Математика
Русский язык

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи про банковский кредит: аннуитетный платеж (страница 2)

Аннуитетный платеж – это такая система выплат, при которой кредит выплачивается раз в год (месяц) равными платежами.
При этом каждый год (месяц) до внесения платежа банк начисляет на оставшуюся часть долга некоторый процент, то есть оставшаяся сумма долга увеличивается на это количество процентов.

 

Пусть, например, клиент взял \(2,1\) млн рублей в банке под \(10\%\) годовых и должен погасить кредит через \(2\) года. Для того, чтобы понять, сколько рублей должен составлять его ежегодный платеж \(x\), можно составить таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}\\ &\text{до начисления}\ \%&\text{после начисления }\%&\text{после платежа}\\ \hline 1&2,1&2,1\cdot 0,01(100+10)=1,1\cdot 2,1&1,1\cdot 2,1-x\\ \hline 2&1,1\cdot2,1-x&(1,1\cdot2,1-x)\cdot0,01(100+10)&1,1(1,1\cdot2,1-x)-x\\ \hline \end{array}\] Т.к. в конце второго года кредит должен быть выплачен полностью, то это значит, что долг банку на конец второго года равен нулю. То есть \(1,1(1,1\cdot2,1-x)-x=0\Leftrightarrow 1,1^2\cdot2,1-x(1,1+1)=0\).

 

Отсюда находим ежегодный платеж \(x=1,21\) млн рублей.

 

В случае с аннуитетным платежом имеет место следующая формула: \[{\Large{\left(\frac{100+r}{100}\right)^n\cdot A-x\left(\left(\frac{100+r}{100}\right)^{n-1}+\left(\frac{100+r}{100}\right)^{n-2}+\dots+1\right)=0}}\] где \(A\) – сумма, взятая в кредит, \(r\%\) – процентная ставка в банке, \(x\) – сумма платежа, \(n\) – количество лет (месяцев), на которое взят кредит.

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Леонид брал кредит в банке сроком на 6 лет под \(50\%\) годовых. После того, как кредит был выплачен, оказалось, что переплата по кредиту составила \(3\,044\,000\) рублей. Сколько тысяч рублей каждый год вносил Леонид в счет погашения кредита, если известно, что кредит был выплачен аннуитетными платежами?

Добавить задание в избранное

Пусть ежегодный платеж был равен \(x\) тыс. рублей. Тогда за 6 лет Леонид выплатил банку \(6x\) тыс. рублей. Следовательно, если \(A\) тыс. рублей — сумма кредита, то \(6x-A=3\,044\) тыс. рублей — и есть переплата по кредиту. Составим таблицу:

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Номер года}&\text{Долг после начисления }\%&\text{Долг после платежа}\\ \hline 1&1,5A&1,5A-x\\ \hline 2& 1,5(1,5A-x)&1,5(1,5A-x)-x=1,5^2A-x(1,5+1)\\ \hline \dots&\dots&\dots\\ \hline 5&1,5(1,5^4A-x(1,5^3+1,5^2+1,5+1))&1,5^5A-x(1,5^4+1,5^3+1,5^2+1,5+1)\\ \hline 6&1,5(1,5^5A-x(1,5^4+1,5^3+1,5^2+1,5+1))&1,5^6A-x(1,5^5+1,5^4+1,5^3+1,5^2+1,5+1)\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, т.к. в конце 6-ого года долг банку стал равен нулю, то

\[1,5^6A-x(1,5^5+1,5^4+1,5^3+1,5^2+1,5+1)=0 \quad \Leftrightarrow \quad A=\dfrac{1,5^5+1,5^4+1,5^3+1,5^2+1,5+1}{1,5^6}x\]

Числитель представляет собой сумму первых 6-ти членов геометрической прогрессии, где \(a_1=1, \ q=1,5\).

