Математика
Русский язык

18. Задачи с параметром

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Исследование уравнений/неравенств при всех значениях параметра (страница 2)

Параметр \(a\) – это число, которое может принимать любые значения из \(\mathbb{R}\).

 

Исследовать уравнение/неравенство при всех значениях параметра – это значит указать, при каких значениях параметра какое именно решение имеет данное уравнение/неравенство.

 

Примеры:

 

1) уравнение \(ax=2\) при всех \(a\ne 0\) имеет единственное решение \(x=\dfrac 2a\), а при \(a=0\) не имеет решений (т.к. тогда уравнение принимает вид \(0=2\)).

 

2) уравнение \(ax=0\) при всех \(a\ne 0\) имеет единственное решение \(x=0\), а при \(a=0\) имеет бесконечно много решений, т.е. \(x\in \mathbb{R}\) (т.к. тогда уравнение принимает вид \(0=0\)).

 

Заметим, что

 

I) обе части уравнения нельзя делить на выражение, содержащее параметр (\(f(a)\)), если это выражение может быть равно нулю. Но можно рассмотреть два случая:
первый, когда \(f(a)\ne0\), и в этом случае можно разделить обе части равенства на \(f(a)\);
второй случай, когда \(f(a)=0\), и этом случае мы можем по отдельности проверить каждое значение \(a\) (см. пример 1, 2).

II) обе части неравенства нельзя делить на выражение, содержащее параметр, если неизвестен знак этого выражения. Но можно рассмотреть три случая:
первый, когда \(f(a)>0\), и в этом случае можно делить обе части неравенства на \(f(a)\);
второй, когда \(f(a)<0\), и в этом случае при делении обеих частей неравенства на \(f(a)\) мы обязаны поменять знак неравенства на противоположный;
третий, когда \(f(a)=0\), и в этом случае мы можем по отдельности проверить каждое значение \(a\).

 

Пример:

 

3) неравенство \(ax>3\) при \(a>0\) имеет решение \(x>\dfrac3a\), при \(a<0\) имеет решение \(x<\dfrac3a\), а при \(a=0\) не имеет решений, т.к. принимает вид \(0>3\).

Задание 8
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найти все решения уравнения \[\dfrac{ax^2-(2a+3)x+6}{a+3x-6}=0\]

при всех значениях параметра \(a\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим два случая:

 

1) \(a=0\). Тогда уравнение примет вид:

\[\dfrac{-3x+6}{3x-6}=0 \Rightarrow \dfrac{3x-6}{3x-6}=0\]

Данное уравнение не имеет решений ни при каких значениях \(x\).

 

2) \(a\ne 0\). Тогда данное уравнение равносильно системе:

\[\begin{cases} ax^2-(2a+3)x+6=0\\ x_0\ne \dfrac{6-a}{3} \end{cases}\]

Дискриминант первого уравнения \(D=4a^2+12a+9-24a=(2a-3)^2\). Таким образом, \(D\geqslant 0\) при всех \(a\ne 0\), значит, уравнение всегда имеет два корня (может быть, совпадающих):

\[x_1=\dfrac3a; \quad x_2=2\]

Рассмотрим случаи (не забывая учесть, что \(a\ne 0\)):

 

2.1) \(x_1=x_2 \Rightarrow a=\dfrac32\). Тогда система равносильна:

\[\begin{cases} x=2\\ x_0\ne \dfrac32 \end{cases} \Rightarrow x=2\]

Таким образом, исходное уравнение при \(a=\dfrac32\) имеет один корень \(x=2\).

 

2.2) \(x_1\ne x_2 \Rightarrow a\in (-\infty;0)\cup(0;\frac32)\cup(\frac32;+\infty)\). В этом случае система равносильна:

\[\begin{cases} x_1=\dfrac3a \quad {\small{\text{или}}}\quad x_2=2\\[4pt] x_0\ne \dfrac{6-a}{3} \end{cases}\]

Данная система будет иметь один корень, если какой-то из \(x_1\) или \(x_2\) совпадет с \(x_0\), и два корня, если ни один из них не совпадет с \(x_0\).

 

2.2.1)Какой-то из \(x_1\) или \(x_2\) совпал с \(x_0\).

