdot A & 0\\[3pt] \hline \end{array}}}\]

Таким образом, переплата (сумма всех платежей за вычетом суммы кредита) по кредиту составила

\[R=0,01y\cdot A\cdot \left(1+\dfrac67+\dfrac57+\dfrac47+\dfrac37+\dfrac27+\dfrac17\right)=0,04y\cdot A\]

Т.к. переплата не должна превышать \(56\%\) от суммы кредита, то \(R\leqslant 0,56A\). Таким образом, имеем следующее неравенство:

\[0,04y\cdot A\leqslant 0,56A \quad \Leftrightarrow \quad y\leqslant 14\]

Таким образом, наибольшая годовая ставка — это \(y=14\%\).

Ответ:

\(14\%\)

Задание 16
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В феврале 2015 года Аркадий Петрович взял кредит в банке под \(13\%\) годовых, причем выплатить кредит он должен восемью платежами, вносимыми раз в год на счет после начисления процентов на оставшуюся сумму долга. Долг при этом должен уменьшаться каждый год равномерно. Сколько рублей составит переплата по кредиту, если больший платеж на \(91\,000\) рублей больше меньшего платежа?

Добавить задание в избранное

Фраза “долг при этом должен уменьшаться каждый год равномерно” означает, что кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами.

Пусть Аркадий Петрович взял в банке \(A\) рублей. Т.к. кредит должен быть выплачен восемью платежами, то он взят на 8 лет. Составим таблицу:

\[{\large{ \begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг после} & \text{Сумма} & \text{Долг после}\\ & \text{начисления }\% &\text{платежа} & \text{платежа} \\[3pt] \hline 1& A+0,13\cdot A & 0,13\cdot A+\frac18\cdot A & \frac78\cdot A\\[3pt] \hline 2& \frac78\cdot A+0,13\cdot\frac78\cdot A & 0,13\cdot\frac78\cdot A+\frac18\cdot A & \frac68\cdot A\\[3pt] \hline 3& \frac68\cdot A+0,13\cdot\frac68\cdot A & 0,13\cdot\frac68\cdot A+\frac18\cdot A & \frac58\cdot A\\[3pt] \hline 4& \frac58\cdot A+0,13\cdot\frac58\cdot A & 0,13\cdot\frac58\cdot A+\frac18\cdot A & \frac48\cdot A\\[3pt] \hline 5& \frac48\cdot A+0,13\cdot\frac48\cdot A & 0,13\cdot\frac48\cdot A+\frac18\cdot A & \frac38\cdot A\\[3pt] \hline 6& \frac38\cdot A+0,13\cdot\frac38\cdot A & 0,13\cdot\frac38\cdot A+\frac18\cdot A & \frac28\cdot A\\[3pt] \hline 7& \frac28\cdot A+0,13\cdot\frac28\cdot A & 0,13\cdot\frac28\cdot A+\frac18\cdot A & \frac18\cdot A\\[3pt] \hline 8& \frac18\cdot A+0,13\cdot\frac18\cdot A & 0,13\cdot\frac18\cdot A+\frac18\cdot A & 0\\[3pt] \hline \end{array}}}\]

Заметим, что все платежи состоят из двух частей: вторая часть одинакова \(\left(\frac18\cdot A\right)\), а первая часть меняется, причем в первом платеже первая часть – наибольшая, а в последнем – наименьшая. Значит и первый платеж – наибольший, а последний – наименьший. Таким образом, получаем следующее уравнение:

\(\left(0,13\cdot A+\frac18\cdot A\right)-\left(0,13\cdot\frac18\cdot A+\frac18\cdot A\right)=91\,000 \quad \Leftrightarrow \quad 0,13\cdot A\left(1-\frac18\right)=91\,000 \quad \Leftrightarrow\)  

\(\Leftrightarrow \quad A=800\,000\)

 

Тогда переплата по кредиту равна сумме всех платежей за вычетом суммы кредита:

\[R=0,13\cdot A\cdot\left(1+\dfrac78+\dfrac68+\dfrac58+\dfrac48+\dfrac38+\dfrac28+\dfrac18\right)=468\,000\]

Ответ:

\(468000\)

Задание 17
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Каков процент годовых в банке по кредиту, который выдается на 7 лет, если сумма, выплаченная банку за все годы кредитования, составляет \(144\%\) от суммы кредита, а погашение кредита происходит раз в год после начисления процентов платежами, уменьшающими долг равномерно?

