Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

18. Задачи с параметром

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Исследование уравнений/неравенств при всех значениях параметра (страница 2)

Параметр \(a\) – это число, которое может принимать любые значения из \(\mathbb{R}\).

 

Исследовать уравнение/неравенство при всех значениях параметра – это значит указать, при каких значениях параметра какое именно решение имеет данное уравнение/неравенство.

 

Примеры:

 

1) уравнение \(ax=2\) при всех \(a\ne 0\) имеет единственное решение \(x=\dfrac 2a\), а при \(a=0\) не имеет решений (т.к. тогда уравнение принимает вид \(0=2\)).

 

2) уравнение \(ax=0\) при всех \(a\ne 0\) имеет единственное решение \(x=0\), а при \(a=0\) имеет бесконечно много решений, т.е. \(x\in \mathbb{R}\) (т.к. тогда уравнение принимает вид \(0=0\)).

 

Заметим, что

 

I) обе части уравнения нельзя делить на выражение, содержащее параметр (\(f(a)\)), если это выражение может быть равно нулю. Но можно рассмотреть два случая:
первый, когда \(f(a)\ne0\), и в этом случае можно разделить обе части равенства на \(f(a)\);
второй случай, когда \(f(a)=0\), и этом случае мы можем по отдельности проверить каждое значение \(a\) (см. пример 1, 2).

II) обе части неравенства нельзя делить на выражение, содержащее параметр, если неизвестен знак этого выражения. Но можно рассмотреть три случая:
первый, когда \(f(a)>0\), и в этом случае можно делить обе части неравенства на \(f(a)\);
второй, когда \(f(a)<0\), и в этом случае при делении обеих частей неравенства на \(f(a)\) мы обязаны поменять знак неравенства на противоположный;
третий, когда \(f(a)=0\), и в этом случае мы можем по отдельности проверить каждое значение \(a\).

 

Пример:

 

3) неравенство \(ax>3\) при \(a>0\) имеет решение \(x>\dfrac3a\), при \(a<0\) имеет решение \(x<\dfrac3a\), а при \(a=0\) не имеет решений, т.к. принимает вид \(0>3\).

Задание 8 #2724
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найти все решения уравнения \[\dfrac{ax^2-(2a+3)x+6}{a+3x-6}=0\]

при всех значениях параметра \(a\).

Рассмотрим два случая:

 

1) \(a=0\). Тогда уравнение примет вид:

\[\dfrac{-3x+6}{3x-6}=0 \Rightarrow \dfrac{3x-6}{3x-6}=0\]

Данное уравнение не имеет решений ни при каких значениях \(x\).

 

2) \(a\ne 0\). Тогда данное уравнение равносильно системе:

\[\begin{cases} ax^2-(2a+3)x+6=0\\ x_0\ne \dfrac{6-a}{3} \end{cases}\]

Дискриминант первого уравнения \(D=4a^2+12a+9-24a=(2a-3)^2\). Таким образом, \(D\geqslant 0\) при всех \(a\ne 0\), значит, уравнение всегда имеет два корня (может быть, совпадающих):

\[x_1=\dfrac3a; \quad x_2=2\]

Рассмотрим случаи (не забывая учесть, что \(a\ne 0\)):

 

2.1) \(x_1=x_2 \Rightarrow a=\dfrac32\). Тогда система равносильна:

\[\begin{cases} x=2\\ x_0\ne \dfrac32 \end{cases} \Rightarrow x=2\]

Таким образом, исходное уравнение при \(a=\dfrac32\) имеет один корень \(x=2\).

 

2.2) \(x_1\ne x_2 \Rightarrow a\in (-\infty;0)\cup(0;\frac32)\cup(\frac32;+\infty)\). В этом случае система равносильна:

\[\begin{cases} x_1=\dfrac3a \quad {\small{\text{или}}}\quad x_2=2\\[4pt] x_0\ne \dfrac{6-a}{3} \end{cases}\]

Данная система будет иметь один корень, если какой-то из \(x_1\) или \(x_2\) совпадет с \(x_0\), и два корня, если ни один из них не совпадет с \(x_0\).

 

2.2.1)Какой-то из \(x_1\) или \(x_2\) совпал с \(x_0\).

 

Решая уравнение \(x_1=x_0\), получим \(a=3\). Следовательно, при \(a=3\) уравнение имеет один корень \(x=2\).

 

Решая уравнение \(x_2=x_0\), получим \(a=0\). Но в нашем случае \(a\ne 0\), следовательно, \(x_2\ne x_0\).

 

2.2.2)Ни один из \(x_1\) или \(x_2\) не совпал с \(x_0\). Значит, при \(a\ne 3\) и \(a\in (-\infty;0)\cup(0;\frac32)\cup(\frac32;+\infty)\) система будет иметь два корня: \(x_1=\dfrac3a; x_2=2\).