 

Решая уравнение \(x_1=x_0\), получим \(a=3\). Следовательно, при \(a=3\) уравнение имеет один корень \(x=2\).

 

Решая уравнение \(x_2=x_0\), получим \(a=0\). Но в нашем случае \(a\ne 0\), следовательно, \(x_2\ne x_0\).

 

2.2.2)Ни один из \(x_1\) или \(x_2\) не совпал с \(x_0\). Значит, при \(a\ne 3\) и \(a\in (-\infty;0)\cup(0;\frac32)\cup(\frac32;+\infty)\) система будет иметь два корня: \(x_1=\dfrac3a; x_2=2\).

Ответ:

\(a=0 \Rightarrow x\in\varnothing\\ a\in\{\frac32;3\} \Rightarrow x=2\\ a\in (-\infty;0)\cup(0;\frac32)\cup(\frac32;3)\cup(3;+\infty) \Rightarrow x\in\{\frac3a;2\}\)

Задание 9
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решить уравнение \(\log_{a+2}(a^2x)=\log_xx\) при всех значениях параметра \(a\).

Добавить задание в избранное

Запишем ограничения для \(a\): \[\begin{cases} a>-2\\ a\ne -1\\ a\ne 0 \end{cases}\]

При этих условиях исходное уравнение равносильно системе: \[\begin{cases} \log_{a+2}(a^2x)=1\\ x>0\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a^2x=a+2\\ x>0\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\dfrac{a+2}{a^2}\\ x\ne 1 \end{cases}\]

Данная система будет иметь решение, если \(\dfrac{a+2}{a^2}\ne 1 \Rightarrow a\ne -1;2\).

В противном случае система не будет иметь решений.

Ответ:

\(a\in(-2;-1)\cup(-1;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty) \Rightarrow x=\dfrac{a+2}{a^2}\\ a\in (-\infty;-2]\cup\{-1;0;2\} \Rightarrow x\in\varnothing\)

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найти, при каких значениях параметра \(a\) уравнение \[\sqrt{x-a}\cdot (a(x^2+1)+a^2x+x)=0\]

имеет единственное решение.

Добавить задание в избранное

Разложим выражение в скобках на множители: \(ax^2+a^2x+a+x=ax(a+x)+(a+x)=(a+x)(ax+1)\).

Тогда исходное уравнение равносильно системе: \[\begin{cases} x\geqslant a\\ \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x+a=0 \\ &ax+1=0 \qquad (*)\\ &x-a=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \end{cases}\]

1) \(a=0 \Rightarrow \) уравнение \((*)\) не имеет решений, а вся система имеет одно решение \(x=0\).

 

2) \(a\ne 0\). Тогда система равносильна: \[\begin{cases} x\geqslant a\\ \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x_1=-a \\ &x_2=-\dfrac1a \\ &x_3=a \end{aligned} \end{gathered} \right. \end{cases}\]

Данная система всегда имеет как минимум одно решение \(x_3=a\). Значит, для того, чтобы она имела ровно одно решение, необходимо, чтобы корни \(x_1\) и \(x_2\) не удовлетворяли \(x\geqslant a\) или совпадали с \(x_3\):

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} -a<a\\-\dfrac1a<a \end{cases}\\ &-a=a=-\dfrac1a \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} a>0\\a>0 \end{cases}\\ &a\in\varnothing \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow a>0\]

Ответ:

\(a\in[0;+\infty)\)

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решить уравнение \[\sqrt[3]{(a+x)^2}+4\sqrt[3]{(a-x)^2}=5\sqrt[3]{a^2-x^2}\]

Добавить задание в избранное

Рассмотрим два случая:

 

1) \(a=0\). Тогда уравнение принимает вид

\[\sqrt[3]{x^2}+4\sqrt[3]{x^2}=5\sqrt[3]{-x^2} \quad \Rightarrow \quad 10\sqrt[3]{x^2}=0 \quad \Rightarrow \quad x=0\]