Эта сумма равна \(\dfrac{1,5^6-1}{1,5-1}\). Значит,

\[A=\dfrac{1,5^6-1}{1,5^6(1,5-1)}x\]

Заметим, что \(1,5=\frac32\), следовательно,

\[A=\dfrac{2(3^6-2^6)}{3^6(3-2)}x=\dfrac{2(3-2)(3+2)(3^2-3\cdot 2+2^2)(3^2+3\cdot 2+2^2)}{3^6}x= \dfrac{2\cdot 5\cdot 7\cdot 19}{3^6}x\]

 

Тогда, т.к. переплата \(3\,044=6x-A\), имеем следующее равенство, из которого можно найти \(x\):

\[\left(6-\dfrac{2\cdot 5\cdot 7\cdot 19}{3^6}\right)x=3044 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{1522}{729}x=1522 \quad \Leftrightarrow \quad x=729\text{ тыс. рублей}\]

Ответ:

\(729\)

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Банк “Дрынькофф” предлагает кредит на \(3\) года на покупку машины стоимостью \(546\,000\) рублей на следующих условиях:
– раз в год банк начисляет на остаток долга \(20 \%\);
– после начисления процентов клиент обязан внести некоторую сумму в счет погашения части долга;
– выплачивать кредит необходимо равными ежегодными платежами.
Сколько рублей составит переплата по такому кредиту?

Добавить задание в избранное

Составим таблицу, обозначив ежегодный платеж по кредиту за \(x\) тыс.рублей и делая вычисления в тыс.рублей:

 

\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} &\text{Долг до начисления }\% &\text{Долг после начисления }\% &\text{Долг после платежа}\\ \hline 1 &546 &1,2\cdot 546 &1,2\cdot 546-x\\ \hline 2 &1,2\cdot 546-x &1,2(1,2\cdot 546-x) &1,2(1,2\cdot 546-x)-x\\ \hline 3 &1,2(1,2\cdot 546-x)-x &1,2(1,2(1,2\cdot 546-x)-x) &1,2(1,2(1,2\cdot 546-x)-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Т.к. в конце \(3\)-его года кредит должен быть выплачен полностью, то долг на конец \(3\)-его года составит \(0\) рублей, т.е.
\[1,2\cdot(1,2\cdot(1,2\cdot 546-x)-x)-x=0\Leftrightarrow 1,2^3\cdot 546 -x(1,2^2 +1,2+1)=0 \ (*)\]

Переплата – это та сумма, которую заплатит клиент банку сверх кредита. Т.к. каждый год клиент переводил в банк \(x\) рублей, то за \(3\) года он заплатил банку \(3x\) рублей, значит, его переплата составит \(3x-546\) рублей. Следовательно, необходимо найти \(x\) из уравнения \((*)\).

\(x=\dfrac{1,2^3\cdot 546}{1,2^2+1,2+1}=\dfrac{1,2^3\cdot 546}{3,64}\)

 

Домножим числитель и знаменатель дроби на \(1000\), чтобы избавиться от десятичных дробей:

\(x=\dfrac{12^3\cdot546}{3640}\)

 

Выполняя сокращения (для этого удобно пользоваться признаками деления), получим \(x=259,2\) тыс.рублей.

 

Значит, переплата равна \(3x-546=231,6\) тыс. рублей или \(231\,600\) рублей.

Ответ:

\(231\,600\) рублей.

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Руслан взял кредит в банке под \(y\) % годовых. Выплачивать кредит он должен в течение двух лет равными ежегодными платежами, переводимыми в банк после начисления процентов. Под какой процент \(y\) был взят кредит, если ежегодный платеж составил \(\dfrac{81}{136}\) от суммы кредита?

Добавить задание в избранное

Пусть Руслан взял в банке \(A\) рублей, а его ежегодный платеж составил \(x\) рублей. Тогда из условия следует, что \(x=\dfrac{81}{136}A\).

 

Если процентная ставка в банке составляет \(y \%\), то это значит, что после начисления процентов долг увеличивается в \(\dfrac{100+y}{100}\) раз (это процент, переведенный в десятичную дробь, например \(120 \%\) – это \(1,2\)). Следовательно, например, в конце первого года долг будет равен \(\dfrac{100+y}{100}A\) рублей.

