Леонид брал кредит в банке сроком на 6 лет под \(50\%\) годовых. После того, как кредит был выплачен, оказалось, что переплата по кредиту составила \(3\,044\,000\) рублей. Сколько тысяч рублей каждый год вносил Леонид в счет погашения кредита, если известно, что кредит был выплачен аннуитетными платежами?
Пусть ежегодный платеж был равен \(x\) тыс. рублей. Тогда за 6 лет Леонид выплатил банку \(6x\) тыс. рублей. Следовательно, если \(A\) тыс. рублей — сумма кредита, то \(6x-A=3\,044\) тыс. рублей — и есть переплата по кредиту. Составим таблицу:
\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Номер года}&\text{Долг после начисления }\%&\text{Долг после платежа}\\ \hline 1&1,5A&1,5A-x\\ \hline 2& 1,5(1,5A-x)&1,5(1,5A-x)-x=1,5^2A-x(1,5+1)\\ \hline \dots&\dots&\dots\\ \hline 5&1,5(1,5^4A-x(1,5^3+1,5^2+1,5+1))&1,5^5A-x(1,5^4+1,5^3+1,5^2+1,5+1)\\ \hline 6&1,5(1,5^5A-x(1,5^4+1,5^3+1,5^2+1,5+1))&1,5^6A-x(1,5^5+1,5^4+1,5^3+1,5^2+1,5+1)\\ \hline \end{array}\]
Таким образом, т.к. в конце 6-ого года долг банку стал равен нулю, то
\[1,5^6A-x(1,5^5+1,5^4+1,5^3+1,5^2+1,5+1)=0 \quad \Leftrightarrow \quad A=\dfrac{1,5^5+1,5^4+1,5^3+1,5^2+1,5+1}{1,5^6}x\]
Числитель представляет собой сумму первых 6-ти членов геометрической прогрессии, где \(a_1=1, \ q=1,5\).
Эта сумма равна \(\dfrac{1,5^6-1}{1,5-1}\). Значит,
\[A=\dfrac{1,5^6-1}{1,5^6(1,5-1)}x\]
Заметим, что \(1,5=\frac32\), следовательно,
\[A=\dfrac{2(3^6-2^6)}{3^6(3-2)}x=\dfrac{2(3-2)(3+2)(3^2-3\cdot 2+2^2)(3^2+3\cdot 2+2^2)}{3^6}x= \dfrac{2\cdot 5\cdot 7\cdot 19}{3^6}x\]
Тогда, т.к. переплата \(3\,044=6x-A\), имеем следующее равенство, из которого можно найти \(x\):
\[\left(6-\dfrac{2\cdot 5\cdot 7\cdot 19}{3^6}\right)x=3044 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{1522}{729}x=1522 \quad \Leftrightarrow \quad x=729\text{ тыс. рублей}\]
Ответ:
\(729\)