Добавить задание в избранное

Фраза “погашение кредита происходит платежами, уменьшающими долг равномерно” означает, что кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами.

Пусть кредит выдается на сумму \(A\) рублей. Если \(y\%\) – процентная ставка в банке, то в первый год после начисления процентов долг увеличится на \(\frac y{100}\cdot A=0,01y\cdot A\) рублей, во второй — на \(\frac{y}{100}\cdot \frac67\cdot A=0,01y\cdot \frac67\cdot A\) рублей и т.д. Составим таблицу:

\[{\large{ \begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг после} & \text{Сумма} & \text{Долг после}\\ & \text{начисления }\% &\text{платежа} & \text{платежа} \\[3pt] \hline 1& A+0,01y\cdot A & 0,01y\cdot A+\frac17\cdot A & \frac67\cdot A\\[3pt] \hline 2& \frac67\cdot A+0,01y\cdot\frac67\cdot A & 0,01y\cdot\frac67\cdot A+\frac17\cdot A & \frac57\cdot A\\[3pt] \hline 3& \frac57\cdot A+0,01y\cdot\frac57\cdot A & 0,01y\cdot\frac57\cdot A+\frac17\cdot A & \frac47\cdot A\\[3pt] \hline 4& \frac47\cdot A+0,01y\cdot\frac47\cdot A & 0,01y\cdot\frac47\cdot A+\frac17\cdot A & \frac37\cdot A\\[3pt] \hline 5& \frac37\cdot A+0,01y\cdot\frac37\cdot A & 0,01y\cdot\frac37\cdot A+\frac17\cdot A & \frac27\cdot A\\[3pt] \hline 6& \frac27\cdot A+0,01y\cdot\frac27\cdot A & 0,01y\cdot\frac27\cdot A+\frac17\cdot A & \frac17\cdot A\\[3pt] \hline 7& \frac17\cdot A+0,01y\cdot\frac17\cdot A & 0,01y\cdot\frac17\cdot A+\frac17\cdot A & 0\\[3pt] \hline \end{array}}}\]

Сумма, выплаченная по этому кредиту за все годы кредитования, равна сумме всех платежей и равна

\[S=0,01y\cdot A\left(1+\dfrac67+\dfrac57+\dfrac47+\dfrac37+\dfrac27+\dfrac17\right)+7\cdot \dfrac17 \cdot A=0,04y\cdot A+A= A\cdot(1+0,04y)\]

Т.к. эта сумма составляет \(144\%\) от суммы кредита, то

\[S=1,44A \quad \Rightarrow \quad 1+0,04y=1,44 \quad \Leftrightarrow\quad y=11\%\]

Ответ:

\(11\%\)

Задание 18
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Под какой процент следует взять кредит в банке I, выдаваемый на 5 лет, чтобы переплата по такому кредиту была такой же, как в банке II, выдающему тот же кредит на 17 лет под \(10\%\) годовых, если выплачиваются оба кредита дифференцированными платежами?

Добавить задание в избранное

Так как система выплат дифференцированная, то переплата по кредиту равна сумме “набежавших” на долг процентов на начало каждого года.

 

1) Банк II предлагает кредит на 17 лет, следовательно, каждый год после платежа основной долг уменьшается на \(\frac1{17}\) часть. То есть если в начале 1-ого года долг равен \(A\), то в начале 2-ого — \(A-\frac1{17}A=\frac{16}{17}A\), в начале 3-его — \(\frac{15}{17}A\), в начале 4-ого — \(\frac{14}{17}A\) и т.д. Значит, “набежавшие” проценты в 1-ый год — это \(0,1\cdot A\), во 2-ой год — это \(0,1\cdot \frac{16}{17}A\), в 3-ий — это \(0,1\cdot \frac{15}{17}A\) и т.д. Следовательно, переплата: \[\begin{aligned}&Per_{II}=0,1\cdot A+0,1\cdot \frac{16}{17}A+\dots+ 0,1\cdot \frac2{17}A+0,1\cdot \frac1{17}A=\\[2ex] &=0,1A\cdot \left(1+\frac{16}{17}+\dots+\frac2{17}+\frac1{17}\right)=0,1A\cdot 9=0,9A\end{aligned}\]

2) Банк I предлагает кредит на 5 лет, следовательно, применяя те же рассуждения, получим (пусть \(y\%\) – его процентная ставка): \[Per_{I}=0,01y\cdot A\cdot \left(1+\frac45+\frac35+\frac25+\frac15\right)= 0,01y\cdot A\cdot 3=0,03yA\]

Так как переплаты должны быть равны, то получаем следующее уравнение: \[0,03yA=0,9A \quad\Leftrightarrow\quad y=30\%\]

Ответ: 30

Задание 19
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Клиент взял в банке кредит на некоторую сумму на 12 лет под \(8\%\) годовых, причем выплачивал кредит он так, чтобы сумма долга каждый год уменьшалась равномерно. Известно, что за первые 8 лет он отдал банку 7 млн рублей. Найдите, сколько млн. рублей он заплатил банку за последние 4 года пользования кредитом.