2) \(a\ne 0\). Заметим, что \(x=a\) не является корнем уравнения, поэтому разделим правую и левую части уравнения на \(\sqrt[3]{(a-x)^2}\):

\[\sqrt[3]{\left(\dfrac{a+x}{a-x}\right)^2}+ 4\sqrt[3]{\left(\dfrac{a-x}{a-x}\right)^2}- 5\sqrt[3]{\dfrac{a^2-x^2}{(a-x)^2}}=0 \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt[3]{\left(\dfrac{a+x}{a-x}\right)^2}- 5\sqrt[3]{\dfrac{a+x}{a-x}}+ 4=0\]

Полученное уравнение с помощью замены \(\sqrt[3]{\dfrac{a+x}{a-x}}=t\) сводится к квадратному уравнению \(t^2-5t+4=0\), корнями которого являются \(t=1\) и \(t=4\). Сделаем обратную замену:

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\sqrt[3]{\dfrac{a+x}{a-x}}=1\\[4pt] &\sqrt[3]{\dfrac{a+x}{a-x}}=4 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\dfrac{a+x}{a-x}=1\\[4pt] &\dfrac{a+x}{a-x}=64 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=0\\[4pt] &x=\dfrac{63}{65}a \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Ответ:

\(a\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty) \ \Rightarrow x\in\{0;\frac{63}{65}a\}\)

\(a\in\{0\} \ \Rightarrow x\in\{0\}\)

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых решением неравенства \[\log_{x^2-3x+2}(a^2x(x-1))>1\]

является луч (может быть, открытый).

Добавить задание в избранное

Данное неравенство равносильно:

\(\log_{x^2-3x+2}(a^2x(x-1))>\log_{x^2-3x+2}(x^2-3x+2) \Rightarrow\quad \) по методу рационализации:  

\[\begin{cases} x^2-3x+2>0\\ x^2-3x+2\ne 1\\ a^2x(x-1)>0\\ (x^2-3x+2-1)(a^2x(x-1)-x^2+3x-2)>0 \end{cases} \Rightarrow\]  

\[\begin{cases} x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty)\\ x\ne \dfrac{3\pm \sqrt5}2\\ x\in (-\infty;0)\cup(1;+\infty)\\ a\ne 0\\ (x^2-3x+1)((a^2-1)x^2-(a^2-3)x-2)>0 \end{cases} \Rightarrow\]  

\[\begin{cases} x\in (-\infty;0)\cup(2;\frac{3+\sqrt5}2)\cup(\frac{3+\sqrt5}2;+\infty)\\ a\ne 0\\ (x^2-3x+1)((a^2-1)x^2-(a^2-3)x-2)>0 \qquad (*)\end{cases}\]

Назовем \(x\in (-\infty;0)\cup(2;\frac{3+\sqrt5}2)\cup(\frac{3+\sqrt5}2;+\infty)\) — ОДЗ. Рассмотрим последнее неравенство \((*)\).

 

1) При \(a^2-1=0\) вторая скобка становится линейной и неравенство принимает вид: \[(x^2-3x+1)(x-1)>0 \Rightarrow x\in \left(\dfrac{3-\sqrt5}2;1\right)\cup \left(\dfrac{3+\sqrt5}2;+\infty\right)\].

Пересекая данное решение с ОДЗ, получим ответ \(x\in \left(\dfrac{3+\sqrt5}2;+\infty\right)\), то есть открытый луч.

 

Значит, значения \(a=-1;1\) нам подходят.

 

2) Пусть \(a^2-1\ne 0 \), а также \(a\ne 0\) (условие из системы).

 

Найдем корни уравнения \((a^2-1)x^2-(a^2-3)x-2=0\). \(D=(a^2+1)^2>0\) при любых \(a\).

 

Следовательно, уравнение всегда имеет два различных корня \(x_1=1; \ x_2=\dfrac2{1-a^2}\).

 

Тогда выражение можно преобразовать:

 

\((a^2-1)x^2-(a^2-3)x-2=(a^2-1)(x-\dfrac2{1-a^2})(x-1)=((a^2-1)x+2)(x-1)\).

 

Для того, чтобы решить неравенство \((x^2-3x+1)((a^2-1)x+2)(x-1)>0\), необходимо рассмотреть два случая: когда \(a^2-1>0\) и \(a^2-1<0\) (от этого зависит первый знак в методе интервалов).

