Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Теорема синусов и теорема косинусов (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Теорема синусов:


 

\(\blacktriangleright\) Теорема косинусов: \(\Large{a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \angle(b,c)}\)

Задание 8 #2584
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) проведена медиана \(AM\). Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(AC = 3\sqrt{2}, BC = 10, \angle MAC = 45^\circ\).

Добавить задание в избранное



Из треугольника \(ACM\) по теореме косинусов найдем \(AM\):

\[CM^2 = AC^2 + AM^2 - 2\cdot AC\cdot AM\cdot \cos{45^\circ}\Rightarrow AM = 7.\]

Т.к. \(AM\) - медиана \(\Rightarrow\) она делит треугольник \(ABC\) на два равновеликих треугольника:

\[S_{ABC} = 2\cdot S_{ACM} = 2\cdot 0,5\cdot AC\cdot AM\cdot \sin{45^\circ} = 21.\]

Ответ: 21

Задание 9 #2582
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Площадь треугольника \(ABC\) равна \(20\sqrt{3}\). Найдите \(AC\), если сторона \(AB\) равна 8, а медиана \(BM\) равна 5.

Добавить задание в избранное


 

Т.к. \(BM\) - медиана \(\Rightarrow\) она делит треугольник \(ABC\) на два равновеликих треугольника:

\[S_{ABM} = S_{BMC} = 10\sqrt{3} = 0,5\cdot AB\cdot BM\cdot \sin{\alpha}.\]

\[\sin{\alpha} = \dfrac{\sqrt{3}}2\Rightarrow \alpha = 60^\circ.\]

Воспользуемся теоремой косинусов и найдем \(AM\):

\[AM = \sqrt{AB^2 + BM^2 - 2\cdot AB\cdot BM\cdot \cos{\alpha}} = 7 \Rightarrow AC = 14.\]

Ответ: 14

Задание 10 #2581
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите площадь треугольника \(KPM\), если сторона \(KP = 5\), медиана \(PO = 3\sqrt{2}, \angle KOP = 135^\circ\)

Добавить задание в избранное


 

Из треугольника \(KPO\) найдем \(KO\) по теореме Косинусов:

\[PK^2 = KO^2 + OP^2 - 2\cdot KO\cdot OP\cdot \cos{135^\circ}\Rightarrow KO = 1.\]

Т.к. \(PO\)- медиана \(\Rightarrow\) она делит треугольник \(KPM\) на два равновеликих треугольника:

\[S_{KPM} = 2\cdot S_{KPO} = 2\cdot 0,5\cdot KO\cdot OP\cdot \sin{135^\circ} = 3.\]

Ответ: 3

Задание 11 #2835
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\ O\) – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам \(AB\) и \(AC = 5\sqrt{3}\), \(OD\) – серединный перпендикуляр к стороне \(CA\), \(\angle B = 60^{\circ}\). Найдите \(OD\).

Добавить задание в избранное



Так как \(O\) – точка пересечения серединных перпендикуляров в треугольнике \(ABC\), то \(O\) – центр описанной около \(ABC\) окружности, \(AO = R\).

По теореме Пифагора: \[R^2 = AD^2 + OD^2.\] По теореме синусов \[2R = \dfrac{AC}{\sin\angle B} = \dfrac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 10\qquad\Rightarrow\qquad R = 5\qquad\Rightarrow\qquad 25 = \dfrac{25\cdot 3}4 + OD^2,\] следовательно, \(OD^2 = \frac{25}4\). Так как \(OD > 0\), то \(OD = \frac52=2,5\).

Ответ: 2,5

Задание 12 #655
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 60^{\circ}\), \(AC = 8\), \(AB = 7\). Найдите \(BC\), если известно, что \(BC > 4\).

Добавить задание в избранное




 

По теореме косинусов \(AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos{\angle ACB}\).
Обозначим \(BC\) за \(x\), тогда \(49 = 64 + x^2 - 8x\), откуда получаем \[x^2 - 8x + 15 = 0.\] Корни этого уравнения \(x_1 = 3\), \(x_2 = 5\).
Так как \(BC > 4\), то подходит только \(x = 5\). Итого: \(BC = 5\).

Ответ: 5

Задание 13 #657
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 45^{\circ}\), \(O\) – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам \(AB\) и \(BC\), \(OD = 44\) – серединный перпендикуляр к стороне \(CB\). Найдите \(CB\).

Добавить задание в избранное




 

Так как \(O\) – точка пересечения серединных перпендикуляров в треугольнике \(ABC\), то \(O\) – центр описанной около \(ABC\) окружности, \(OC = R\).

Обозначим \(BC = a\). По теореме Пифагора \[R^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + OD^2.\] По теореме синусов \[\dfrac{a}{\sin\angle A} = 2R,\] тогда \[\dfrac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R\qquad\Rightarrow\qquad R = \dfrac{a}{\sqrt{2}}.\]

\(\dfrac{a^2}{2} = \dfrac{a^2}{4} + OD^2\), тогда \(a^2 = 4\cdot OD^2\), откуда \(a = \pm 2\cdot OD\), но \(a > 0\), \(OD > 0\), следовательно, \(a = 2\cdot OD = 88\).

Ответ: 88

Задание 14 #658
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\angle B = 30^{\circ}\), \(O\) – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам \(AC\) и \(BC\), \(OD\) – серединный перпендикуляр к стороне \(AC\). Найдите \(\dfrac{\sqrt{3}\cdot AC}{OD}\).

Добавить задание в избранное




 

Так как \(O\) – точка пересечения серединных перпендикуляров в треугольнике \(ABC\), то \(O\) – центр описанной около \(ABC\) окружности, \(OC = R\).

Обозначим \(AC = a\), \(OD = h\). По теореме Пифагора \[R^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2.\] По теореме синусов \[\dfrac{a}{\sin\angle B} = 2R\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{a}{\frac{1}{2}} = 2R\qquad\Rightarrow\qquad R = a.\]

\(a^2 = \dfrac{a^2}{4} + h^2\), тогда \(\dfrac{a^2}{h^2} = \dfrac{4}{3}\), откуда \(\dfrac{a}{h} = \pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}\), но \(a > 0\), \(h > 0\), следовательно, \(\dfrac{a}{h} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\), тогда \(\dfrac{a\sqrt{3}}{h} = 2\).

Ответ: 2

1 2 3