Математика
Русский язык

7. Взаимосвязь функции и ее производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Связь производной со скоростью и ускорением тела (страница 2)

Если \(x=x(t)\) – уравнение, задающее движение точки, зависящее от времени, то:

 

\(\blacktriangleright\) производная \(x'(t)\) задает скорость в момент времени \(t\);

 

\(\blacktriangleright\) вторая производная (производная от производной) \(x''(t)\) задает ускорение в момент времени \(t\).

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t) = t^3 + 3t + \pi\), где \(x\) – расстояние от точки \(x = 0\) в метрах, \(t\) – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени её скорость составляла \(15\) м/с? Ответ дайте в секундах.

Добавить задание в избранное

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону \(x(t)\), в момент времени \(t_0\) равна \(x'(t_0)\).

\(x'(t) = 3t^2 + 3\), тогда для момента \(t\), когда скорость материальной точки была равна \(15\) м/с, выполнено \(3t^2 + 3 = 15\), откуда \(t = \pm 2\) с, но так как время \(t\) отсчитывается от начала движения, то корень \(t = -2\) с не подходит. Итого: \(t = 2\) с.

Ответ: 2

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t) = t^3 - t^2 - \sqrt{2}t + 2\sqrt{3}\), где \(x\) – расстояние от точки \(x = 0\) в метрах, \(t\) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её ускорение в момент \(t = 2\) с. Ответ дайте в метрах в секунду в квадрате.

Добавить задание в избранное

Ускорение материальной точки, прямолинейно движущейся по закону \(x(t)\), в момент времени \(t_0\) равно производной от скорости, то есть равно \(x''(t_0)\).

\(x'(t) = 3t^2 - 2t - \sqrt{2}\), тогда

\(x''(t) = (x'(t))' = (3t^2 - 2t - \sqrt{2})' = 6t - 2\).

В момент \(t = 2\) с: \(x''(2) = 6\cdot 2 - 2 = 10\) м/с\(^2\).

Ответ: 10

Задание 10
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дифференцируемый путь материальной точки, движущейся по прямой, имеет вид \(x(t) = t^2(e^{\sin t^2} + e^{\pi t}) + 2t + e\). Найдите скорость этой точки в момент \(t = 0\).

Добавить задание в избранное

Скорость в момент времени \(t\): \[x'(t) = 2t(e^{\sin t^2} + e^{\pi t}) + t^2(e^{\sin t^2} + e^{\pi t})' + 2\,.\]

Так как путь материальной точки дифференцируемый, то \((e^{\sin t^2} + e^{\pi t})'\) при \(t = 0\) есть величина конечная, тогда при \(t = 0\): \[x'(0) = 0\cdot(e^{\sin 0} + e^{\pi\cdot 0}) + 0\cdot(e^{\sin t^2} + e^{\pi t})'|_{t = 0} + 2 = 2\]

Ответ: 2

Задание 11
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Путь материальной точки, движущейся по прямой, имеет вид \(x(t) = t^3 + 2t^2 - t + 1\). Известно, что при \(t = t_0\) ускорение этой точки было равно \(7\). Найдите \(t_0\).

Добавить задание в избранное

Ускорение в момент времени \(t\): \[x''(t) = (t^3 + 2t^2 - t + 1)'' = (3t^2 + 4t - 1)' = 6t + 4\,.\]

Тогда \(6t_0 + 4 = 7\), откуда \(t_0 = 0,5\).

Ответ: 0,5

Задание 12
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t) = 12t^3 - 5t^2 - t + 2\), где \(x\) – расстояние от точки \(x = 0\) в метрах, \(t\) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её ускорение в момент \(t = 1\) с. Ответ дайте в метрах в секунду в квадрате.

Добавить задание в избранное

Ускорение материальной точки, прямолинейно движущейся по закону \(x(t)\), в момент времени \(t_0\) равно производной от скорости, то есть равно \(x''(t_0)\).

\(x'(t) = 36t^2 - 10t - 1\), тогда

\(x''(t) = (x'(t))' = (36t^2 - 10t - 1)' = 72t - 10\).

В момент \(t = 1\) с: \(x''(1) = 72\cdot 1 - 10 = 62\) м/с\(^2\).

Ответ: 62

Задание 13
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t) = t^3 - 10,5t^2 + 27t + \sqrt{\pi} + 22\), где \(x\) – расстояние от точки \(x = 0\) в метрах, \(t\) – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой самый поздний момент времени её скорость составляла \(9\) м/с? Ответ дайте в секундах.

Добавить задание в избранное

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону \(x(t)\), в момент времени \(t_0\) равна \(x'(t_0)\).

\(x'(t) = 3t^2 - 21t + 27\), тогда для моментов \(t\), когда скорость материальной точки была равна \(9\) м/с, выполнено \(3t^2 - 21t + 27 = 9\), откуда \(t_1 = 1\) с, \(t_2 = 6\) с. Самый поздний момент времени, когда скорость материальной точки составляла \(9\) м/с, это \(t = 6\) с.

Ответ: 6