 

Обозначим за \(t=\dfrac{100+y}{100}\) и составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} &\text{Сумма долга до начисления }\% &\text{После начисления }\% &\text{После платежа}\\ \hline 1 &A &t\cdot A &t\cdot A-x\\ \hline 2 &t\cdot A-x &t\cdot(t\cdot A-x) &t\cdot(t\cdot A-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Т.к. в конце \(2\)-ого года кредит должен быть выплачен полностью, то

\(t\cdot(t\cdot A-x)-x=0 \Leftrightarrow t^2A=x(t+1) \Rightarrow t^2A=\dfrac{81}{136}A \cdot (t+1)\).

 

Т.к. \(A>0\), то можно разделить обе части уравнения на \(A \Rightarrow\)

\(136t^2-81t-81=0 \Rightarrow t=\dfrac{9}{8}=\dfrac{100+y}{100} \Rightarrow y=12,5 \%\)

 

Заметим, что в данной задаче сумма кредита не играет роли (мы ее приняли за \(A\) и потом разделили на нее обе части уравнения).

Ответ:

\(12,5 \%\).

Задание 11
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Банк выдает кредиты только под \(10\%\) годовых. В январе 2014 года Олег взял кредит в банке на \(4\,641\,000\) рублей на открытие своего бизнеса. Кредит он должен выплатить за \(4\) года равными ежегодными платежами, вносимыми в конце года. В январе третьего года пользования кредитом Олег понял, что на расширение бизнеса ему не хватает некоторой суммы, поэтому он взял в этом же банке четверть от первоначального кредита, договорившись выплатить оба кредита одновременно.
Оказалось, что после взятия второго кредита его последующие ежегодные платежи увеличились на одну и ту же сумму.
Найдите, сколько рублей сверх кредита выплатил Олег банку.

Добавить задание в избранное

Заметим, что так как ежегодные выплаты увеличились на одну и ту же сумму, то второй кредит он также выплачивал равными суммами. Следовательно, оба кредита выплачивались аннуитетными платежами. Заметим также, что так как второй кредит он взял в начале третьего года, а выплатить должен одновременно с первым, то второй кредит он выплачивал в третий и четвертый годы, то есть в течение двух лет. Составим отдельно таблицы для первого и для второго кредитов (пусть \(A\) рублей – сумма первого кредита). \[\text{Первый кредит:}\]

\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг на начало года}&\text{После начисления }\% &\text{После платежа}\\ \hline 1&A&1,1\cdot A&1,1\cdot A-x\\ \hline 2&1,1\cdot A-x&1,1(1,1\cdot A-x)&1,1(1,1\cdot A-x)-x\\ \hline 3&1,1(1,1\cdot A-x)-x&1,1(1,1(1,1\cdot A-x)-x)&1,1(1,1(1,1\cdot A-x)-x)-x\\ \hline 4&1,1(1,1(1,1\cdot A-x)-x)-x&1,1(1,1(1,1(1,1\cdot A-x)-x)-x)& 1,1(1,1(1,1(1,1\cdot A-x)-x)-x)-x\\ \hline \end{array}\] где \(x\) – ежегодный платеж по первому кредиту. \[\text{Второй кредит:}\]

\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг на начало года}&\text{После начисления }\% &\text{После платежа}\\ \hline 1& \frac A4&1,1\cdot \frac A4&1,1\cdot \frac A4-y\\ \hline 2&1,1\cdot \frac A4-y&1,1(1,1\cdot \frac A4-y)&1,1(1,1\cdot \frac A4-y)-y\\ \hline \end{array}\] где \(y\) – ежегодный платеж по второму кредиту.

Общая сумма выплат по обоим кредитам – это \(4x+2y\). Следовательно, необходимо найти \(4x+2y-A-\dfrac A4\).

