Исследование уравнений/неравенств при всех значениях параметра (страница 2)

Рассмотрим два случая:

1) \(a=0\). Тогда уравнение примет вид:

\[\dfrac{-3x+6}{3x-6}=0 \Rightarrow \dfrac{3x-6}{3x-6}=0\]

Данное уравнение не имеет решений ни при каких значениях \(x\).

2) \(a\ne 0\). Тогда данное уравнение равносильно системе:

\[\begin{cases} ax^2-(2a+3)x+6=0\\ x_0\ne \dfrac{6-a}{3} \end{cases}\]

Дискриминант первого уравнения \(D=4a^2+12a+9-24a=(2a-3)^2\). Таким образом, \(D\geqslant 0\) при всех \(a\ne 0\), значит, уравнение всегда имеет два корня (может быть, совпадающих):

\[x_1=\dfrac3a; \quad x_2=2\]

Рассмотрим случаи (не забывая учесть, что \(a\ne 0\)):

2.1) \(x_1=x_2 \Rightarrow a=\dfrac32\). Тогда система равносильна:

\[\begin{cases} x=2\\ x_0\ne \dfrac32 \end{cases} \Rightarrow x=2\]

Таким образом, исходное уравнение при \(a=\dfrac32\) имеет один корень \(x=2\).

2.2) \(x_1\ne x_2 \Rightarrow a\in (-\infty;0)\cup(0;\frac32)\cup(\frac32;+\infty)\). В этом случае система равносильна:

\[\begin{cases} x_1=\dfrac3a \quad {\small{\text{или}}}\quad x_2=2\\[4pt] x_0\ne \dfrac{6-a}{3} \end{cases}\]

Данная система будет иметь один корень, если какой-то из \(x_1\) или \(x_2\) совпадет с \(x_0\), и два корня, если ни один из них не совпадет с \(x_0\).

2.2.1)Какой-то из \(x_1\) или \(x_2\) совпал с \(x_0\).

Решая уравнение \(x_1=x_0\), получим \(a=3\). Следовательно, при \(a=3\) уравнение имеет один корень \(x=2\).

Решая уравнение \(x_2=x_0\), получим \(a=0\). Но в нашем случае \(a\ne 0\), следовательно, \(x_2\ne x_0\).

2.2.2)Ни один из \(x_1\) или \(x_2\) не совпал с \(x_0\). Значит, при \(a\ne 3\) и \(a\in (-\infty;0)\cup(0;\frac32)\cup(\frac32;+\infty)\) система будет иметь два корня: \(x_1=\dfrac3a; x_2=2\).

Ответ:

\(a=0 \Rightarrow x\in\varnothing\\ a\in\{\frac32;3\} \Rightarrow x=2\\ a\in (-\infty;0)\cup(0;\frac32)\cup(\frac32;3)\cup(3;+\infty) \Rightarrow x\in\{\frac3a;2\}\)

Запишем ограничения для \(a\): \[\begin{cases} a>-2\\ a\ne -1\\ a\ne 0 \end{cases}\]

При этих условиях исходное уравнение равносильно системе: \[\begin{cases} \log_{a+2}(a^2x)=1\\ x>0\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a^2x=a+2\\ x>0\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\dfrac{a+2}{a^2}\\ x\ne 1 \end{cases}\]

Данная система будет иметь решение, если \(\dfrac{a+2}{a^2}\ne 1 \Rightarrow a\ne -1;2\).

В противном случае система не будет иметь решений.

Ответ:

\(a\in(-2;-1)\cup(-1;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty) \Rightarrow x=\dfrac{a+2}{a^2}\\ a\in (-\infty;-2]\cup\{-1;0;2\} \Rightarrow x\in\varnothing\)

Перепишем уравнение в виде \[\dfrac{ax-a+11}{ax+6}=0\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} ax=a-11\\ ax\ne -6\end{cases}\] 1) Если \(a=0\), то система равносильна \[\begin{cases} 0=-11\\0\ne -6\end{cases}\] Данная система не имеет решений.
2) Если \(a\ne 0\), то \[\begin{cases} x=\dfrac{a-11}a\\[1ex] x\ne -\dfrac6a\end{cases}\] В случае, если \(\dfrac{a-11}a=-\dfrac6a\), система иметь решений не будет. То есть при \(a=5\) уравнение не имеет решений.
Если \(a\ne 5\), то уравнение имеет решение \(x=\dfrac{a-11}a\).

Ответ:

при \(a=0;5\) решений нет, при \(a\ne 0, a\ne 5\) решением будет \(x=\dfrac{a-11}a\)

Уравнение можно переписать в виде \((2p-7)x=-p^2+2p+5\). Это уравнение линейного типа.

1) Если \(2p-7=0\), то уравнение примет вид \(0\cdot x=-0,25\). Решений у такого уравнения нет. Следовательно, это значение параметра нам не подходит, так как \(x\in \varnothing\) не удовлетворяет \(x\geqslant -3\).

2) Если \(2p-7\ne 0\), то корень уравнения \(x=\dfrac{-p^2+2p+5}{2p-7}\). Проверим, когда он удовлетворяет условию \(x\geqslant -3\): \[\dfrac{-p^2+2p+5}{2p-7}\geqslant -3\quad\Rightarrow\quad \dfrac{p^2-8p+16}{2p-7}\leqslant 0\] Решениями полученного неравенства будут \(p\in (-\infty;3,5)\cup\{4\}\). Заметим, что здесь уже учтено условие \(p\ne \frac72\).