Ответ:

\(a=0 \Rightarrow x\in\varnothing\\ a\in\{\frac32;3\} \Rightarrow x=2\\ a\in (-\infty;0)\cup(0;\frac32)\cup(\frac32;3)\cup(3;+\infty) \Rightarrow x\in\{\frac3a;2\}\)

Задание 9 #1365
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решить уравнение \(\log_{a+2}(a^2x)=\log_xx\) при всех значениях параметра \(a\).

Запишем ограничения для \(a\): \[\begin{cases} a>-2\\ a\ne -1\\ a\ne 0 \end{cases}\]

При этих условиях исходное уравнение равносильно системе: \[\begin{cases} \log_{a+2}(a^2x)=1\\ x>0\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a^2x=a+2\\ x>0\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\dfrac{a+2}{a^2}\\ x\ne 1 \end{cases}\]

Данная система будет иметь решение, если \(\dfrac{a+2}{a^2}\ne 1 \Rightarrow a\ne -1;2\).

В противном случае система не будет иметь решений.

Ответ:

\(a\in(-2;-1)\cup(-1;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty) \Rightarrow x=\dfrac{a+2}{a^2}\\ a\in (-\infty;-2]\cup\{-1;0;2\} \Rightarrow x\in\varnothing\)

Задание 10 #3902
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение \[\dfrac{a-5}{ax+6}=1\]

при всех значениях параметра \(a\).

Перепишем уравнение в виде \[\dfrac{ax-a+11}{ax+6}=0\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} ax=a-11\\ ax\ne -6\end{cases}\] 1) Если \(a=0\), то система равносильна \[\begin{cases} 0=-11\\0\ne -6\end{cases}\] Данная система не имеет решений.
2) Если \(a\ne 0\), то \[\begin{cases} x=\dfrac{a-11}a\\[1ex] x\ne -\dfrac6a\end{cases}\] В случае, если \(\dfrac{a-11}a=-\dfrac6a\), система иметь решений не будет. То есть при \(a=5\) уравнение не имеет решений.
Если \(a\ne 5\), то уравнение имеет решение \(x=\dfrac{a-11}a\).

Ответ:

при \(a=0;5\) решений нет, при \(a\ne 0, a\ne 5\) решением будет \(x=\dfrac{a-11}a\)

Задание 11 #6923
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(p\), при которых все решения уравнения \(p(p+2x)=7x+2p+5\) удовлетворяют неравенству \(x\geqslant -3\).

Уравнение можно переписать в виде \((2p-7)x=-p^2+2p+5\). Это уравнение линейного типа.

1) Если \(2p-7=0\), то уравнение примет вид \(0\cdot x=-0,25\). Решений у такого уравнения нет. Следовательно, это значение параметра нам не подходит, так как \(x\in \varnothing\) не удовлетворяет \(x\geqslant -3\).

2) Если \(2p-7\ne 0\), то корень уравнения \(x=\dfrac{-p^2+2p+5}{2p-7}\). Проверим, когда он удовлетворяет условию \(x\geqslant -3\): \[\dfrac{-p^2+2p+5}{2p-7}\geqslant -3\quad\Rightarrow\quad \dfrac{p^2-8p+16}{2p-7}\leqslant 0\] Решениями полученного неравенства будут \(p\in (-\infty;3,5)\cup\{4\}\). Заметим, что здесь уже учтено условие \(p\ne \frac72\).

Ответ:

\(p\in (-\infty;3,5)\cup\{4\}\)

Задание 12 #5932
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение при всех значениях параметра \(q\): \[(\cos (\pi q)-1)\cdot x=q^2+q-6\]

Правую часть уравнения можно переписать в виде \((q+3)(q-2)\). Уравнение линейного типа. Рассмотрим два случая: \(\cos (\pi q)-1=0\) и \(\cos (\pi q)-1\ne 0\).

 

1) \(\cos (\pi q)-1=0\). Тогда \(\cos (\pi q)=1\), откуда \(\pi q=2\pi n, n\in\mathbb{Z}\). Следовательно, \(q=2n, n\in\mathbb{Z}\). Тогда уравнение примет вид \[0\cdot x=(2n+3)(2n-2)\] Данное уравнение либо имеет бесконечное множество решений (\(x\in \mathbb{R}\)), либо не имеет решений. В случае бесконечного множества решений правая часть уравнения равна 0, то есть \((2n+3)(2n-2)=0\). Существует ли такое целое \(n\), что выполняется данное равенство? Да, только при \(n=1\) выражение \((2n+3)(2n-2)\) равно нулю. При этих значениях \(n\) параметр \(q=2\).
Таким образом, при \(q=2\) решением уравнения будут \(x\in \mathbb{R}\).
В случае отсутствия решений правая часть не равна нулю. Очевидно, что это выполняется при всех \(n\ne 1\). Таким образом, при \(q=2n, n\in \mathbb{Z}\backslash \{1\}\) уравнение не имеет решений.

