Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Буквенные тригонометрические выражения (страница 5)

\(\blacktriangleright\) Алгоритм применения формул приведения:

 

Шаг 1: определить, меняется ли функция на кофункцию: \[\sin \longleftrightarrow \cos\] \[\mathrm{tg} \longleftrightarrow \mathrm{ctg}\]
Шаг 2: определить знак, который имеет изначальная функция, поняв, в какой четверти находится изначальный угол (предполагая, что \(\alpha\) – острый)

 

\(\blacktriangleright\) Если угол можно представить в виде \((\pi n\pm \alpha)\), где \(n\) – натуральное, то функция на кофункцию не меняется.
Пример: \(\sin (\pi n\pm \alpha)=\bigodot \sin \alpha\), где на месте \(\bigodot\) должен стоять знак синуса для угла \((\pi n\pm \alpha)\)

 

\(\blacktriangleright\) Если угол можно представить в виде \(\left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)\), где \(n\) – нечетное число, то функция на кофункцию меняется
Пример: \(\sin \left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)=\bigodot \cos \alpha\), где на месте \(\bigodot\) должен стоять знак синуса для угла \(\left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)\)

 

\(\blacktriangleright\) Основные формулы:

 

\[\begin{array}{|ccc|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&& \mathrm{tg} \alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg} \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg} \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ \cos {2\alpha}=\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha&&\cos {2\alpha}=1-2\sin^2 \alpha\\&&\\ \cos {2\alpha}=2\cos^2\alpha -1&&\sin {2\alpha}=2\sin \alpha \cos \alpha\\ \hline \end{array}\]

Задание 29
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите \(f(\sin \alpha)\), если \(f(r) = \sin(\sin(\sin r)) + \cos r^2\), \(\cos\alpha = 1\).

Добавить задание в избранное

Так как \(\cos\alpha = 1\), то из основного тригонометрического тождества следует, что \(\sin\alpha = 0\), таким образом, надо найти \(f(0)\). \[f(0) = \sin(\sin(\sin 0)) + \cos 0^2 = \sin(\sin 0) + \cos 0 = \sin 0 + 1 = 1.\]

Ответ: 1

Задание 30
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите \(g(\mathrm{arccos}\, \alpha)\), если \(g(r) = \cos r + 1\), \(\alpha = 0,5\).

Добавить задание в избранное

\[g(\mathrm{arccos}\, \alpha) = \cos (\mathrm{arccos}\, \alpha) + 1 = \alpha + 1,\] что при \(\alpha = 0,5\) равно \(0,5 + 1 = 1,5\).

Ответ: 1,5

Задание 31
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите \(f(g(2\alpha))\), если \(f(x) = (x - 1)^2 + \sin x\), \(g(y) = \sin y - \sin 3\cdot(\sin^2 y + \cos^2 3)\), \(\alpha = 1,5\).

Добавить задание в избранное

Найдём \(g(2\alpha)\), затем подставим результат в качестве аргумента функции \(f\): \[g(2\alpha) = g(3) = \sin 3 - \sin 3\cdot(\sin^2 3 + \cos^2 3) = \sin 3 - \sin 3\cdot 1 = 0.\] Теперь найдём \(f(g(2\alpha)) = f(0) = (0 - 1)^2 + \sin 0 = 1\).

Ответ: 1

Задание 32
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите \(h(x(\sin y))\), если \(x(t) = \mathrm{arcsin}\, t\), \(h(t) = \cos^2 t + 2\sin^2 t - \sqrt[3]{0,5}\cdot\sin^3 t\), \(y = \mathrm{arcsin}\, (\sqrt[3]2)\).

Добавить задание в избранное

\(h(t) = \cos^2 t + 2\sin^2 t - \sqrt[3]{0,5}\cdot\sin^3 t = 1 + \sin^2 t - \sqrt[3]{0,5}\cdot\sin^3 t\).

\(h(x(t)) = 1 + \sin^2 (\mathrm{arcsin}\, t) - \sqrt[3]{0,5}\cdot\sin^3 (\mathrm{arcsin}\, t) = 1 + t^2 - \sqrt[3]{0,5}\cdot t^3\).

\(\sin y = \sin (\mathrm{arcsin}\, (\sqrt[3]2)) = \sqrt[3]2\).

Таким образом, при данных в условии значениях получим \[h(x(\sin y)) = 1 + (\sqrt[3]2)^2 - \sqrt[3]{0,5}\cdot (\sqrt[3]2)^3 = 1 + \sqrt[3]4 - \sqrt[3]{0,5}\cdot 2 = 1 + \sqrt[3]4 - \sqrt[3]4 = 1.\]

Ответ: 1

Задание 33
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Преобразуйте выражение

\[\dfrac{\sin 3x+\sin 5x+\sin 7x}{\cos 3x+\cos 5x+\cos 7x}\]

и найдите его значение при \(x=\dfrac{\pi}5\).

Добавить задание в избранное

Применим формулу суммы синусов для \(\sin 3x+\sin 7x\) и формулу суммы косинусов для \(\cos 3x+\cos 7x\):

\[\dfrac{2\sin 5x\cos 2x+\sin 5x}{2\cos 5x\cos 2x+\cos5x}= \dfrac{\sin 5x(2\cos2x+1)}{\cos5x(2\cos 2x+1)}=\mathrm{tg}\,5x,\]

т.к. \(2\cos2x+1\ne 0\) при \(x=\dfrac{\pi}5\).

 

Таким образом, при \(x=\dfrac{\pi}5\) значение данного выражения равно \[\mathrm{tg}\,\left(5\cdot \dfrac{\pi}5\right)=\mathrm{tg}\,\pi=0.\]

Ответ: 0