Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Логарифмические уравнения (страница 2)

Логарифмическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в основании и/или аргументе логарифма.

 

Стандартное логарифмическое уравнение:

\[{\large{\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}}}\]

где \(a>0, a\ne 1\).

 

Некоторые важные формулы:

 

(0) при \(a>0, \ a\ne 1, \ b>0\) выполняется основное логарифмическое тождество \[{\large{a^{\log_ab}=b}}\]

(1) при \(a>0,\ a\ne 1\) \[{\large{\log_a1=0, \qquad \log_aa=1}}\]

(2) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab}}\]

при четных \(m\) и \(n\) и \(a\ne 0,\ a\ne 1,\ b\ne 0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\dfrac mn\log_{|a|}{|b|}}}\]

(3) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ c>0\) \[{\large{b^{\log_ac}=c^{\log_ab}}}\]

(4) при \(a>0,\ a\ne 1,\ bc>0\) \[{\large{\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \qquad \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}}}\]

(5) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ b\ne 1,\ c>0\) \[{\large{\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac \Longleftrightarrow \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}}}\]

Задание 8 #415
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{5}(-x) = \log_{5}4\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(-x > 0\), что равносильно \(x < 0\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{5}(-x)\) – показатель степени, в которую нужно возвести 5, чтобы получить \(-x\), откуда заключаем: \(5^{\log_5(4)} = -x\), что равносильно \(4 = -x\), что равносильно \(x = -4\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -4

Задание 9 #416
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{8}(9x - 18) = \log_{8}36\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(9x - 18 > 0\), что равносильно \(x > 2\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{8}(9x - 18)\) – показатель степени, в которую нужно возвести 8, чтобы получить \(9x - 18\), откуда заключаем: \(8^{\log_8(36)} = 9x - 18\), что равносильно \(36 = 9x - 18\), что равносильно \(x = 6\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 6

Задание 10 #417
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{3}(2 - x) = \log_{3}(2 + x)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(2 - x > 0\) и \(2 + x > 0\), что равносильно \(-2 < x < 2\). Решим на ОДЗ:

Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(2 - x = 2 + x\), что равносильно \(x = 0\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 0

Задание 11 #418
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{2}(x + 1) = \log_{2}(12 - 3x)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x + 1 > 0\) и \(12 - 3x > 0\), что равносильно \(-1 < x < 4\). Решим на ОДЗ:

Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(x + 1 = 12 - 3x\), что равносильно \(x = 2,75\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 2,75

Задание 12 #419
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{100}(2015x + 1) = \log_{100}(2016x + 1)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(2015x + 1 > 0\) и \(2016x + 1 > 0\), что равносильно \(x > -\dfrac{1}{2016}\). Решим на ОДЗ:   Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(2015x + 1 = 2016x + 1\), что равносильно \(x = 0\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 0

Задание 13 #421
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{\frac{1}{3}}(4x + 1) = -3\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(4x + 1 > 0\) , что равносильно \(x > -\dfrac{1}{4}\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{\frac{1}{3}}(4x + 1)\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(\dfrac{1}{3}\), чтобы получить \(4x + 1\), откуда заключаем: \[\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-3} = 4x + 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 3^3 = 4x + 1\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 6,5\] – подходит по ОДЗ.

Ответ: 6,5

Задание 14 #1653
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{\pi}(7 - 5x) = 2\log_{\pi}9\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(7 - 5x > 0\) , что равносильно \(x < 1,4\). Решим на ОДЗ:

По свойству логарифма исходное уравнение равносильно \(\log_{\pi}(7 - 5x) = \log_{\pi}(9^2)\), что равносильно \(\log_{\pi}(7 - 5x) = \log_{\pi}81\). Последнее уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(7 - 5x = 81\), что равносильно \(x = -14,8\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -14,8

1 2 3 .... 6