Добавить задание в избранное

Пусть \(A\) млн. рублей — сумма, взятая в кредит. Так как “сумма долга каждый год уменьшалась равномерно”, то кредит выплачивается дифференцированными платежами. Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг до начисления }\%&\text{Долг после начисления }\% &\text{Платеж}\\ \hline 1 & A & A+0,08\cdot A & 0,08\cdot A+\frac1{12}\cdot A \\ \hline 2 & \frac{11}{12}A & \frac{11}{12}A+0,08\cdot \frac{11}{12}A & 0,08\cdot \frac{11}{12}A+\frac1{12}A \\ \hline 3 & \frac{10}{12}A & \frac{10}{12}A+0,08\cdot\frac{10}{12}A & 0,08\cdot\frac{10}{12}A+\frac1{12}A \\ \hline 4 & \frac{9}{12}A & \frac{9}{12}A+0,08\cdot\frac{9}{12}A & 0,08\cdot\frac{9}{12}A+\frac1{12}A \\ \hline ... & ... & ... & ... \\ \hline 8 & \frac{5}{12}A & \frac{5}{12}A+0,08\cdot\frac{5}{12}A & 0,08\cdot\frac{5}{12}A+\frac1{12}A \\ \hline ... & ... & ... & ... \\ \hline 11 & \frac2{12} A & \frac2{12}A+0,08\cdot\frac2{12}A & 0,08\cdot\frac2{12}A+\frac1{12}A \\ \hline 12 & \frac1{12} A & \frac1{12}A+0,08\cdot\frac1{12}A & 0,08\cdot\frac1{12}A+\frac1{12}A\\ \hline \end{array}\]

Значит, за первые 8 лет клиент отдал банку \[\begin{aligned} &\left(0,08\cdot A+\frac1{12}\cdot A\right)+\left(0,08\cdot \frac{11}{12}A+\frac1{12}A\right)+\dots+\left(0,08\cdot\frac{5}{12}A+\frac1{12}A\right)=7\\[2ex] &8\cdot \frac1{12}A+0,08A\cdot\left(1+\frac{11}{12}+\frac{10}{12}+\dots+\frac5{12}\right)=7\\[2ex] &\frac23A+0,08A\cdot \dfrac{17}3=7\\[2ex] &A=6,25 \end{aligned}\]

Тогда за последние 4 года он отдал банку \[\begin{aligned} &\left(0,08\cdot\frac{4}{12}A+\frac1{12}A\right)+\left(0,08\cdot\frac{3}{12}A+\frac1{12}A\right)+ \left(0,08\cdot\frac{2}{12}A+\frac1{12}A\right)+\left(0,08\cdot\frac{1}{12}A+\frac1{12}A\right)=\\[2ex] &4\cdot \frac1{12}A+0,08A\cdot \left(\frac4{12}+\frac3{12}+\frac2{12}+\frac1{12}\right)=\dfrac25A=\dfrac25\cdot 6,25=2,5\end{aligned}\]

Следовательно, за последние 4 года от отдал банку \(2,5\) млн. рублей.

Ответ: 2,5

Задание 20
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Одну и ту же сумму в кредит можно получить в банке “Берикредит” на 5 лет под \(x\%\) годовых, а в банке “Вдолгдам” — на 4 года под \(y\%\) годовых, причем выплачиваться кредит в обоих банках должен дифференцированными платежами. Известно, что банк “Берикредит” предлагает более выгодные условия, нежели банк “Вдолгдам”, причем выгода эта составляет \(2x\%\) от суммы кредита. Найдите отношение \(x:y\).

Добавить задание в избранное

Пусть сумма, которую в кредит предлагают оба банка, равна \(A\).

