5. Решение уравнений
Логарифмическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в основании и/или аргументе логарифма.
Стандартное логарифмическое уравнение:
\[{\large{\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}}}\]
где \(a>0, a\ne 1\).
Некоторые важные формулы:
(0) при \(a>0, \ a\ne 1, \ b>0\) выполняется основное логарифмическое тождество \[{\large{a^{\log_ab}=b}}\]
(1) при \(a>0,\ a\ne 1\) \[{\large{\log_a1=0, \qquad \log_aa=1}}\]
(2) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab}}\]
при четных \(m\) и \(n\) и \(a\ne 0,\ a\ne 1,\ b\ne 0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\dfrac mn\log_{|a|}{|b|}}}\]
(3) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ c>0\) \[{\large{b^{\log_ac}=c^{\log_ab}}}\]
(4) при \(a>0,\ a\ne 1,\ bc>0\) \[{\large{\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \qquad \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}}}\]
(5) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ b\ne 1,\ c>0\) \[{\large{\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac \Longleftrightarrow \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}}}\]
Найдите корень уравнения \(\log_{5}(-x) = \log_{5}4\).
ОДЗ: \(-x > 0\), что равносильно \(x < 0\). Решим на ОДЗ:
По определению логарифма \(\log_{5}(-x)\) – показатель степени, в которую нужно возвести 5, чтобы получить \(-x\), откуда заключаем: \(5^{\log_5(4)} = -x\), что равносильно \(4 = -x\), что равносильно \(x = -4\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: -4
Найдите корень уравнения \(\log_{8}(9x - 18) = \log_{8}36\).
ОДЗ: \(9x - 18 > 0\), что равносильно \(x > 2\). Решим на ОДЗ:
По определению логарифма \(\log_{8}(9x - 18)\) – показатель степени, в которую нужно возвести 8, чтобы получить \(9x - 18\), откуда заключаем: \(8^{\log_8(36)} = 9x - 18\), что равносильно \(36 = 9x - 18\), что равносильно \(x = 6\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 6
Найдите корень уравнения \(\log_{3}(2 - x) = \log_{3}(2 + x)\).
ОДЗ: \(2 - x > 0\) и \(2 + x > 0\), что равносильно \(-2 < x < 2\). Решим на ОДЗ:
Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(2 - x = 2 + x\), что равносильно \(x = 0\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 0
Найдите корень уравнения \(\log_{2}(x + 1) = \log_{2}(12 - 3x)\).
ОДЗ: \(x + 1 > 0\) и \(12 - 3x > 0\), что равносильно \(-1 < x < 4\). Решим на ОДЗ:
Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(x + 1 = 12 - 3x\), что равносильно \(x = 2,75\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 2,75
Найдите корень уравнения \(\log_{100}(2015x + 1) = \log_{100}(2016x + 1)\).
ОДЗ: \(2015x + 1 > 0\) и \(2016x + 1 > 0\), что равносильно \(x > -\dfrac{1}{2016}\). Решим на ОДЗ: Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(2015x + 1 = 2016x + 1\), что равносильно \(x = 0\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 0
Найдите корень уравнения \(\log_{\frac{1}{3}}(4x + 1) = -3\).
ОДЗ: \(4x + 1 > 0\) , что равносильно \(x > -\dfrac{1}{4}\). Решим на ОДЗ:
По определению логарифма \(\log_{\frac{1}{3}}(4x + 1)\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(\dfrac{1}{3}\), чтобы получить \(4x + 1\), откуда заключаем: \[\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-3} = 4x + 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 3^3 = 4x + 1\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 6,5\] – подходит по ОДЗ.
Ответ: 6,5
Найдите корень уравнения \(\log_{\pi}(7 - 5x) = 2\log_{\pi}9\).
ОДЗ: \(7 - 5x > 0\) , что равносильно \(x < 1,4\). Решим на ОДЗ:
По свойству логарифма исходное уравнение равносильно \(\log_{\pi}(7 - 5x) = \log_{\pi}(9^2)\), что равносильно \(\log_{\pi}(7 - 5x) = \log_{\pi}81\). Последнее уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(7 - 5x = 81\), что равносильно \(x = -14,8\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: -14,8