 

2.1) \(a^2-1>0\). Тогда \(x_2<0\), следовательно, метод интервалов для данного неравенства выглядит так:


 

Пересекая данное решение с ОДЗ, получим объединение двух открытых лучей: \(x\in (-\infty;x_2)\cup \left(\frac{3+\sqrt5}2;+\infty\right)\), что нам не подходит.

 

2.2) \(a^2-1<0\). Тогда \(x_2>0\). Оценим точнее корень \(x_2\):

 

\(a^2>0 \Rightarrow -a^2<0 \Rightarrow 1-a^2<1\), но в нашем случае также \(a^2-1<0\Rightarrow 1-a^2>0\).

 

Таким образом, \(0<1-a^2<1 \Rightarrow \dfrac2{1-a^2}>2\).

 

Таким образом, корень \(x_2\) может располагаться:

 

а) между \(1\) и \(\dfrac{3+\sqrt5}2\);

 

б) совпадать с \(\dfrac{3+\sqrt5}2\);

 

в) быть больше \(\dfrac{3+\sqrt5}2\).

 

Посмотрим, как будет выглядеть метод интервалов в этих случаях:


 

Таким образом, в каждом из случаев а, б, в решение будет выглядеть как интервал или объединение двух интервалов, что после пересечения с ОДЗ не будет лучом. Следовательно, эти случаи нам не подходят.

Ответ:

\(a=\pm 1\)

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

При всех допустимых значениях параметра \(a\) решите неравенство \[\log_{\frac{a}{a+1}}{(x^2-ax)}\leqslant \log_{\frac{a}{a+1}}{(ax-a^2+1)}\]

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Рассмотрим два случая допустимых значений параметра:

 

1) \(\dfrac a{a+1}>1\quad\Leftrightarrow\quad a<-1\).

 

В этом случае неравенство равносильно системе:

\[\begin{cases} x^2-ax>0\\ x^2-ax\leqslant ax-a^2+1 \end{cases} \quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} x(x-a)>0\\ a-1\leqslant x\leqslant a+1 \end{cases}\]

Т.к. \(a<-1\), то решение на вещественной прямой будет выглядеть так:


 

Таким образом, при \(a<-1\) решение \(x\in [a-1;a)\).

 

2) \(0<\dfrac a{a+1}<1\quad\Leftrightarrow\quad a>0\).

 

В этом случае неравенство равносильно системе:

\[\begin{cases} ax-a^2+1>0\\ x^2-ax\geqslant ax-a^2+1\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x>\dfrac{a^2-1}a\quad \text{т.к. }a>0\\[2ex] \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\geqslant a+1\\ &x\leqslant a-1\end{aligned}\end{gathered}\right.\end{cases}\]

Т.к. положение точки \(\frac{a^2-1}a\) относительно точек \(a-1\) и \(a+1\) не фиксировано, то рассмотрим случаи:

a) \(\frac{a^2-1}a<a-1\quad\Rightarrow\quad 0<a<1\).

 

Тогда решение системы на вещественной прямой будет выглядеть так:


 

Значит, в данном случае ответом будут \(x\in \left(\frac{a^2-1}a;a-1\right]\cup[a+1;+\infty)\).

 

b) \(\frac{a^2-1}a=a-1\quad\Rightarrow\quad a=1\).

 

Тогда решение системы на вещественной прямой будет выглядеть так:


 

Значит, в данном случае ответом будут \(x\in [a+1;+\infty)\).

 

c) \(a-1<\frac{a^2-1}a<a+1\quad\Rightarrow\quad a>1\).

 

Тогда решение системы на вещественной прямой будет выглядеть так:


 

Значит, в данном случае ответом будут \(x\in [a+1;+\infty)\).

 

d) \(\frac{a^2-1}a\geqslant a+1\quad\Rightarrow\quad a\in \varnothing\), т.к. \(a>0\).

Ответ:

при \(a\in (-\infty;-1) \quad x\in [a-1;a)\)

 

при \(a\in (0;1)\quad x\in \left(\frac{a^2-1}a;a-1\right]\cup[a+1;+\infty)\)

 

при \(a\in [1;+\infty)\quad x\in [a+1;+\infty)\)