Из первой таблицы получаем: \[1,1(1,1(1,1(1,1\cdot A-x)-x)-x)-x=0\quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{1,1^4\cdot A}{1,1^3+1,1^2+1,1+1}=\dfrac{1,1^4}{(1,1+1)(1,1^2+1)}\cdot A\] Из второй аналогично: \[1,1\left(1,1\cdot \frac A4-y\right)-y=0\quad\Leftrightarrow\quad y=\dfrac{1,1^2}{1,1+1}\cdot \dfrac A4\]

Таким образом, \[4x+2y-A-\dfrac A4=\dfrac{1,1^2\cdot A}{1,1+1}\cdot \left(\dfrac{4\cdot 1,1^2}{1,1^2+1}+\dfrac12\right)-\dfrac {5A}4= \dfrac{11^2\cdot 1189}{21\cdot 20\cdot 221}\cdot 4\,641\,000 - \dfrac{4\,641\,000\cdot 5}4\]

Заметим, что \(21\cdot 221=4641\), следовательно: \[4x+2y-\dfrac{5A}4=\dfrac{11^2\cdot 1189\cdot 1000}{20}-\dfrac{4\,641\,000\cdot 5}4= 1\,392\,200.\]

Ответ: 1392200

Задание 12
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Для покупки квартиры в элитном здании Артур скопил всего \(5\,280\,000\) рублей, поэтому недостающую сумму он был вынужден взять в кредит на 4 года под \(12,5\%\) годовых. Выплачивать кредит он должен аннуитетными платежами. Сколько процентов от стоимости квартиры ему не хватало, если известно, что переплатил по кредиту он \(6\,524\,000\) рублей?

Добавить задание в избранное

Пусть Артур взял в кредит \(A\) тыс.рублей и \(x\) тыс.рублей — его ежегодный платеж. Составим таблицу, заметив, что \(1,125=\frac98\):

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Номер года}&\text{Долг после начисления }\%&\text{Долг после платежа}\\ \hline 1&\frac98A&\frac98A-x\\ \hline 2&\left(\frac98\right)^2A-\frac98x&\left(\frac98\right)^2A-\frac98x-x\\ \hline 3&\left(\frac98\right)^3A-\left(\frac98\right)^2x-\frac98x& \left(\frac98\right)^3A-\left(\frac98\right)^2x-\frac98x-x\\ \hline 4& \left(\frac98\right)^4A-\left(\frac98\right)^3x-\left(\frac98\right)^2x-\frac98x&\left(\frac98\right)^4A-\left(\frac98\right)^3x-\left(\frac98\right)^2x-\frac98x-x\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, имеем следующее уравнение

\[\left(\frac98\right)^4A-\left(\frac98\right)^3x-\left(\frac98\right)^2x-\frac98x-x=0 \quad \Leftrightarrow \quad \left(\frac98\right)^4A=x\left(\left(\frac98\right)^3+\left(\frac98\right)^2+\frac98+1\right)\]

Т.к. всего банку он заплатил \(4x\) рублей, то переплата равна \(4x-A=6\,524\), откуда \(x=\frac14\left(A+6\,524\right)\). Подставим это в уравнение:

\[\left(\frac98\right)^4A=\dfrac14\left(A+6\,524\right)\left(\left(\frac98\right)^3+\left(\frac98\right)^2+\frac98+1\right)\]

откуда выражаем, что

\[A=\dfrac{2\cdot 6524\cdot \left(\dfrac{9^4}{8^4}-1\right)}{2-\dfrac{9^4}{8^4}}= \dfrac{2\cdot 6524\cdot (9^4-8^4)}{2\cdot 8^4-9^4}\]

Найдем \(9^4-8^4\):

 

\(9^4-8^4=(9-8)(9+8)(9^2+8^2)=17\cdot 145\).

 

Тогда, учитывая известное \(2^{10}=1024\), имеем: \(2\cdot 8^4-9^4=8^4-(9^4-8^4)=2^{12}-17\cdot 145=4096-2465=1631\).

 

Значит,

\[A=\dfrac{2\cdot 1631\cdot 4\cdot 2465}{1631}=19720 \text{ тыс.рублей}\]

Значит, вся квартира стоила \(19\,720+5\,280=25\,000\) тыс.рублей. Тогда процент денег, которых ему не хватало (то есть которые он взял в кредит), от стоимости квартиры составляет

\[\dfrac{19\,720}{25\,000}\cdot 100\%=\dfrac{1972\cdot 4}{2500\cdot 4}\cdot 100\%= \dfrac{7888}{100}\%=78,88\%\]

Ответ:

\(78,88\%\)

Задание 13
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Кредит выдан на 3 года под целое кратное десяти число \(y\) процентов годовых. Известно, что погашение кредита происходит раз в год после начисления процентов равными платежами. Под какой процент \(y\) взят кредит, если известно, что ежегодный платеж относится к сумме кредита как \(27:38\)?

