18. Задачи с параметром
Параметр \(a\) – это число, которое может принимать любые значения из \(\mathbb{R}\).
Исследовать уравнение/неравенство при всех значениях параметра – это значит указать, при каких значениях параметра какое именно решение имеет данное уравнение/неравенство.
Примеры:
1) уравнение \(ax=2\) при всех \(a\ne 0\) имеет единственное решение \(x=\dfrac 2a\), а при \(a=0\) не имеет решений (т.к. тогда уравнение принимает вид \(0=2\)).
2) уравнение \(ax=0\) при всех \(a\ne 0\) имеет единственное решение \(x=0\), а при \(a=0\) имеет бесконечно много решений, т.е. \(x\in
\mathbb{R}\) (т.к. тогда уравнение принимает вид \(0=0\)).
Заметим, что
I) обе части уравнения нельзя делить на выражение, содержащее параметр (\(f(a)\)), если это выражение может быть равно нулю. Но можно рассмотреть два случая:
первый, когда \(f(a)\ne0\), и в этом случае можно разделить обе части равенства на \(f(a)\);
второй случай, когда \(f(a)=0\), и этом случае мы можем по отдельности проверить каждое значение \(a\) (см. пример 1, 2).
II) обе части неравенства нельзя делить на выражение, содержащее параметр, если неизвестен знак этого выражения. Но можно рассмотреть три случая:
первый, когда \(f(a)>0\), и в этом случае можно делить обе части неравенства на \(f(a)\);
второй, когда \(f(a)<0\), и в этом случае при делении обеих частей неравенства на \(f(a)\) мы обязаны поменять знак неравенства на противоположный;
третий, когда \(f(a)=0\), и в этом случае мы можем по отдельности проверить каждое значение \(a\).
Пример:
3) неравенство \(ax>3\) при \(a>0\) имеет решение \(x>\dfrac3a\), при \(a<0\) имеет решение \(x<\dfrac3a\), а при \(a=0\) не имеет решений, т.к. принимает вид \(0>3\).
При каких \(a\) все решения неравенства \(x-4+2a<0\) являются решениями неравенства \(2x+3-a<0\)?
Из условия следует, что множество решений первого неравенства должно содержаться во множестве решений второго неравенства. Решим оба неравенства: \(x<4-2a\) и \(x<\frac{a-3}2\). Чтобы луч \((-\infty; 4-2a)\) содержался в луче \(\left(-\infty; \frac{a-3}2\right)\), нужно, чтобы \[4-2a\leqslant \dfrac{a-3}2\quad\Rightarrow\quad a\geqslant \dfrac{11}5\]
Ответ:
\(a\geqslant \frac{11}5\)
При каких \(a\) множества решений уравнения \((2a^2-a-1)x=5a-5\) и неравенства \((6a^2+a-1)x\geqslant 3a+2\) совпадают?
Мы имеем уравнение и неравенство линейного типа.
Для данного уравнения при \(2a^2-a-1=0\) решениями будут либо \(x\in \varnothing\), либо \(x\in\mathbb{R}\) (нужно проверить), при \(2a^2-a-1\ne 0\) решением будет одна точка (а именно, \(x=\frac{5a-5}{2a^2-a-1}\)).
Для данного неравенства при \(6a^2+a-1=0\) решениями будут либо \(x\in \varnothing\), либо \(x\in\mathbb{R}\) (нужно проверить), при \(6a^2+a-1\ne 0\) решением будет некоторый луч (либо от \(-\infty\) до числа, либо от числа до \(+\infty\)).
Итак, мы разобрали типы ответов, которые мы можем получить, решая уравнение и неравенство. Таким образом, единственная ситуация, когда решение уравнения и решение неравенства могут совпасть, это если решениями будут \(x\in \varnothing\) либо \(x\in\mathbb{R}\), то есть как минимум при \(2a^2-a-1=0\) и \(6a^2+a-1=0\).
Решением уравнения \(2a^2-a-1=0\) будут \(a=-0,5; 1\), решением уравнения \(6a^2+a-1=0\) будут \(a=-0,5; \frac13\). Следовательно, одновременное выполнение этих двух условий возможно при \(a=-0,5\).
При \(a=-0,5\) уравнение примет вид \(0\cdot x=-7,5\) (решениями этого уравнения будут \(x\in \varnothing\)), неравенство примет вид \(0\cdot x\geqslant 0,5\) (это неравенство также не имеет решений, то есть \(x\in\varnothing\)). Следовательно, действительно, при \(a=-0,5\) решения уравнения и неравенства совпадают.