Ответ:

\(p\in (-\infty;3,5)\cup\{4\}\)

Правую часть уравнения можно переписать в виде \((q+3)(q-2)\). Уравнение линейного типа. Рассмотрим два случая: \(\cos (\pi q)-1=0\) и \(\cos (\pi q)-1\ne 0\).

1) \(\cos (\pi q)-1=0\). Тогда \(\cos (\pi q)=1\), откуда \(\pi q=2\pi n, n\in\mathbb{Z}\). Следовательно, \(q=2n, n\in\mathbb{Z}\). Тогда уравнение примет вид \[0\cdot x=(2n+3)(2n-2)\] Данное уравнение либо имеет бесконечное множество решений (\(x\in \mathbb{R}\)), либо не имеет решений. В случае бесконечного множества решений правая часть уравнения равна 0, то есть \((2n+3)(2n-2)=0\). Существует ли такое целое \(n\), что выполняется данное равенство? Да, только при \(n=1\) выражение \((2n+3)(2n-2)\) равно нулю. При этих значениях \(n\) параметр \(q=2\).
Таким образом, при \(q=2\) решением уравнения будут \(x\in \mathbb{R}\).
В случае отсутствия решений правая часть не равна нулю. Очевидно, что это выполняется при всех \(n\ne 1\). Таким образом, при \(q=2n, n\in \mathbb{Z}\backslash \{1\}\) уравнение не имеет решений.

2) \(\cos (\pi q)-1\ne 0\), то есть \(q\ne2 n, n\in\mathbb{Z}\). Тогда уравнение линейное и можно выразить \(x\): \[x=\dfrac{(q+3)(q-2)}{\cos (\pi q)-1}\] Таким образом, при \(q\ne2 n, n\in\mathbb{Z}\) уравнение имеет единственное решение.

Ответ:

\(q=2 \ \Rightarrow \ x\in \mathbb{R}\);

\(q=0; -2; \pm 4; \pm 6; \pm 8; \dots \ \Rightarrow \ x\in \varnothing\);

\(q\in \mathbb{R}\backslash \{0; \pm2; \pm 4; \pm 6; \pm 8; \dots\} \ \Rightarrow \ x=\dfrac{(q+3)(q-2)}{\cos (\pi q)-1}\)

Данное неравенство линейного типа. Хотелось бы разделить обе части неравенства на \(a^2-a\), но мы не имеем права этого делать, пока не уверены в том, что \(a^2-a\ne 0\). К тому же при делении обеих частей неравенства на число мы обязаны учитывать знак числа, чтобы определить, менять знак неравенства или нет. Поэтому рассмотрим случаи:

1) \(a^2-a=0\), откуда \(a=0;1\). Если \(a=0\), то неравенство примет вид \(0\cdot x<3\). Это верно для любого \(x\).
Если \(a=1\), то неравенство примет вид \(0\cdot x<0\). Это не верно ни для какого \(x\).

2) \(a^2-a>0\), откуда \(a\in (-\infty;0)\cup(1;+\infty)\). Тогда можно разделить обе части неравенства на \(a^2-a\), причем знак неравенства менять не нужно. Получим: \[x<\dfrac{-3(a-1)}{a(a-1)}\quad\Rightarrow\quad x<-\dfrac3a\]

3) \(a^2-a<0\), откуда \(a\in (0;1)\). Тогда можно разделить обе части неравенства на \(a^2-a\), но знак неравенства менять нужно. Получим: \[x>-\dfrac3a\]

Ответ:

\(a=0 \ \Rightarrow \ x\in \mathbb{R}\);

\(a=1 \ \Rightarrow \ x\in\varnothing\);

\(a\in (0;1) \ \Rightarrow \ x\in \left(-\frac3a;+\infty\right)\);

\(a\in (-\infty;0)\cup(1;+\infty) \ \Rightarrow \ x\in \left(-\infty; -\frac3a\right)\)

Заметим, что оба уравнения линейного типа. Их можно переписать в виде:
\((a+3)(a-2)x=(a-2)(2a+1)\);
\((3a+5)(a-2)x=(a-2)(3a+2)\).

Рассмотрим по отдельности случаи, когда коэффициент при \(x\) равен нулю и когда он не равен нулю:

1) \(a=2\). Тогда оба уравнения примут вид \(0=0\), и решениями каждого будут \(x\in \mathbb{R}\). Следовательно, множества их решений совпадают.

2) \(a=-3\). Тогда первое уравнение не имеет решений, так как левая часть равна нулю, а правая – нет; второе уравнение имеет корень. Следовательно, их множества решений не совпадают.

3) \(a=-\frac53\). Аналогично пункту 2.

4) \(a\ne -3; -\frac53; 2\).
Тогда корень первого уравнения \(x=\frac{2a+1}{a+3}\); корень второго \(x=\frac{3a+2}{3a+5}\). Чтобы множества решений уравнений совпали, нужно, чтобы совпали данные корни: \[\dfrac{2a+1}{a+3}=\dfrac{3a+2}{3a+5} \quad\Rightarrow\quad a=-1; \dfrac13\] Оба найденных числа удовлетворяют условию \(a\ne -3; -\frac53; 2\).

Ответ:

\(a=-1; \frac13; 2\)