Добавить задание в избранное

Пусть \(A\) и \(x\) — суммы кредита и ежегодного платежа соответственно, а \(t=\frac{100+y}{100}\). Составим таблицу:

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Номер года}&\text{Долг после начисления }\%&\text{Долг после платежа}\\ \hline 1&tA&tA-x\\ \hline 2&t(tA-x)&t(tA-x)-x\\ \hline 3&t(t(tA-x)-x)&t(t(tA-x)-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Таким образом,

\[t(t(tA-x)-x)-x=0 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac xA=\dfrac{t^3}{t^2+t+1}=\dfrac{27}{38}\]

Откуда получается уравнение \(38t^3-27t^2-27t-27=0\).

 

Известно, что \(y\) — целое кратное десяти число, то есть \(10; \ 20; \ 30; \dots\).

 

Тогда \(t=1,1; \ 1,2; \ 1,3; \dots\) или в рациональном виде \[t=\dfrac{11}{10}; \ \dfrac65; \ \dfrac{13}{10}; \ \dfrac75; \ \dfrac32; \ \dfrac85; \ \dfrac{17}{10}; \ \dfrac95; \ \dfrac{19}{10} \text{ и т.д.}\]

Если уравнение имеет рациональный корень, то числитель этого корня является делителем свободного члена, то есть \(-27\), а знаменатель — делителем старшего коэффициента, то есть \(38\). Таким образом, первый подходящий корень из нашего списка — это \(\frac32\). Проверим:

\[38\cdot \left(\dfrac32\right)^3-27\left(\left(\dfrac32\right)^2+\dfrac32+1\right)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\]

Таким образом, \(t=\dfrac32\) и \(y=50\%\).

Ответ:

\(50\%\)

Задание 14
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Фермер взял кредит в банке на \(2\) года под \(y \%\) годовых, причем выплачивать кредит он должен равными ежегодными платежами. Под какое наибольшее целое число \(y\) процентов годовых он должен был взять кредит, чтобы его переплата по кредиту в конце второго года не превысила ежегодный платеж?

Добавить задание в избранное

Введем обозначение: \(\dfrac{100+y}{100}=t, A\) – сумма кредита, \(x\) – ежегодный платеж. Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{сумма долга до начисления } \% & \text{сумма долга после начисления } \% \text{ и платежа}\\ \hline 1 & A & t\cdot A-x\\ \hline 2 & t\cdot A -x & t\cdot (t\cdot A-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Т.к. в конце второго года он выплатил кредит, то \(t\cdot (t\cdot A-x)-x=0 \ (*)\).

 

Заметим, что за два года он заплатил банку \(2x\) рублей, значит, его переплата по кредиту составила \(2x-A\) рублей. Т.к. переплата не должна превышать ежегодный платеж, то имеем следующее неравенство:
\(2x-A \leq x \Rightarrow x-A \leq 0\).
Выразим из \((*)\) ежегодный платеж: \(x=\dfrac{t^2A}{t+1}\) и подставим в неравенство:

\(A\cdot \dfrac{t^2-t-1}{t+1} \leq 0 \Rightarrow \dfrac{t^2-t-1}{t+1} \leq 0\), т.к. \(A>0\).

Решив данное неравенство методом интервалов, получим: \(0 \leq t \leq \dfrac{1+\sqrt5}{2}\) (т.к. \(t\) не может быть отрицательным).

Сделав обратную замену \(\dfrac{100+y}{100}=t\), получим: \(y \leq 50\cdot(\sqrt5-1)\).

Для того, чтобы найти наибольшее целое \(y\), необходимо оценить \(50\cdot(\sqrt5-1)\).

\(223<\sqrt{50000}<224 \Rightarrow \\ 223<100\sqrt5<224 \Rightarrow \\ 2,23<\sqrt5<2,24 \Rightarrow \\ 61,5<50\cdot(\sqrt5-1)<62\).
Таким образом, наибольшее целое \(y=61\).

Ответ:

\(61 \%\).

1 2 3