Ответ:
\(a=-0,5\)
Решите при всех значениях параметра \((2a-1)x^2+3ax+5a-1=0\).
Нужно определить, при каких \(a\) данное уравнение не имеет решений, имеет одно решение, два решения и т.д., и какие.
Данное уравнение квадратного типа при всех \(a\) таких, что \(2a-1\ne
0\) (ведь по определению уравнение \(Ax^2+Bx+C=0\) квадратное, если \(A\ne 0\)). Следовательно, нам нужно рассмотреть два случая, в каждом из которых мы определенным образом будем решать уравнение.
1) Пусть \(2a-1=0\), то есть \(a=0,5\). Тогда уравнение принимает вид \(1,5x+1,5=0\). Решением данного уравнения будет \(x=-1\). Следовательно, при \(a=0,5\) уравнение имеет единственное решение \(x=-1\).
2) Пусть \(2a-1\ne 0\), то есть \(a\ne 0,5\). Тогда уравнение квадратное. Квадратное уравнение может иметь 0, 1 или 2 корня в зависимости от дискриминанта (меньше 0, равен 0 или больше 0 соответственно).
Найдем дискриминант: \(D=(3a)^2-4(2a-1)(5a-1)=-31a^2+28a-4\).
I. Итак, если \(D<0\), то уравнение не имеет решений: \[-31a^2+28a-4<0\quad\Rightarrow\quad
31\left(a-\dfrac{14+6\sqrt2}{31}\right)\left(a-\dfrac{14-6\sqrt2}{31}\right)>0\]
Решением данного неравенства будут \(a\in
\left(-\infty;\frac{14-6\sqrt2}{31}\right)\cup\left(\frac{14+6\sqrt2}{31};
+\infty\right)\). При этих значениях \(a\) уравнение не имеет решений.
II. Если \(D=0\), то есть \(a=\frac{14\pm6\sqrt2}{31}\), то уравнение имеет единственный корень. Для квадратного уравнения \(Ax^2+Bx+C=0\) с \(D=0\) корень можно искать по формуле абсциссы вершины: \[x_0=\dfrac{-B}{2A}\quad\Rightarrow\quad x_0=\dfrac{-3a}{2(2a-1)}\qquad \text{(в нашем случае)}\] При \(a=\frac{14+6\sqrt2}{31}\) получаем \[x_{0}=\dfrac{-3(14+6\sqrt2)}{2(12\sqrt2-3)}\] При \(a=\frac{14-6\sqrt2}{31}\) получаем \[x_{0}=\dfrac{3(14-6\sqrt2)}{2(12\sqrt2+3)}\]
III. Если \(D>0\), то есть \(a\in \left(\frac{14-6\sqrt2}{31};\frac{14+6\sqrt2}{31}\right)\), то уравнение имеет два решения: \[x=\dfrac{-3a\pm \sqrt{-31a^2+28a-4}}{2(2a-1)}\] Учитывая, что \(a\ne 0,5\), то получаем \(a\in \left(\frac{14-6\sqrt2}{31};0,5\right)\cup\left(0,5;\frac{14+6\sqrt2}{31}\right)\).
Важно не забыть, что случай 2 рассматривается при \(a\ne 0,5\), то есть в подслучаях I, II, III мы должны исключить это значение параметра, если оно входит в какой-то промежуток.
Ответ:
\(a=0,5 \ \Rightarrow \ x=-1\);
\(a=\frac{14+6\sqrt2}{31} \ \Rightarrow \ x=\frac{-3(14+6\sqrt2)}{2(12\sqrt2-3)}\);
\(a=\frac{14-6\sqrt2}{31} \ \Rightarrow \ x=\frac{3(14-6\sqrt2)}{2(12\sqrt2+3)}\);
\(a\in \left(-\infty;\frac{14-6\sqrt2}{31}\right)\cup\left(\frac{14+6\sqrt2}{31}; +\infty\right) \ \Rightarrow \ x\in \varnothing\);
\(a\in \left(\frac{14-6\sqrt2}{31};0,5\right)\cup\left(0,5;\frac{14+6\sqrt2}{31}\right) \ \Rightarrow \ x=\frac{-3a\pm \sqrt{-31a^2+28a-4}}{2(2a-1)}\)
Решить при всех значениях параметра уравнение \(\sqrt{x-a}=2\).
