Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Числовые тригонометрические выражения (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Алгоритм применения формул приведения:

 

Шаг 1: определить, меняется ли функция на кофункцию: \[\sin \longleftrightarrow \cos\] \[\mathrm{tg} \longleftrightarrow \mathrm{ctg}\]
Шаг 2: определить знак, который имеет изначальная функция, поняв, в какой четверти тригонометрической окружности находится изначальный угол (предполагая, что \(\alpha\) – острый)

 

\(\blacktriangleright\) Если угол можно представить в виде \((\pi n\pm \alpha)\), где \(n\) – натуральное, то функция на кофункцию не меняется.
Пример: \(\sin (\pi n\pm \alpha)=\bigodot \sin \alpha\), где на месте \(\bigodot\) должен стоять знак синуса для угла \((\pi n\pm \alpha)\)

 

\(\blacktriangleright\) Если угол можно представить в виде \(\left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)\), где \(n\) – нечетное число, то функция на кофункцию меняется
Пример: \(\sin \left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)=\bigodot \cos \alpha\), где на месте \(\bigodot\) должен стоять знак синуса для угла \(\left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)\)

 

\(\blacktriangleright\) Основные формулы:

 

\[\begin{array}{|ccc|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&& \mathrm{tg} \alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg} \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg} \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ \cos {2\alpha}=\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha&&\cos {2\alpha}=1-2\sin^2 \alpha\\&&\\ \cos {2\alpha}=2\cos^2\alpha -1&&\sin {2\alpha}=2\sin \alpha \cos \alpha\\ \hline \end{array}\]

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{7}{\sin{(-\frac{5\pi}{4})} \cdot \cos{(-\frac{54\pi}{8})}}\).

Добавить задание в избранное

Используя формулы приведения, исходное выражение можно преобразовать следующим образом:

 

\(\dfrac{7}{-\sin{(\frac{5\pi}{4})} \cdot \cos{(\frac{54\pi}{8})}} = \dfrac{7}{-\sin{(\pi + \frac{\pi}{4})} \cdot \cos{(6\pi+\frac{3\pi}{4})}} = \dfrac{7}{\sin{\frac{\pi}{4}} \cdot \cos{(\frac{3\pi}{4})}} = \)

 

\(=\dfrac{7}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(\frac{-\sqrt{2}}{2}\right)} = \dfrac{7}{-\frac{1}{2}} = 7 \cdot (-\frac{2}{1}) = -14.\)

Ответ: -14

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(7\cdot\sin75^\circ\cdot\cos75^\circ\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} 7\cdot\sin75^\circ\cdot\cos75^\circ = 7\cdot\frac{1}{2}\cdot2\cdot\sin75^\circ\cdot\cos75^\circ = \frac{7}{2}\cdot\sin150^\circ = \frac{7}{2}\cdot\sin(180^\circ - 30^\circ) =\\= \frac{7}{2}\cdot\sin30^\circ = \frac{7}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1,75\end{gathered}\]

Ответ: 1,75

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle\frac{3\sin141^\circ}{\cos129^\circ}\).

Добавить задание в избранное

\[\frac{3\sin141^\circ}{\cos129^\circ} = \frac{3\sin(180^\circ - 39^\circ)}{\cos(90^\circ + 39^\circ)} = \frac{3\sin39^\circ}{-\sin39^\circ} = -3\]

Ответ: -3

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(13\mathrm{tg}\,358^\circ\cdot\mathrm{ctg}\,1082^\circ\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} 13\mathrm{tg}\,358^\circ\cdot\mathrm{ctg}\,1082^\circ = 13\mathrm{tg}\,(360^\circ-2^\circ)\cdot\mathrm{ctg}\,(1080^\circ+2^\circ) =\\= 13\mathrm{tg}\,(-2^\circ)\cdot\mathrm{ctg}\,(3\cdot360^\circ+2^\circ) = 13(-\mathrm{tg}\,2^\circ)\cdot\mathrm{ctg}\,2^\circ = -13\end{gathered}\]

Ответ: -13

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle\frac{1 - \cos200^\circ}{1 + \sin70^\circ}\).

Добавить задание в избранное

\[\frac{1 - \cos200^\circ}{1 + \sin70^\circ} = \frac{1 - \cos(180^\circ + 20^\circ)}{1 + \sin(90^\circ - 20^\circ)} = \frac{1 - (-\cos20^\circ)}{1 + \cos20^\circ} = \frac{1 + \cos20^\circ}{1 + \cos20^\circ} = 1\]

Ответ: 1

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sin15^\circ\cdot\sin75^\circ\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{aligned} &\sin15^\circ\cdot\sin75^\circ = \sin15^\circ\cdot\sin(90^\circ - 15^\circ) = \sin15^\circ\cdot\cos15^\circ =\\ &= \frac{2\sin15^\circ\cdot\cos15^\circ}{2} = \frac{\sin30^\circ}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4} = 0,25 \end{aligned}\]

Ответ: 0,25

Задание 14
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle\frac{4\cos269^\circ}{\sin721^\circ}\).

Добавить задание в избранное

\[\frac{4\cos269^\circ}{\sin721^\circ} = \frac{4\cos(270^\circ - 1^\circ)}{\sin(720^\circ + 1^\circ)} = \frac{4\cdot(-\sin1^\circ)}{\sin(2\cdot360^\circ + 1^\circ)} = \frac{-4\sin1^\circ}{\sin1^\circ} = -4\]

Ответ: -4

1 2 3 .... 6