Буквенные тригонометрические выражения (страница 5)

\[\begin{gathered} \frac{\cos^2\alpha - \mathrm{ctg^2}\,\alpha + 1}{\sin^2\alpha + \mathrm{tg^2}\,\alpha - 1} = \frac{\frac{\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} + \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}}{\frac{\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} - \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\frac{\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha - \cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}}{\frac{\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha - \cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}} =\\= \frac{\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha - \cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}\cdot\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha - \cos^2\alpha + \sin^2\alpha} =\\= \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \mathrm{ctg^2}\,\alpha = 7^2 = 49\end{gathered}\]

Ответ: 49

Так как \(\cos\alpha = 1\), то из основного тригонометрического тождества следует, что \(\sin\alpha = 0\), таким образом, надо найти \(f(0)\). \[f(0) = \sin(\sin(\sin 0)) + \cos 0^2 = \sin(\sin 0) + \cos 0 = \sin 0 + 1 = 1.\]

Ответ: 1

\[g(\mathrm{arccos}\, \alpha) = \cos (\mathrm{arccos}\, \alpha) + 1 = \alpha + 1,\] что при \(\alpha = 0,5\) равно \(0,5 + 1 = 1,5\).

Ответ: 1,5

Найдём \(g(2\alpha)\), затем подставим результат в качестве аргумента функции \(f\): \[g(2\alpha) = g(3) = \sin 3 - \sin 3\cdot(\sin^2 3 + \cos^2 3) = \sin 3 - \sin 3\cdot 1 = 0.\] Теперь найдём \(f(g(2\alpha)) = f(0) = (0 - 1)^2 + \sin 0 = 1\).

Ответ: 1

Применим формулу суммы синусов для \(\sin 3x+\sin 7x\) и формулу суммы косинусов для \(\cos 3x+\cos 7x\):

\[\dfrac{2\sin 5x\cos 2x+\sin 5x}{2\cos 5x\cos 2x+\cos5x}= \dfrac{\sin 5x(2\cos2x+1)}{\cos5x(2\cos 2x+1)}=\mathrm{tg}\,5x,\]

т.к. \(2\cos2x+1\ne 0\) при \(x=\dfrac{\pi}5\).

Таким образом, при \(x=\dfrac{\pi}5\) значение данного выражения равно \[\mathrm{tg}\,\left(5\cdot \dfrac{\pi}5\right)=\mathrm{tg}\,\pi=0.\]

Ответ: 0