 

2) \(\cos (\pi q)-1\ne 0\), то есть \(q\ne2 n, n\in\mathbb{Z}\). Тогда уравнение линейное и можно выразить \(x\): \[x=\dfrac{(q+3)(q-2)}{\cos (\pi q)-1}\] Таким образом, при \(q\ne2 n, n\in\mathbb{Z}\) уравнение имеет единственное решение.

Ответ:

\(q=2 \ \Rightarrow \ x\in \mathbb{R}\);

 

\(q=0; -2; \pm 4; \pm 6; \pm 8; \dots \ \Rightarrow \ x\in \varnothing\);

 

\(q\in \mathbb{R}\backslash \{0; \pm2; \pm 4; \pm 6; \pm 8; \dots\} \ \Rightarrow \ x=\dfrac{(q+3)(q-2)}{\cos (\pi q)-1}\)

 

Задание 13 #5935
Уровень задания: Легче ЕГЭ

При всех значениях параметра \(a\) решите неравенство \((a^2-a)x<3-3a\).

Данное неравенство линейного типа. Хотелось бы разделить обе части неравенства на \(a^2-a\), но мы не имеем права этого делать, пока не уверены в том, что \(a^2-a\ne 0\). К тому же при делении обеих частей неравенства на число мы обязаны учитывать знак числа, чтобы определить, менять знак неравенства или нет. Поэтому рассмотрим случаи:

 

1) \(a^2-a=0\), откуда \(a=0;1\). Если \(a=0\), то неравенство примет вид \(0\cdot x<3\). Это верно для любого \(x\).
Если \(a=1\), то неравенство примет вид \(0\cdot x<0\). Это не верно ни для какого \(x\).

 

2) \(a^2-a>0\), откуда \(a\in (-\infty;0)\cup(1;+\infty)\). Тогда можно разделить обе части неравенства на \(a^2-a\), причем знак неравенства менять не нужно. Получим: \[x<\dfrac{-3(a-1)}{a(a-1)}\quad\Rightarrow\quad x<-\dfrac3a\]

3) \(a^2-a<0\), откуда \(a\in (0;1)\). Тогда можно разделить обе части неравенства на \(a^2-a\), но знак неравенства менять нужно. Получим: \[x>-\dfrac3a\]

Ответ:

\(a=0 \ \Rightarrow \ x\in \mathbb{R}\);

\(a=1 \ \Rightarrow \ x\in\varnothing\);

\(a\in (0;1) \ \Rightarrow \ x\in \left(-\frac3a;+\infty\right)\);

\(a\in (-\infty;0)\cup(1;+\infty) \ \Rightarrow \ x\in \left(-\infty; -\frac3a\right)\)

Задание 14 #5937
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите все \(a\), при которых совпадают множества решений уравнений \((a^2+a-6)x=2a^2-3a-2\) и \((3a^2-a-10)x=3a^2-4a-4\).

Заметим, что оба уравнения линейного типа. Их можно переписать в виде:
\((a+3)(a-2)x=(a-2)(2a+1)\);
\((3a+5)(a-2)x=(a-2)(3a+2)\).

 

Рассмотрим по отдельности случаи, когда коэффициент при \(x\) равен нулю и когда он не равен нулю:

 

1) \(a=2\). Тогда оба уравнения примут вид \(0=0\), и решениями каждого будут \(x\in \mathbb{R}\). Следовательно, множества их решений совпадают.

 

2) \(a=-3\). Тогда первое уравнение не имеет решений, так как левая часть равна нулю, а правая – нет; второе уравнение имеет корень. Следовательно, их множества решений не совпадают.

 

3) \(a=-\frac53\). Аналогично пункту 2.

 

4) \(a\ne -3; -\frac53; 2\).
Тогда корень первого уравнения \(x=\frac{2a+1}{a+3}\); корень второго \(x=\frac{3a+2}{3a+5}\). Чтобы множества решений уравнений совпали, нужно, чтобы совпали данные корни: \[\dfrac{2a+1}{a+3}=\dfrac{3a+2}{3a+5} \quad\Rightarrow\quad a=-1; \dfrac13\] Оба найденных числа удовлетворяют условию \(a\ne -3; -\frac53; 2\).

Ответ:

\(a=-1; \frac13; 2\)