Данное уравнение можно переписать в виде \(x-a=4\) при условии, что \(x-a\geqslant 0\). Следовательно, получаем: \[\begin{cases} x=4+a \\ x\geqslant a \end{cases}\] Если \(4+a\geqslant a\), то корень \(x=4+a\) удовлетворяет условию \(x\geqslant a\), то есть система имеет единственное решение \(x=4+a\).
Если \(4+a< a\), то корень \(x=4+a\) не удовлетворяет условию \(x\geqslant a\), то есть система не имеет решений.
Решением неравенства \(4+a\geqslant a\) являются все \(a\in \mathbb{R}\). Следовательно, при всех \(a\) исходное уравнение имеет единственное решение \(x=4+a\).
Ответ:
\(x=4+a\) при всех \(a\in \mathbb{R}\)
Решить при всех значениях параметра уравнение \(|2x+8|+|2x-6|=a\).
Раскроем модули. Нули подмодульных выражений – это \(x=-4\) и \(x=3\). Следовательно, при \(x\geqslant 3\) оба модуля раскроются положительно, при \(-4<x<3\) первый модуль раскроется положительно, а второй отрицательно, при \(x\leqslant -4\) оба модуля раскроются отрицательно.
1) \(x\geqslant 3\): \(2x+8+2x-6=a\), откуда \(x=0,25(a-2)\). Чтобы в этом случае уравнение имело корень, нужно, чтобы \(0,25(a-2)\geqslant 3\), то есть \(a\geqslant 14\). Если \(a<14\), то \(x=0,25(a-2)\) не является корнем уравнения.
2) \(-4<x<3\): \(2x+8-2x+6=a\), откуда \(14=a\). Значит, если \(a=14\), то любой \(x\), удовлетворяющий \(-4<x<3\), является решением уравнения. Если \(a\ne 14\), то промежуток \((-4;3)\) не является решением уравнения.
3) \(x\leqslant -4\): \(-2x-8-2x+6=a\), откуда \(x=-0,25(a+2)\). Аналогично первому случаю, если \(-0,25(a+2)\leqslant -4\) (откуда \(a\geqslant 14\)), то \(a=-0,25(a+2)\) является корнем, в противном случае – нет.
Подытожив эти три случая, можно сказать, что при \(a> 14\) решением исходного уравнения будут \(x=0,25(a-2)\), \(x=-0,25(a+2)\). Если \(a=14\), то решением уравнения будут \(x=0,25(a-2)=3\), \(x=-0,25(a+2)=-4\) и \(x\in (-4;3)\) (то есть отрезок \([-4;3]\)). Если \(a<14\), то уравнение не имеет решений.
Ответ:
\(a>14 \ \Rightarrow \ x=0,25(a-2); \ -0,25(a+2)\);
\(a=14 \ \Rightarrow \ x\in [-4;3]\);
\(a<14 \ \Rightarrow \ x\in \varnothing\)
Решите при всех значениях параметра \(a\) уравнение \[ax-3=a^2-2x\]
Уравнение можно преобразовать к виду \((a+2)x=a^2+3\). Оно является уравнением линейного типа. Нужно рассмотреть два случая:
1) Если \(a+2=0\), то есть \(a=-2\), то уравнение примет вид \(0\cdot x=7\). Данное уравнение не имеет решений.
2) Если \(a\ne -2\), то уравнение можно преобразовать к виду \(x=\dfrac{a^2+3}{a+2}\) – это и есть корень этого уравнения.
Ответ:
\(a=-2 \ \Rightarrow \ x\in\varnothing\);
\(a\ne -2 \ \Rightarrow \ x=\frac{a^2+3}{a+2}\)
Решите при всех значениях параметра \(a\) уравнение \[(a^2-9)x=5(a+3)\]
Данное уравнение линейного типа. Рассмотрим два случая:
1) \(a^2-9=0\), то есть \(a=\pm 3\). При \(a=3\) уравнение примет вид \(0\cdot x=30\). Решений у такого уравнения нет. При \(a=-3\) уравнение примет вид \(0\cdot x=0\). Решением такого уравнения являются \(x\in \mathbb{R}\).
2) \(a^2-9\ne 0\), то есть \(a\ne \pm3\). Тогда уравнение можно переписать в виде \[x=\dfrac{5(a+3)}{a^2-9}=\dfrac 5{a-3}\]Это и есть корень данного уравнения.
Ответ:
\(a=3 \ \Rightarrow\ x\in \varnothing\);
\(a=-3 \ \Rightarrow \ x\in\mathbb{R}\);
\(a\ne \pm3 \ \Rightarrow \ x=\frac 5{a-3}\)