Составим таблицу для банка “Берикредит”:

\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг после} & \text{Сумма} & \text{Долг после}\\ & \text{начисления }\% &\text{платежа} & \text{платежа} \\ \hline &&&\\ 1& A+0,01x\cdot A & 0,01x\cdot A+\dfrac15\cdot A & \dfrac45\cdot A\\ &&&\\ \hline &&&\\ 2& \dfrac45\cdot A+0,01x\cdot\dfrac45\cdot A & 0,01x\cdot\dfrac45\cdot A+\dfrac15\cdot A & \dfrac35\cdot A\\ &&&\\ \hline &&&\\ 3& \dfrac35\cdot A+0,01x\cdot\dfrac35\cdot A & 0,01x\cdot\dfrac35\cdot A+\dfrac15\cdot A & \dfrac25\cdot A\\ &&&\\ \hline &&&\\ 4& \dfrac25\cdot A+0,01x\cdot\dfrac25\cdot A & 0,01x\cdot\dfrac25\cdot A+\dfrac15\cdot A & \dfrac15\cdot A\\ &&&\\ \hline &&&\\ 5& \dfrac15\cdot A+0,01x\cdot\dfrac15\cdot A & 0,01x\cdot\dfrac15\cdot A+\dfrac15\cdot A & 0\\ &&&\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, переплата (сумма всех платежей за вычетом суммы кредита) в этом банке равна

\[R_x=0,01x\cdot A\cdot\left(1+\dfrac45+\dfrac35+\dfrac25+\dfrac15\right)=0,03x\cdot A\]

Аналогично составляя таблицу для банка “Вдолгдам”, найдем переплату в этом банке:

\[R_y=0,01y\cdot A\cdot \left(1+\dfrac34+\dfrac24+\dfrac14\right)=0,025y\cdot A\]

Т.к. банк “Берикредит” предлагает более выгодные условия, то переплата в этом банке должна быть меньше, чем переплата в банке “Вдолгдам”, то есть \(R_x<R_y\). Значит, \(R_y-R_x\) – и есть выгода. Т.к. выгода составляет \(2x\%\) от суммы кредита, то:

\(\dfrac{R_y-R_x}A\cdot 100\%=2x\% \quad \Rightarrow \quad \dfrac{A\cdot (0,025y-0,03x)\cdot 100}A=2x \quad \Leftrightarrow\)

 

\(\Leftrightarrow \quad 2,5y-3x=2x \quad \Leftrightarrow \quad x:y=1:2\)

Ответ:

\(1:2\)

Задание 21
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Банк выдал кредит на сумму \(666\,666\) рублей под \(12,5\%\) годовых на некоторое число \(n\) лет. Известно, что кредит выплачивался ежегодными платежами, уменьшающими долг каждый год равномерно. Найдите наибольшее возможное \(n\), если известно, что наибольший платеж по кредиту точно превысил \(150\,000\) рублей.

Добавить задание в избранное

Фраза “кредит выплачивался ежегодными платежами, уменьшающими долг каждый год равномерно” означает, что долг выплачивался дифференцированными платежами. Значит, наибольший платеж по кредиту – это первый платеж. Действительно, если кредит взят на \(A\) рублей сроком на \(n\) лет под \(12,5\%\) годовых, то каждый год после платежа долг должен уменьшаться на \(\frac1nA\) по сравнению с долгом до начисления процентов (определение дифференцированного платежа): после первого платежа он станет равен \(A-\frac1nA=\frac{n-1}nA\), после второго – \(\frac{n-2}nA\) и т.д. Это значит, что каждый платеж состоит из двух частей: первая часть состоит из процентов, начисленных на долг в текущем году, а вторая часть всегда одинакова (это \(\frac1n A\)). А так как долг с каждым годом становится меньше, то первая часть платежа также становится меньше, соответственно, и платежи становятся меньше.

 

В первый год долг равен \(666\,666\), то есть первый платеж равен \[x_1=\frac 1n\cdot 666\,666 +0,125\cdot 666\,666\]

Так как наибольший платеж превысил \(150\,000\) рублей, то получаем неравенство  

\(\frac 1n\cdot 666\,666 +0,125\cdot 666\,666>150\,000\quad\Leftrightarrow\quad 666\,666\cdot \left(\dfrac1n+\dfrac18\right)>150\,000\quad\Leftrightarrow\)  

\(\Leftrightarrow\quad \dfrac1n>\dfrac{88\,889}{888\,888}\quad\Rightarrow\quad n<\dfrac{888\,888}{88\,889}=\dfrac{888\,890-2}{88\,889}=10-\dfrac{2}{88\,889}\)  

Таким образом, наибольшее целое \(n\) (целое, так как это количество лет) равно \(n=9\).

Ответ: 9

1 2 3 4