Найдите наименьшее значение функции \(y = x^{2x}\) на полуинтервале \((0; 0,25]\).
Для положительных \(x\) верно: \(y = e^{2x\cdot \ln x}\).
1) \[y' = (e^{2x\cdot \ln x})' = e^{2x\cdot \ln x}\cdot (2x\cdot \ln x)' = e^{2x\cdot \ln x}\cdot\left(2\ln x + \dfrac{2x}{x}\right) = e^{2x\cdot \ln x}\cdot(2\ln x + 2).\]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[e^{2x\cdot \ln x}\cdot(2\ln x + 2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2\ln x + 2 = 0\] (так как \(e^{t} > 0\) при любом \(t\)), что равносильно \(x = e^{-1}\). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на \((0; 0,25]\):
4) Эскиз графика \(y\) на \((0; 0,25]\):
Таким образом, на \((0; 0,25]\) функция \(y\) убывает, следовательно, наименьшее значение достигается в точке \(x = 0,25\):
\(y(0,25) = 0,25^{0,5} = \sqrt{0,25} = 0,5\).
Итого: \(0,5\) – наименьшее значение функции \(y\) на \((0; 0,25]\).
Ответ: 0,5